2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：相似三角形中的六類基礎(chǔ)模型（解析版）

專題12相似三角形中的六類基礎(chǔ)模型

目錄

解題知識(shí)必備..........................................

壓軸題型講練..........................................

類型一、A字模型.......................................................4

類型二、8字模型........................................................7

類型三、射影定理.......................................

類型四、三角形內(nèi)接矩形模型............................

類型五、三平行模型

類型六、線束模型

壓軸能力測(cè)評(píng)（10題）..................................

“解題知識(shí)必備X

類型一、A字模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若DEIIBCA?△ADE-AABC

小AD_AE_DE

A?AB-AC-BC

BC

若N1=N2或N3=N4反A字模型①AADE?AABC

A

_ixADAE

或贏二獲A②AC2=AB?AD

o

BC

若N1=N2:共邊反A字模型①AADE?AABC

A

②AC2=AB?AD

［補(bǔ)充］該模型也被稱為子母模型，即子母模型可

以看作一組公共邊的反A模型

BC

［雙反A字模型］A?△AEB-ADEA-ADAC

若N1=N2=N3②AB?AC=BE?CD

③(")2=些

7'加CD

BDEC

類型二、8字模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若ABIICD?△AOB-ACOD

小AO_BO_AB

A?C0-DO-CD

DC

反字模型

若N1=N2或N3=N48B@AAOB~ACOD

--p.AOBO

或而一co

D

類型三、射影定理

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若NABC=NADB=90。?△ABC-AADB-ABDC

A<

②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC<D

（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）

B③AB?BC=BD?AC（面積法）

類型四、三角形內(nèi)接矩形模型

類型五、三平行模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若ABIIEFIICDD?_AB~^~CD~~EF

②

7SAABCSABCDSABEC

BpC

類型六、線束模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若DE//BCC=S（左圖）

AA

②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）

BGCBHIC

【基礎(chǔ)】【進(jìn)階】

若AB〃CD①變=竺（左圖）

AEBAEFBBECF

②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）

CXFDXCGHD

【基礎(chǔ)】【進(jìn)階】

X壓軸題型講練2

類型一、A字模型

例.如圖，在0A8C中，D￡HBC,若AE=2,EC=3,則0AOE與0ABe的面積之比為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到她〃砸她BC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算,

得到答案.

【詳解】解：EAE=2,EC=3,

^\AC=AE^-EC=5,

^\DE//BC9

團(tuán)朋￡）￡?L43C,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，在團(tuán)ABC中，回090。，BC=3,D,E分別在AB、AC±,將團(tuán)ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A

落在點(diǎn)A，處，若A為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長(zhǎng)為()

1

A.-B.3C.2D.1

2

【答案】D

【詳解】試題解析：由題意得：￡>￡0AC,

甌。￡4=90°,

團(tuán)團(tuán)。二團(tuán)。胡，

酮4=胤4,

團(tuán)媯ED團(tuán)胤4c氏

DEAE

0-----=------,

BCAC

她'為CE的中點(diǎn)，

回4,

^CA^EA^AE,

AEDE1

團(tuán)---=---=—，

ACBC3

BDE=1.

故選D.

【變式訓(xùn)練2】必AABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C

方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段C2也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)尸的速度是4cm/s,點(diǎn)。的速度是

2cm/s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為10cm?

(2)若ACP。的面積為S,求S關(guān)于1的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)/為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似？

Q

A-----------------------------------------B

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20/-4r)cm2；(3)f=3或/=(

【分析】(1)根據(jù)題意得到AP=4fcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4Z)cm,根據(jù)三角形的面積公式列

方程即可得答案；

(2)若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs,則CP=(20-4f)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計(jì)算公式，即可得出S=20f-4%

再結(jié)合各線段長(zhǎng)度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；

(3)分①RtACPQsRtACAB和②RtACPQsRtACBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由運(yùn)動(dòng)知,AP=4tcm,CQ=2tcm,

EAC=20cm,

團(tuán)CP=(20-4f)cm,

在MACPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20—4fy+(2r)2=l()2；

回，=3秒或，=5秒

(2)由題意得AP=4/，CQ=2t,則CP=20—4，，

因此Rt^CPQ的面積為S=1x(20-4f)x2/=(20/-4/2)cm2；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)?shù)摹鰿PQSRGC45時(shí)，鼻睪,即空解得y3；

CAc/j2015

②當(dāng)無(wú)△CPQs放△CBA時(shí)，2=組即型*=二，解得公竺.

CBCA152011

40

因此7=3或"石時(shí)，以點(diǎn)C、P、。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

ApAp

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在0ABe中，點(diǎn)。在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)尸在邊AC上，1.DE//BC,——=——.

FEEC

(1)求證：DF//BE；

(2)如且AP=2,EF=A,AB=66求證IMOE30AEB.

A

F

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

AF）ApAp4n

【分析】（1）由題意易得第=會(huì)，則有蕓=黑，進(jìn)而問題可求證；

BDECFEBD

（2）由（1）及題意可知些=4￡==，然后可得AD=2/，進(jìn)而可證空=42=/，最后問題可求證.

BDEF2ABAE3

【詳解】解：（1）SDE//BC,

ADAE

團(tuán)----=----，

BDEC

AFAE

團(tuán)---------,

FEEC

AFAD

回一=

FE~BD

^\DF//BE；

(2)0A尸=2,EF=4,

ADAF

團(tuán)由（1）可知,AE=6,

BD~EF~2

0X3=65

^AD=-AB=2y/3f

3

nAE_6_V3AD_2A/3_V3

?花一麗一丁'瓦一丁-3-

AEADV3

ABAE3

回她二0A,

^\ADE^\AEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

類型二、8字模型

例.如圖，AB//CD,AE//FD,AE,FD分別交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A,B

G

CED

DHCHGECGAFHGFHBF

A.B.D.-----------

FHBHDFCB~CE~~CGAGFA

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定,進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：0AB/7CD,

DHCH

0------=------，

FHBH

她選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

^AE//DF,

團(tuán)團(tuán)CGE二團(tuán)B1CEG=回

mCEG^CDH,

GECG

0------=------，

DHCH

EGDH

團(tuán)----=-----，

CGCH

^AB^CD,

CHDH

團(tuán)----=-----，

CBDF

DHDF

團(tuán)----=----，

CHCB

GEDF

團(tuán)----=----,

CGCB

GECG

0-----=------，

DFCB

加選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

^AB/7CD,AE〃DF,

回四邊形尸是平行四邊形，

^\AF=DEf

^AE^DF,

DEGH

團(tuán)----=-----,

CEGC

AFHG

團(tuán)-----二------

CECG

13c選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

SAE^DF,

FHBF

團(tuán)----=----

AGAB

@AB>FA,

FHBF

0-----w——

AGFA

回D選項(xiàng)不正確，符合題目要求.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式

是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練如圖，在0AB中，E為C。的中點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,則打,DEF?:S'四邊形EF3C

為（）

C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊互相平行可得AB//D石，然后求出△DEF和ABA尸相似，再根據(jù)相似三角形

面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為L(zhǎng)4,設(shè)S.DEF=S，S△即=45,再根據(jù)等高的三角

形的面積的比等于底邊的比求出尸=2S,然后表示出凡鉆。的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

SGBC=S明D，然后相比計(jì)算即可得解.

【詳解】解：,??四邊形A3c。是平行四邊形,

:.AB//DE,AB=CD

回后為CO的中點(diǎn),

WE：CD=1：2

^AB//DE

:ADEF?/\BAF,

S^DEF:SWAF=（DE：AB）2=1：4,EF:AF=1:2

設(shè)S&DEF=S,則S^BAF=4s,

EF：AF=1：2,

'''S^DEF：=EF；AF=1：2,

?'?\ADF=2s,

S^ABD=S^BAF+S內(nèi)>「=4S+2S=6S,

Q3。是平行四邊形ABC。的對(duì)角線，

■"S^DBC=S?ABD，

'''S.DBC=6s,

'''S&DEF：S四邊形EFBC=S：5S=1：5.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定以及相似

三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的

比的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練2].已知：如圖，四邊形A8CD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取3石=42,點(diǎn)尸在AE

的延長(zhǎng)線上，CE和。尸交于點(diǎn)M,8C和。P交于點(diǎn)M聯(lián)結(jié)BD

(1)求證：團(tuán)國(guó)VDEBCMW；

(2)如果A￡)2=A3?AF,求證：CM?AB=DM>CN.

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得A8=CDA施CD,再證明四邊形BECO為平行四邊形得到8。回CE,

根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM0OB可判斷aBNO團(tuán)團(tuán)CMW；

(2)先利用AZ)2=AB?AF可證明HAOBEHAFD,則01=團(tuán)凡再根據(jù)平行線的性質(zhì)得回尸=134,02=03,所以133=134,

加上EINMC=[aCM。，于是可判斷EIMNCEBMCD,所以MC：MD=CN：CD,然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【詳解】證明：(1)國(guó)四邊形ABC。是平行四邊形，

SAB^CD,ABSCD,

而BE=AB,

^\BE=CD,

而BESCD,

團(tuán)四邊形BECD為平行四邊形,

⑦BD^CE,

團(tuán)CM團(tuán)ZM,

WBNDWCNM；

(2)^AD2=AB^AF,

[?L4D：AB=AF：AD,

而回ZM3二回以。，

回她。丸EAFZ),

團(tuán)團(tuán)1二團(tuán)方，

回CD回A尸，BD^CE,

釀廠二回4,團(tuán)2二團(tuán)3,

團(tuán)團(tuán)3二團(tuán)4,

而回MWC二團(tuán)CA/D,

0MC：MD=CN：CD,

^\MC?CD=MD^CN9

而CD=AB,

國(guó)CM?AB=DM-CN.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相

似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng).也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練3】.如圖，已知。是8C的中點(diǎn)，〃是A。的中點(diǎn).求4V:NC的值.

N

M

'C

D

【答案】I

【分析】解法1：過點(diǎn)D作AC的平行線交于點(diǎn)打，構(gòu)造"A"型和"8"型，得出ABDHSABQV和

△DHMSAANM,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法2：過點(diǎn)C作AD的平行線交3N的延長(zhǎng)線于點(diǎn)"，構(gòu)造"A"型和"8"型，得出△BDA/sgcH和

AAMN^ACHN，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法3：過點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,構(gòu)造"A"型和"8"型，得出^AHM^ADBM和

AAHN^^CBN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法4：過點(diǎn)。作BN的平行線交AC于點(diǎn)H,根據(jù)三角形中位線定理得出AN=MZ=CH,

即可得出答案；

所以ABDHSABCN,

所以也=型

CNBC

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以空=黑=：.

C7VnC2

因?yàn)镈H//AN,所以△￡)HMS442W0,

所以也=也

ANAM

因?yàn)镸為仞的中點(diǎn)，所以黑=瑞=】

所以DH=4V,

時(shí)、|AN1

所以方=5

解法2：如圖3,過點(diǎn)C作A。的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.

因?yàn)镈M//CH,所以ABDMSBCH,

所以黑=BD

CrzBC

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以二工片

CrzBC2

因?yàn)镸為AO的中點(diǎn)，所以=

所以5廠5

因?yàn)镈MUCH,

所以AAMNsACHN,

ANAM1

CW-CH

解法3：如圖4,過點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

因?yàn)锳H/ABD,所以△AHMSADBM，

所以需=AM

DM

因?yàn)镸為A。的中點(diǎn)，所以AM=DM,所以姐=&).

因?yàn)锳Z///3。，所以AAHNsACBN,

所以網(wǎng)=4乜

CNBC

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，且=

所以繇翳:

解法4：如圖5,過點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H

在AADH中,

因?yàn)镸為AO的中點(diǎn),MN//DH,

所以N為A8的中點(diǎn),即⑷V=AW.

在△CBN中，因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，DH//BN,所以H為CN的中點(diǎn)，即CN=HN,

所以AN=NH=CH.

AN1

所以aT5

類型三、射影定理

例.如圖，在RtMBC中，ZACB=90°,C￡)_LAB于點(diǎn)。，設(shè)AC=〃，BC=a,AB=c,CD=h.

求證：⑴m.

(2)a+b<c+h.

(3)以。+6,h,c+/z為邊的三角形是直角三角形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【分析】(1)要證明《+&=/，只需證(,+*)?后=1即可，在直角AABC中根據(jù)BD2+CD2=BC2求證.

(2)根據(jù)三角形的面積公式求出ab=ch,利用勾股定理可得a2+b2=c2,再利用完全平方公式整理即可得證;

(3)先分別求出(a+b)2,h2,(c+h)2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】證明：(1)在直角AABC中,EIACB=90°,CDI3AB,貝IUACBH3ADCEBCDB,

22

-C-D-=--B-D-即Hn__C__D__=_B__D__

ACBC'AC2BC2

“I1、，2CD2CD2CD2BD2BC2,

回憶+記)疑=芯+/=赤+赤=苑乩

111

5+再了;

(2)團(tuán)CD團(tuán)AB,回ACB=90。，

0SAABC=-ab=—ch,

22

0ab=ch,

00ACB=9O°,

0a2+b2=c2,

[?](a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2,

團(tuán)a、b、c、h都是正數(shù)，

0(a+b)2<(c+h)2,

團(tuán)a+b<c+h；

(3)0(c+h)2=c2+2ch+h2；

h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a?+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面積公式推導(dǎo)),

0c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2,

0(c+h)2=h2+(a+b)2,

團(tuán)根據(jù)勾股定理的逆定理知道以h,c+h,a+b為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理、相

似三角形的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練如圖，回ABC為直角三角形，國(guó)ACB=90°,CD回AB于D,

(1)找出圖中所有的相似三角形，分別是二

(2)求證：CD：=ADBD

【答案】(1)EABCfflACD,0ACD0BCBD,EIABC0ECBD.(2)證明見解析.

【詳解】試題分析：(1)由在回ABC中，I3ACB=9O。，CD0AB,即可證得I3ADC=I3BDC=9O°,又由同角的余角相

等，證得I3A=EIBCD,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得回ABCEEACD,0ACD00CBD,0ABC00CBD；

(2)由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論.

試題解析：(1)回在EIABC中，0ACB=9O°,CD0AB,

00ADC=0BDC=9O°,0ACD+0BCD=9O",

EHA+0ACD=9O°,

EfflA=0BCD,

REABCEBACD,0ACDE10CBD,mABCH3CBD.

(2)E0ACD0EICBD,

ADCD

團(tuán)---=---，

CDBD

0CD2=AD*BD.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練2】.閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱"歐幾里得定理"，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AD是

斜邊8C上的高，則有如下結(jié)論：

①AT>2=A).OC；②AB?=BDBC;@AC2=CDBC.下面是該定理的證明過程(部分)：

E1AD是斜邊上的高，0ZADB=90°=ZADC.0ZB+ZBAD=9O°,ZB+ZC=90°,

0ZBAD=ZC.ElZ\ABD^AC4D(依據(jù)).E—=—.即AD2=BZ>￡)C.

A

⑴材料中的“依據(jù)"是指；

(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；

⑶應(yīng)用：VABC中，ZA=90°,8(1,0),C(-3,0),點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】⑴兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

⑵見解析

⑶頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,⑹或(0,-@

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證

明和計(jì)算.

(1)根據(jù)“兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"即可解答；

(2)②根據(jù)"兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"證明△ABDS.BA即可得證；③根據(jù)“兩角分別對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形相似"證明

(3)根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證明的射影定理得042=OROC=1X3,即可求

出。4=退，由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】(1)解："依據(jù)"是：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，

故答案為：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

(2)證明：(2)AB2=BDBC,理由如下：

^ADIBC,ZCAB=90°,

0ZADB=ZG4B=9O°,

SZABD^ZCBA,

回△ABDs^CBA,

ABBD

回---二---

BCAB

^\AB2=BDBC;

③Ac2=cmc,理由如下：

^\AD1BC,ZCAB=90°,

回NADC=NC4B=90。，

BZACD=ZBCA,

0AC2=CDBC；

(3)解：如圖，根據(jù)題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

HB(1,O),C(-3,0),

0OB-1,OC=3,

回NC4B=90。，AOLBC,

回。42=0600=1x3,

回OA=6,

回頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為他，⑹或(0,-⑹.

【變式訓(xùn)練3】.歐多克索斯約公元前400年出生于尼多斯，約公元前347年卒于尼多斯，精通數(shù)學(xué)、天文

學(xué)、地理學(xué).他認(rèn)為所謂的黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中較長(zhǎng)部分與全部之比，等

于較短部分與較長(zhǎng)部分之比，其比值為避二L現(xiàn)在，我們也把頂角為36。的等腰三角形叫黃金三角形.

2

A

⑴如圖1,在VABC,ZA=36°,AB=AC,/ACB的平分線CD交腰A3于點(diǎn)。.請(qǐng)你根據(jù)上述材料利用

所學(xué)知識(shí)，證明點(diǎn)。為腰A3的黃金分割點(diǎn)；

(2)如圖2,在RtaACB中，ZACB=90°,CD為斜邊A3上的高，48=若+1,若。是A3的黃金分割點(diǎn)

(AD>DB),求BC的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)BC=2

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N3=/ACB=72。，再由CD為/ACB的角平分線，求出

ZACD=ZBCD=36°,所以△BCD和VABC是相似的兩個(gè)等腰三角形，并且AD=3C,根據(jù)相似三角形對(duì)

應(yīng)邊成比例列出比例式，即可證明結(jié)論

（2）由點(diǎn)。是的黃金分割點(diǎn)，可得比例式四=處=避二L,利用此比例式求出AD,再根據(jù)相似三

ABAD2

角形的判定方法證得AACBSACDB,貝4笑=笑，即可求解BC的長(zhǎng)

CBDB

【詳解】（1）證明：???在VABC中，ZA=36°,AB=AC,

:.ZB=ZACB=J2°

團(tuán)CO為NACB的角平分線，

/.ZACD=/BCD=-ZACB=36°=ZA,,

2

.?./BDC=180°-ZB-/BCD=72°

/.AD=DC=BC.

?/ZCDB=ZACB,

:./\CBD^AABC,

BCBD

*BA-BC?

ADBD

即nn——=——,

ABAD

.??點(diǎn)。為腰A3的黃金分割點(diǎn)；

（2）解：?點(diǎn)。是A5的黃金分割點(diǎn)，

ADBD_1

"AB~AD~2?

又?.?A5=^+1,

...AQ=^1X（0+1）=2,

:.BD=AB-AD=45+1-2=45-1.

-ZACB=90°,CD是斜邊A3上的高，

/.ZACB=/CD3=90。,

/.ZA+ZB=ZB+ZBCD=90°,

.?—BCD,

AACBsACDB,

.AB_CB

…赤一麗’

/.BC2=ABBD=（百+1）（百-1）=4.

???BC>0,

，BC=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及黃金分割，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃建分割

的定義是解答此題的關(guān)鍵.

類型四、三角形內(nèi)接矩形模型

例.如圖，已知三角形鐵皮ABC的邊3C=acm,邊上的高4W=/zcm,要剪出一個(gè)正方形鐵片DENG,

使。、E在BC上，G、F分別在A3、AC上，則正方形。EFG的邊長(zhǎng)=.

【分析】設(shè)AM交GF于H點(diǎn)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點(diǎn)，

回四邊形OEFG為正方形，

HGfBDE,即：GF^BC,

SAHSGF,^AGF^BABC,

GFAH

團(tuán)--------=----------

BCAM

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,

團(tuán)?x一二-h-------x--,

ah

ah

解得：x=

a+h

ah

故答案為:

a+h

A

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，在RfflABC中，0A=9O。，AB=20cm,AC^15cm,在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接

正方形，正方形的一邊FG在8C上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、”分別在邊AB、AC上.

(1)求BC邊上的高;

(2)求正方形EFG8的邊長(zhǎng).

?田山./、/、300

【答案】(1)12cm；(2)—cm

【分析】(1)由勾股定理求出BC=25CM,再由三角形面積即可得出答案;

(2)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為羽證出朋得出比例式，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：(1)作AZMBC于交EH于0,如圖所示:

團(tuán)在RfflABC中，EIA=90°,AB20cm,AC^lScm,

0BC=72O2+152=25(cm),

11

—BCxAD=—ABxAC,

22

ABxAC20x15

團(tuán)A4D=------------=---------12(cm)；

BC25

即BC邊上的高為12cm；

(2)設(shè)正方形EbG"的邊長(zhǎng)為xcm,

團(tuán)四邊形EFGH是正方形,

團(tuán)EH勖C,

團(tuán)團(tuán)AEH=R15,0AHE=[?]C,

^\AEH^\ABC.

AOEH12-尤x

E——=——，即Hn-----=—

ADBC1225

即正方形EFGH的邊長(zhǎng)為—cm.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似

比對(duì)于高的比，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，在VABC中，3c=12,高AD=6,正方形EFGH一邊在8C上，點(diǎn)E,P分別在AB,AC

上，AD交EF于點(diǎn)、N,求AN的長(zhǎng).

【答案】2

【分析】設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)==易證四邊形曲V是矩形，則。N=x,根據(jù)正方形的性質(zhì)得

出所〃BC,推出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解.

【詳解】解：設(shè)正方形瓦G"的邊長(zhǎng)砂=EH=x,

四邊形是正方形，

NHEF=ZEHG=90°,EF\\BC,

:.AAEFS^ABC,

?.?AD是VA5c的高，

.-.ZHDN=90°,

四邊形是矩形，

:.DN=EH=x,

；AAEFSAABC,

，黑AN=三FF（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比）,

ADnC

???BC=12,AD=6,

AN=6—x,

6-x_x

6~12,

解得：x=4,

,-.AN=6-x=6-4=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，注意：矩形的對(duì)邊相等且平行，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在AA8C中，0C=9O°,AC=BC,AB=8.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度沿邊向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)尸作PZ泡48交折線AC-C3于點(diǎn)D,以PD為邊在右側(cè)作正方形POEF.設(shè)

正方形PDEF與AABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0</<4）.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，正方形尸。斯的邊長(zhǎng)為（用含r的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊8C上時(shí)，求f的值.

（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）作射線PE交邊3c于點(diǎn)G,連結(jié)。尺當(dāng)。尸=4EG時(shí)，直接寫出/的值.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：財(cái)=財(cái)。尸=45。，即4尸=。尸=2a

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：AB=AP+PF+FB,即2r+2什2t=8,可求/的值;

（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）分點(diǎn)E在AABC內(nèi)部和AABC外部?jī)煞N情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求f的值.

【詳解】（1）EEC=90°,AC=BC,

m4=45。=回2,且DPEIAB,

aaA=EAQP=45°,

0Ap=。尸=23

故答案為It,

（2）如圖,

團(tuán)四邊形。石尸尸是正方形，

⑦DP=DE=EF=PF,^DPF=^\EFP=90°f

能m=回3=45°,

回媯=她。尸=團(tuán)3=團(tuán)5石尸=45°,

^\AP=DP=2t=EF=FB=PFf

顯45=AP+PF+FB,

團(tuán)2什2/+2/=8,

「4

0/=-；

(3)當(dāng)0<fg時(shí)，正方形PDE歹與AABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF的面積,

即S=DP2=4t2,

團(tuán)8/7=8-AP-PF=8-43

國(guó)BF=HF=8-4b

^EH=EF-HF=2t-(8-40=6t-8,

回S=S正方形DPFE-S^GHEf

05=4r2--x(6Z-8)2=-14/+481-32,

2

f24

S=4產(chǎn)(0<z<-)

綜上所述，s與f之間的函數(shù)關(guān)系式為3

s=-14f+48Z-32(-<?<2)

(4)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AABC內(nèi)部,設(shè)DF與PE交于點(diǎn)0,

ApFB

回四邊形尸。環(huán)是正方形，

國(guó)DF=PE=2PO=2EO,WFP=45°,

團(tuán)回。尸尸=M5C=45°,

團(tuán)。/詞5C,

POPF

回一=

PGPB

0￡)F=4EG,

團(tuán)設(shè)EG=〃，則=4〃=尸及PO=2a=EOf

團(tuán)尸G=5〃，

POPF2a

回——=

PGPB5a

2r_2

團(tuán)

8-2/-5

8

亞=一,

7

如圖，當(dāng)點(diǎn)石在△△5c外部，設(shè)。廠與PE交于點(diǎn)O,

團(tuán)四邊形PDE廠是正方形,

^\DF=PE=2PO=2EO,團(tuán)。尸尸=45°,

團(tuán)團(tuán)。尸尸=朋3。=45°,

^DF^BC,

POPF

0一=

PGPB

團(tuán)。尸=4EG,

團(tuán)設(shè)EG=a,則DF=4a=PE,PO=2a=EO,

團(tuán)尸G=3〃,

POPF2a

團(tuán)----二----

PGPB3a

2t2

團(tuán)

8—2,3

8

亞=g,

綜上所述：Q或小Q

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比

例和重疊部分的面積等知識(shí),先求特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)的/值，做到不重不漏，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，確定重

疊部分圖形的形狀是解題的關(guān)鍵.

類型五、三平行模型

例.圖，AB//GH//CD,點(diǎn)”在上，AC與3。交于點(diǎn)G,A3=2,CD=3,求GH的長(zhǎng).

D

【答案】|

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB//GH,可證△CGH—由性質(zhì)得出器=器，由

GH//CD,可證△BG/ffiaBDC,由性質(zhì)得出空=饕，將兩個(gè)式子相加，即可求出G8的長(zhǎng).

CDBC

【詳解】解：^AB//CH,

回她二團(tuán)“GC,媯3。二團(tuán)GHC,

WCGH^ICAB,

GHCH

團(tuán)----=----

ABBC

⑦GH〃CD,

釀。二團(tuán)HG5,團(tuán)。C8二團(tuán)GH5,

△BGH00BDC,

GHBH

團(tuán)---------

CDBC

GHGHCHBH.

團(tuán)---+----=----+----=1,

ABCDBCBC

^\AB=2,CD=3,

GHGH1

0——+——=l,

23

解得：GH=..

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1].如圖L/4B。中，AB=AC,點(diǎn)。在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC,點(diǎn)、F是DE

與AC的交點(diǎn).

(1)求證：0BD￡=0ACD；

(2)若DE=2DF,過點(diǎn)E作EG〃AC交AB于點(diǎn)G,求證：AB=2AG；

(3)將"點(diǎn)。在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上"改為"點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上"，"點(diǎn)E是DE

與AC的交點(diǎn)"改為"點(diǎn)產(chǎn)是即的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2.

①求證：ABBE=ADBC；

②若DE=4DF,請(qǐng)直接寫出SAABC：SADEC的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)①見解析；(2)16:15.

【分析】(1)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題.

(2)如圖1,證明SDCA團(tuán)團(tuán)匹G(44S),得AO=EG,根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB,由平行線分線段

成比例定理得：鏈=坐=2,由此可得結(jié)論；

DFAD

(3)①如圖2,作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明EIOCAEHEDG(AAS),得DA=EG,再證明0ACBEHGE8,

列比例式可得結(jié)論；

②如圖3,作輔助線，構(gòu)建EABC和SDCE的高線，先得”=處=],設(shè)則￡G=A￡)=4a,DG=16a,

EGDG4

根據(jù)得＜|=當(dāng)=空=[,設(shè)尸。=3/z,AH=4h,根據(jù)EG0AC,同理得嬰=等=萼=?,設(shè)

AHAB16a4ABBC\6a4

BE=y,BC=4y,利用三角形面積公式代入可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：^AC=AB,

EEIACB=EB,

SDC=DE,

SSiDCE^DEC,

^S\ACD+^ACB=^B+^BDE,

^S\BDE=^ACD；

(2)證明：如圖1,

c

團(tuán)EG0AC,

團(tuán)團(tuán)DAC二團(tuán)OGE,國(guó)BEGR1ACB,

由(1)知：WCA=^\BDE,

⑦DC=DE,

mDCA^\EDG(AAS),

0AD=EG,

團(tuán)團(tuán)樂財(cái)。樂姐EG,

^\EG=BG=AD,

0￡>G=AB,

^1DE=2DF,AF^\EG,

DEDG

團(tuán)——=

DF~AD

SDG=2AD=2AG,

^AB=DG=2AG；

(3)解：①如圖2,過點(diǎn)E作EGfflAC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

則有0A=EIG,

^\AB=AC,CD=DE,

0[?L4CB=[?L4BC,^DCE=^DEC,

團(tuán)她CD+回0CE=團(tuán)EDG+回DEC,

回她CD二回EDG,

在回0cA和團(tuán)EDG中，

ZACD=ZEDG

回(ZA=ZG,

CD=DE

^\DCA^\EDG(AAS).

SZ)A=EG,

MCHEG,

團(tuán)她。3團(tuán)團(tuán)GEB,

ACBC

0-----=-----，

EGBE

^1EG=AD,AC=AB,

^\AB^BE=AD^BC；

②如圖3,過A作AH0BC于"，過。作。P03c于P,貝ljAH0尸。,

AFADDF

FQ?I-E---G---~--D---G------D----E-'

[?]DE=4DF,

AFAD1

回--------——，

EGDG4

設(shè)AF=a,貝!JEG=AD=^a,DG=16a,

^\ACB=^\ABCf

團(tuán)回GBE二團(tuán)BEG,

?BG=EG=4a,

^\BD=12af

^\AHBPD,

PDBD12a3

團(tuán)——=

AHAB~16a~4f

設(shè)尸￡)=3〃，AH=4h,

團(tuán)EGa4C,

BGBE4。1

團(tuán)---=---

ABBC16a4

設(shè)BE=y,BC=4y,

4y?h16yh,

^\SAABC=-BC^AH=-一二一=8加

22

c13y?h15

SADCE=—CE9PD=—--=-yh,

15

回S』A5C：S/DEC=8yh：—yh=16：15.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分

線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，第三問有難度，利用參數(shù)表示各線段的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，

綜合性較強(qiáng).

【變式訓(xùn)練2】.如圖，在菱形ABCD中，回ADE、團(tuán)CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F,DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M,

且回ADE=[3CDF.

（1）求證：CE=AF；

（2）連接ME,若絲=要，AF=2,求ME的長(zhǎng).

BECE

【答案】（1）見解析（2）2

【分析】（1）通過已知條件，易證I3ADFEBCDE,即可求得；

（2）根據(jù)延=里，易求得BE和BF,根據(jù)已知條件可得空=里=生，證明回AMFEBCMD,

BECEBECEAF

CDCMCF

——=——二——，再證明團(tuán)ABC?回MEC,即可求出ME.

AFAMBE

【詳解】解：（1）回四邊形A3CD是菱形，

^\AD=CD,^\DAF=^\DCE,

又回0AoE=[3C。尸，

團(tuán)她。E-團(tuán)EDF=aCDF-aEDF,

^\ADF=^\CDEf

在國(guó)4。b和團(tuán)CDE中，

ZADF=ZCDF

<AD=CD,

ZDAF=ZDCE

盟lADfWlCDE,

^\CE=AF.

（2）團(tuán)四邊形ABC。是菱形，

^\AB=BC,

由（1）得：CE=AF=2f

^\BE=BFf

設(shè)BE=BF=x,

CECD,「

回一=——,AF=2,

BECE

0-=—,解得x=K-l,

x2

@BE=BF=^—1,

CECDCD

回一=一=丁，

BECEAF

mCMD=^\AMFf^DCM^^AMF,

^AMF^CMD,

CDCM

團(tuán)---=----

AFAM

CDCM

團(tuán)---=----——,且回