2024-2025學年廣西桂林市高一年級上冊12月新高考月考數(shù)學測試試題（含解析）

2024-2025學年廣西桂林市高一上學期12月新高考月考數(shù)學

測試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1,若2={刈》一1<2},B={x\x>2}^則zn5=（）

A.°B,{x|x>2}C,{x|x<3}D.{x|2<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可算出結果.

【詳解】因為N={x||x—[<2}={x|—l<x<3},

8={x|>2},所以={x[2<x<3}。

故選：D.

2「、=2”是“/-》-2=0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先解方程V-x-2=0,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】方程Y—x—2=0解得，x=2或一1,

所以“x=2”是“必一工一2=o”的充分不必要條件；

故選：B.

3.任意實數(shù)。>0且函數(shù)歹=log.（x-l）的圖象恒過尸，則點尸的坐標（）

A.（2,0）B."JC.（1,0）D.（0,1）

【答案】A

【解析】

【分析】由對數(shù)函數(shù)圖象恒過（1,0）點，即可求解.

【詳解】因為對數(shù)函數(shù)圖象恒過點。刀），所以令X-1=1,解得x=2,

所以任意實數(shù)a>0且awl,函數(shù)歹=log“（x-1）的圖象恒過點尸（2,0）.

故選：A.

2

4.已知a是二角形的一個內(nèi)角，且sina+cosa=—,那么這個二角形的形狀為（）

3

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

25

【分析】sina+cosa=一兩邊平方后得到sinacosa=---<0,由a是三角形的一個內(nèi)角得至U，

318

sina>0且cosa<0,進而得到三角形的形狀為鈍角三角形.

224.4

【詳解】由sina+cosa=],得（sina+cosaI=—,BP1+2sinacosa=—

99

所以sinacosa=---<0,

a是三角形的一個內(nèi)角，有ae（0,兀），有sina>0,

所以cosa<0,得■，兀J,即三角形為鈍角三角形.

故選：B.

5.函數(shù)>=2、的部分圖象大致是（）

【答案】D

【解析】

【分析】通過計算函數(shù)的特殊值，利用排除法確定正確選項.

【詳解】函數(shù)y=x2—2"當x=0,y=—1<0,排除AB選項;

當x=2,y=0；當x=3,y=l>0；當x=4,y=0,只有D選項符合.

故選：D

6.設anlogosO.6,6=0.25"3,c=O,6-06;則。，b,c的大小關系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合特殊值判定即可.

【詳解】因為歹=logos》在（°，+。）上單調(diào)遞減，所以1080.51<1。80.50-6〈1。80.5°-5,HP0<a<1.

因為了=x°6在（0,+。）上單調(diào)遞增，又0.25一°3=05°6=2°-6,0&°6=弓],

又2〉g〉l,所以〉產(chǎn)6,故6>c>l,所以6>c>a.

故選：C.

7.設函數(shù)=—6"+6：x'O,若互不相等的實數(shù)項，々，/滿足=則

3x+4,x<0

X]+/+X3的取值范圍是（）

f20261（2PT]件6]D.（'J

、[T'T]B

【答案】D

【解析】

【分析】作出函數(shù)/（x）的圖像，根據(jù)圖像得出Xl,馬,X3滿足的條件和范圍，從而得出答案.

【詳解】作出的圖像如下圖所示,

61y=

/(x1)=/(x2)=/(x3),不妨設西<乙<》3，

7

f(3)=-3,x<0時，/(x)=3x+4=-3nx=-§,

7

則由圖像可知，—§<X]<0,%2+%3=6,

所以VX]+工2+%3V6,

故選：D.

8.己知/(x)是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，X/〃eN,/(〃)eN,且/(/(〃))=3"，則

()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出/(0)=0，/⑴=2,然后逐項計算可得出/(9)=18,/(12)=21,即可得出/(11)

的值.

【詳解】V?GN,/(〃)eN,且/(/(〃))=3〃，則有/(/(。))=0,

因為/(0)eN,若/(0)=0,則/(/(O))=/(O)=O,合乎題意，

若/(0)21,則/(/(0))2/(1)>/(0)之1,這與/(/(0))=0矛盾，故/(0)=0；

所以/(1)>/(0)=0,因為/(l)eN,則/⑴21,

因為/(/。))=3,若/(1)=1,則/(/。))=/(1)=1，這與/(/。))=3矛盾，

若/(1)=2,則/(/(1))=〃2)=3>/⑴，合乎題意，

若/⑴23,則/(/(1))2/(3)>/(1)23,即/(/(1))>3,矛盾，故/⑴=2.

/(/⑵)=/(3)=6,所以/(/(3))=/(6)=9,

所以6=-3)</(4)</(5)</(6)=9,于是/(4)=7,/⑸=8.

因為/(/(4))=/⑺=12,所以/(/⑺)=/(12)=21,

因為/(/(6))=/(9)=18,所以18=/(9)</(10)</(II)</(12)=21,

所以〃10)=19,/(II)=20.

故選：c.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的選項中，有多項符合題目要

求.（答案有兩個選項只選一個對得3分，錯選不得分；答案有三個選項只選一個對得2分,

只選兩個都對得4分，錯選不得分）

9.下列結論正確的是（）

A.Irad的角比1。的角大

B.與-660°角終邊相同的最小正角是30。

4

C.已知某扇形的圓心角是一，半徑是3,則該扇形的面積是6兀

3

D.已知角a的終邊經(jīng)過點尸,貝iJcosa=￥

【答案】AD

【解析】

【分析】運用弧度制概念、終邊相同角，弧度制下的弧長面積公式和三角函數(shù)定義逐個計算判定.

【詳解】對于A,Irada57.3°>1°,A正確;

對于B,與-660。角終邊相同的最小正角是60。，B錯誤;

1,14

對于C,=-\a\R2=-x-x9=6,C錯誤;

"223

B廠

對于D,2J3,D正確.

cosa=-^=——

12

故選：AD.

10.下列結論正確的是（）

A.若Q<Z?<0,貝<僅一1/

B.若m6GR,且Q+Z?=2,貝！J2。+2,24

eg7-1]+0.25為周=—3

D.1g25+1g2+In+sin弓=5f

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)基本不等式的應用即可判斷B；根據(jù)分數(shù)指數(shù)哥的化簡計算即

可判斷C；根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】A：由。<6<0,得所以(a-if>(6-1)2,故A錯誤;

B：2°>0,2*>0,所以2"+2〃42,2"?2〃==4，

當且僅當2"=2b即a=6=1時，等號成立，故B正確；

=—4—1+0.5x=—5+0.5x4=—3.

C：原式1，故C正確；

(Fv

D：JMj^=lg25?+lg2+lne2-^l=lgl0+--—=,故D正確

2222?

故選：BCD

II.已知函數(shù)/(x)=log2(2工+2T+2)——J—,則下列各選項正確的是()

A./(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增B.7(x)是偶函數(shù)

C./(x)的最小值為1D.方程/(x)=2x無解

【答案】BC

【解析】

【分析】運用復合函數(shù)單調(diào)性判定A,運用奇偶性判定B,運用單調(diào)性計算判定C,運用零點存在性定理計

算判定D.

【詳解】當x<0時，0<2*<1，令g(x)=log2M,iz=/+；+2,/=2”,

則/=2工單調(diào)遞增，對勾型函數(shù)瓦=/+%2。€(0,1))單調(diào)遞減，g(x)=log2/單調(diào)遞增，故g(x)單調(diào)

遞減，與y=--J—均為減函數(shù)，

X+1

所以/(x)在區(qū)間(-。,0)上單調(diào)遞減，A錯誤；

因為/(x)=log2(2,+2T+2)--^―,定義域為R,

且/(—x)=log2(2"+2T+2)——所以/(x)為偶函數(shù)，B正確；

X十1

由偶函數(shù)對稱性可知，/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(0)=1，C正確；

令〃(x)=/(x)-2x,所以力(0)=l〉0,/z(l)=log2|'_g=log24.5_log24&<0,

由零點存在性定理可知方程/(x)=2x有解，D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若命題Fx>2025，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(一叫2025]

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即可由恒成立求解最值求解.

【詳解】命題“%>2025,是假命題，則命題的否定“\/x>2025,是真命題，

所以aW2025,實數(shù)。的取值范圍是(一*2025]

故答案為：(-?),2025].

13.一種放射性元素，每年的衰減率是10%,那么akg的這種物質(zhì)的半衰期(剩余量為原來的一半所需的

時間)/等于.

【答案】logo.90-5

【解析】

【分析】設物質(zhì)的半衰期(剩余量為原來的一半所需的時間)t,可以得出一個方程，指數(shù)對數(shù)互化求出

t.

【詳解】。千克的這種物質(zhì)的半衰期(剩余量為原來的一半所需的時間)為"

H1

a(l-10%y=-^(1-10%/=-,指數(shù)對數(shù)互化得到/=log0.90.5.

故答案為：logo.905

14.定義：若函數(shù)尸(X)在區(qū)間[加河上的值域為[加,〃],則稱區(qū)間[陽刈是函數(shù)E(x)的“完美區(qū)間”已知

函數(shù)/(%)=山卜'-1)-111(於+1),若函數(shù)g(x)=/(x)+lnb存在“完美區(qū)間”，則實數(shù)6的取值范圍

是.

【答案】(3+2后,+8)

【解析】

【分析】先求函數(shù)/(x)的定義域，再證明/(x)=ln(e*—l)—在(0,+8)上單調(diào)遞增.

根據(jù)新定義，題意可知方程g(x)=》在(0,+8)上至少存在兩個不同的實數(shù)解，

exI'+1)e"e"+1)

即6=」_e____在(。，+8)上至少存在兩個不同的實數(shù)解，所以>=6與曠=」______L在(0,+8)上至少

ex-lex-l

存在兩個不同的交點.再利用基本不等式求出函數(shù)y=e*(e'+l)的值域即可.

e*-1

e—1〉0、

【詳解】由［y+］>0，解得彳>0,所以函數(shù)/(x)的定義域是(0,+8).

因為/(x)=ln(e、—1)——

2

又V=e"+1在(0,+8)上為增函數(shù)，所以y=-----在(0,+8)上為減函數(shù)，

--e+1

所以歹=1一一二一在(0,+8)上為增函數(shù)，j=ln|1-］,］在(0,+8)上為增函數(shù)，

e+1Ve+1J

故/(%)=111.一1)一111(d+1)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

可知g(x)=/(x)+lnb在(0,+8)上單調(diào)遞增，

設區(qū)間［加刈是函數(shù)g(x)=/(x)+lnb的“完美區(qū)間”.則g(加)=加,g(〃)=〃.

可知方程g(x)=%在(0,+8)上至少存在兩個不同的實數(shù)解，

e'(e*+1)

即6=」_____在(。，+8)上至少存在兩個不同的實數(shù)解，

ex-l

xv

e(e+1)

所以>與」_____L在(o,+8)上至少存在兩個不同的交點.

ex-1

令/=e=1，則)>0,

(‘+1)(‘+2)/+3/+22、、人

所以6=^——八----------------=t+-+3>3+2y/2，

ttt

當且僅當.=拒時，取等號.

又y=/+：+3在(0,行)上單調(diào)遞減，在(后,+。)上單調(diào)遞增，

且當/->0時，了—十8;當/f+00時，J->+?.

所以3>3+2啦時滿足題意.故實數(shù)b的取值范圍為(3+272,+“).

故答案為：(3+2后,+00).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合2={0,加，機2-3掰+2},且{2}口2.

（1）求實數(shù)加的值；

（2）正實數(shù)①6滿足a+（加+1）6=2,求工+工的最小值.

ab

【答案】（1）m=3；

（2）

2

【解析】

【分析】（1）由題設得到2eN,進而得加=2或加2一3加+2=2,求出加，再求出/并結合集合中元素

的互異性檢驗即可得解.

（2）先由（1）得。+46=2,再結合基本不等式“1”的妙用方法計算即可得解.

【小問1詳解】

因為{2}<4,所以2eZ,又2={0,九--3加+2},

所以加=2或加2一3加+2=2，解得加=2或加=0或加=3,

當機=2時，^={0,m,m2-3m+2}={0,2,0},與集合中元素的互異性相矛盾，不符合；

當機=0時，幺={0,0,2},與集合中元素的互異性相矛盾，不符合；

當機=3時，4={0,3,2},符合.

所以加=3.

【小問2詳解】

由（1）得°+4，=2,又?！?,6>0,

111,.11c14ba9

所以一+：=二(。+

ab22(NabJ2

4h2

當且僅當——=a7即。=2b=—時等號成立,

ab3

119

所以--H—的最小值為二.

ab2

16.已知角。為第二象限的角，且tan8=-■—.

12

（1）求三角函數(shù)sin。，cos。的值;

sin（一-cos（7i+6）

（2）求（8—2兀）-tan（兀_g）_sin15-S的值.

COS

5I?

【答案】（1）sin6=—,cos<9=---.

1313

17

（2）——

7

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系求sin。和cos。的值；

（2）利用誘導公式化簡，由齊次式代入已知條件求值.

【小問1詳解】

角。為第二象限的角，則有sin9>0,cos6<0,

sin。5

5----=----s12

又tan。=---，可得《cos。12，解得sin6=—,cos3=---.

12|sin2^+cos2^=l1313

【小問2詳解】

sin（—6）—cos（兀+6）_-sin8+cos9

cos（"2兀）.tan（兀叫-sin4丁"三吁斕

A+1

-sine+cosS-tan0+\\217

-sinJ-cose-tan0-157

---1

12

17.已知函數(shù)y=小|]±+，2'—2的定義域為"

（1）求跖

（2）當xeAf時，求函數(shù)/（X）=2（log2x）2+alog2x的最大值.

【答案】⑴M={x|l<x<2}

2+Q,a2—2

（2）f（x）=<

J\/max0,a<—2

【解析】

2+x

【分析】(1)由題意可得J2'-220,解出不等式組即可;

xw—2

(2)利用換元法令f=log2X,則原函數(shù)等價求函數(shù)于g?)=2r+a"的最值，分為口之―2和

?<-2兩種情形，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得其最大值.

【小問1詳解】

^>0

2+x

由題意知｛2、—220,解得

xw—2

故"={x|lW2}.

【小問2詳解】

2

f(x)=2(log,x)+alog2x,

令"log?》，可得g(7)=2/+a/,其對稱軸為直線f=-(,

ai

當—即a"2時，g⑺1mx=g6=2+a.

ai

當—『5'即"一2時，g(/)1mx=g(0)=0.

2+Q,a2—2,

綜上可知，/(x)=<

max0,a<—2.

18.在經(jīng)濟學中，函數(shù)/(%)的邊際函數(shù)0(%)=/(%+1)-/(%),某公司每月最多生產(chǎn)10臺光刻機的某

種設備，生產(chǎn)X臺(x21,xeN*)這種設備的收入函數(shù)為氏(》)=/+=+40(單位千萬元)，其成本函

JC

40

數(shù)為C(x)=10x+—(單位千萬元).(以下問題請注意定義域)

(1)求收入函數(shù)衣(X)的最小值；

(2)求成本函數(shù)C(x)的邊際函數(shù)MC(x)的最大值；

(3)求生產(chǎn)x臺光刻機的這種設備的利潤z(x)的最小值.

【答案】(1)48(千萬元)

(3)7(千萬元)

【解析】

【分析】(1)利用基本不等式求函數(shù)的最小值即得；

(2)求出邊際函數(shù)MC(x)的解析式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值；

(3)求出利潤函數(shù)z(x)的解析式，換元后運用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解最值.

【小問1詳解】

1A

VR=x2——+40,I^X^IOJXGN.

x

.1.7?(x)>2Jx2-^f+40=48，當且僅當r=當即x=2時等號成立.

\XX

...當X=2時，R(X)min=48(千萬元)；

【小問2詳解】

MC(x)=C(x+l)-C(x),l<x<9,xeN*

404040

MC(x)=10(x+l)+---10x-----=10-y_—,l<x<9,xeN\

x+1x(x+l)x

由函數(shù)單調(diào)性知,MC(x)在1VxW9,xeN*時單調(diào)遞增，

故當x=9時，MC(x)=10—--=—；

\'max10x99

【小問3詳解】

由z(x)=7?(x)-C(x)=x2+^+40-^10x4--^=［x+3］-10^x+—^j+32,

則z(x)=1x+&-51+7,1<x<9,xeN*.

AQCQC

記心)=)+—,則該函數(shù)在［1,2］上遞減，在［2,9］上遞增，且?1)=5/(9)=一，故，可4,一］,

x99

于是當/=x+g=5時，z(x)取得最小值.由一—5%+4=0,解得％=4或x=l,

故當x=4或x=l時，Z(X)min=7(千萬元).

19.函數(shù)/⑴和g(x)具有如下性質(zhì)：①定義域均為R；②/(')為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)；③

/(x)+g(x)=e*(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(x)和g(x)的解析式；

(2)對任意實數(shù)X,[g(x)]2-[/(X)T是否為定值，若是請求出該定值，若不是請說明理由;

(3)若不等式2/(x)—掰?g(2x)?0對Vxe[ln2,ln3卜恒成立，求實數(shù)〃?的取