2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：四類手拉手相似模型（解析版）

專題13四類手拉手相似模型

目錄

解題知識(shí)必備..............................................

壓軸題型講練..............................................

類型一、任意三角形............................................................2

類型二、等腰三角形...........................................................14

類型三、直角三角形..........................................................24

類型四、等邊三角形或等腰直角三角形.......................................33

壓軸能力測(cè)評(píng)(10題).....................................

“解題知識(shí)必備??

"手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的

圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

1、利用三邊證相似三角形的方法

(1)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.

可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

(2)利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對(duì)短、長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)、

中間對(duì)中間的方法找對(duì)應(yīng)邊另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.

2.利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法

(1)如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.

(2)利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對(duì)應(yīng)相等，

則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似

若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)

三角形不相似。

3.利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法

(1)如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(2)利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個(gè)三角形中不能直接找出兩個(gè)角分別

相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角等知識(shí)，設(shè)法求出其中一個(gè)三角形中的第三個(gè)角，再判斷

兩個(gè)三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個(gè)三角形相似，否則兩個(gè)三角形不相似。

X壓軸題型講練??

于點(diǎn)R.點(diǎn)。在5c邊上，空=6,求空的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新：如圖(3),。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，ABAD=ZCBD=30°,ZBDC=9Q),AB=4,AC=1^3,直

接寫出AO的長(zhǎng).

ACARAT

【分析】問(wèn)題背景：通過(guò)得到布=石,-—,再找到相等的角，從而可證

AE

△ABDs^ACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,通過(guò)4csmE可以證得AABD“AACE，得至U些=絲，然后去證AAFEs^DFC,

CEAE

△ADFs/xECF,通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案；

拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作團(tuán)DAE二團(tuán)BAC,AE交BD延長(zhǎng)線于E,連接CE,通過(guò)4cs,^BAD^CAE,

然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案.

【詳解】問(wèn)題背景：回△ASCS^ADE,

ABAC

團(tuán)團(tuán)BAC二團(tuán)DAE,-=一,

ADAE

團(tuán)團(tuán)BAD+團(tuán)DAOCAE+團(tuán)DAC,

團(tuán)團(tuán)BAD二團(tuán)CAE,

團(tuán)△ABD-△ACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,

ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30),

0ABACSJDAE,

「ABAD

回——=——,

ACAE

團(tuán)團(tuán)BAD+團(tuán)DAC=CAE+團(tuán)DAC,

團(tuán)團(tuán)BAD二團(tuán)CAE,

團(tuán)^ABDs^ACE,

BDAD

團(tuán)---=---，

CEAE

由于NAD石=30°,NDAE=90°，

AE_仙

團(tuán)口"30°=

~AD~~T

即膽=絲=后

CEAE

ADr-

0——二J3,

BD

ADc

團(tuán)——=3

CE

0ZBAC=Z￡)AE=90°,ZABC=ZADE=30°,

0ZC=ZE=6O\

又回NAFE=NDFC,

團(tuán)AAFES/\DFC,

AFEF口口AFDF

團(tuán)=艮口=

DFCF9EFCF

又田NAFD=NEFC

0Z\ADFS&ECF,

DFADc

團(tuán)——=-二3；

CFCE

拓展創(chuàng)新：AD=yf5

如圖，在AD的右側(cè)作團(tuán)DAE二團(tuán)BAC,AE交BD延長(zhǎng)線于E,連接CE,

A

回回ADE二團(tuán)BAD+團(tuán)ABD,團(tuán)ABC二回ABD+回CBD,ZBAD=ZCBD=30°,

團(tuán)團(tuán)ADE二回ABC,

又團(tuán)團(tuán)DAE二回BAC,

團(tuán)ABACS/JJAE,

ABACBC

回一=

ADAE-DE

又團(tuán)團(tuán)DAE二回BAC,

麗BAD二團(tuán)CAE,

團(tuán)ABAD^^CAE,

?BDABAD42^

回_______—___—___—___

CEAC-AE-2石3

設(shè)CD=x,在直角三角形BCD中，由于EICBD=30。,

回8。=氐，BC=2x,

3

團(tuán)CE=—x,

團(tuán)-------,

ADDE

4_2x

回A￡）一君，

——X

2

0AD=>/5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.在VABC和VADE中，BA=BC,DA=DE,且/ABC=/ADE=a,點(diǎn)E在VABC的內(nèi)

部，連接EC,EB,EA和8。并且ZACE+ZABE=90°.

【觀察猜想】

（1）如圖①，當(dāng)。=60。時(shí)，線段80與CE的數(shù)量關(guān)系為,線段EA,EB,EC的數(shù)量關(guān)系為

【探究證明】

（2）如圖②，當(dāng)a=90。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若BC=2石，請(qǐng)直接寫出V3DE的面積.

【答案】（1）BD=CE,EB2+EC2=EA2;（2）不成立，理由見解析；（3）2

【分析】（1）由△■DABaaEAC（SAS）,可得8D=EC,SABD^CE,由EACE+EIABE=9O°,推出EABD+0ABE=9O°,

可得回。2￡=90。，由此即可解決問(wèn)題；

（2）結(jié)論：EA^E^BE2.由題意"BC,"DE都是等腰直角三角形，想辦法證明AIM施回￡AC,推出

—,0ACE=0AB￡）,可得回。2￡=90°,推出。講力6+呂盡，即可解決問(wèn)題；

ECAC2

(3)首先證明AZXDE=EC,設(shè)AZXDE=EC=x,在R〃AZ)C中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題;

【詳解】(1)如圖①中，

圖①

0BA=BC,DA=DE.且0ABe=EIAOE=60。,

00ABC,AADE都是等邊三角形，

0AD=AE,AB=AC,0DAE=0BAC=6O°,

E0￡>AB=0EAC,

EHDABEBE4c(SAS),

SBD=EC,^ABD=SACE,

EB4CE+EABE=90°,

00ABD+EABE=9O°,

0EDBE=9O",

^DE2=BD2+BE2,

^}EA=DE,BD=EC,

^\EA2=BE2+EC2.

故答案為：BD=EC,EA^EB^EC2.

(2)結(jié)論：EA?=EC2+2BE2.

理由：如圖②中，

圖②

0BA=BC,DA=DE.且EABC=ElA￡)E=90。,

aaABC,AADE都是等腰直角三角形，

H3D4E=I3BAC=45°,

E0DAB=0￡AC,

^AD_母AB一夜

團(tuán)---，---，

AE2AC2

ADAB

團(tuán)-------，

AEAC

說(shuō)DAB團(tuán)團(tuán)E4C,

DBABJ2

回一=—=—,^ACE=^ABD

ECAC29

0[?1ACE+[?1ABE=9OO,

0[7]AB￡)+[MBE=9OO,

團(tuán)團(tuán)D5E=90°,

⑦DE2=B》+BE2,

0EA=6DE,BD=§EC,

E-EA2=-EC2+B￡2,

22

SEA2=EC2+2BE2.

(3)如圖③中，

圖③

H3AED=45°,D,E,C共線，

aa4EC=135°,

BSiADB^EAEC,

fflAO8=EIAEC=135°,

0EIADE=0￡)BE=9OO,

^EBDE=^BED=45°,

SBD=BE,

回DE=y/2BD,

0￡C=^/2BD,

^AD=DE=EC,設(shè)AD=DE=EC=x,

在AfZVlBC中，回A8=BC=20，

EL4c=2而，

在RtxADC中，

SAiy+D^AC2,

ELr2+4x2=40,

Bv=2及(負(fù)根已經(jīng)舍棄)，

SAD=DE=272，

^\BD=BE=2,

0SBD￡=-X2X2=2.

A2

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或

相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

【變式訓(xùn)練2】.在0ABe中，AB^AC,SBAC=a，點(diǎn)P是0ABe外一點(diǎn)，連接8P,將線段8尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,連接BD,CD,AP.

觀察猜想：

圖1圖2圖3

CD

(1)如圖1,當(dāng)。=60。時(shí)，f的值為，直線CQ與AP所成的較小角的度數(shù)為°；

AP

類比探究：

CD

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，求出大的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)E,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段小的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A,D,P三

點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G,CD交AB于點(diǎn)H.若CD=2+也，求2。的長(zhǎng).

【答案】(1)1,60；(2)*=下,直線C。與AP所成的較小角的度數(shù)為45。；(3)BD=也.

【分析】(1)根據(jù)a=60。時(shí)，EABC是等邊三角形，再證明團(tuán)PBAEHDBC,即可求解，再得到直線C￡)與AP

所成的度數(shù)；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明團(tuán)PBA釀DBC,再得到工=黑，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線

APAB

CD與AP所成的度數(shù)；

(3)延長(zhǎng)CA,BO相交于點(diǎn)K,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得aBC￡>=E!KCQ,由

(2)的結(jié)論求出AP的長(zhǎng)，再利用在R/0PB。中，設(shè)PB=PD=x,由勾股定理可得BO=&x=A。，再列

出方程即可求出無(wú)，故可得到的長(zhǎng).

【詳解】(1)取x=60°,AB=AC,

國(guó)ABC是等邊三角形，

^\AB=CB

團(tuán)將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,

加80P是等邊三角形，

國(guó)BP=BD

^1PBA=^PBD-^ABD=600-^ABD,^DBC=^ABC-^\ABD=60°-^ABD,

^\PBA=WBC

^\AP=CD

CD

回一=1

AP

如圖，延長(zhǎng)CO交A3,AP分別于點(diǎn)G,H,則財(cái)”。為直線CD與AP所成的較小角,

團(tuán)團(tuán)尸BA團(tuán)/DBC

團(tuán)回二團(tuán)OC3

團(tuán)團(tuán)"GA二姐GC

團(tuán)朋HC=0ABC=6O°

故答案為：1,60；

(2)解：如圖，延長(zhǎng)CO交ASA尸分別于點(diǎn)M,N,則朋NC為直線CO與”所成的較小角,

^\AB=AC,詠。=90°,

00ABC=45°.

ABF)

在Rf^ABC中，——=cos0A3C=cos45。=一.

BC2

⑦PB=PD,回5尸。=90°,

甌尸回尸￡)3=45°.

.,PB&

在Rt^PBD中，一=cos0PBD=cos45°=—.

BD2

48PB

團(tuán)一=——,^ABC=^\PBD.

BCBD

00ABC-0ABD=aPBD—^\ABD.

即回尸84=團(tuán)。3。.

^BPBA^DBC.

CDBCr-

0一=一=正,^PAB=^DCB.

APABz

^\AMN=^\CMB,回0ANC=SA3C=45°.

即子=血，直線CO與AP所成的較小角的度數(shù)為45。.

/\r

⑶延長(zhǎng)CA,5。相交于點(diǎn)K,如圖.

配1AP3=9O°,E為A3的中點(diǎn)，BEP=EA=EB.

團(tuán)團(tuán)胡尸=團(tuán)石必，^\EBP=^EPB.

團(tuán)點(diǎn)E,F為AB,AC的中點(diǎn)，

SPF//BC.

mAFP=^ACB=^PBD=45°.

^\BGP=BFGKf

mBPE=BK.

^\K=BEBPf

團(tuán)團(tuán)E5P=回尸E8,^PEB=^DBC,

團(tuán)團(tuán)K=IEC5D

^\CB=CK.

函BCD=團(tuán)KCQ.

由⑵知她OC=回尸05=45°,BPBA^\DBC9

^\PAB^DCB.

團(tuán)團(tuán)3￡>C=180°—45°—45°=90°=團(tuán)BAC.

^BHD=^\CHA,

^\DBA=^\DCA.

釀03A=團(tuán)以8

^\AD=BD.

由（2）知DC=6AP,

她p=^^|=]+啦.

V2

在R煙尸中，PB=PD=x,由勾股定理可得BD=JPB2+PD2=g=AD.

^1AD+PD=x+yf2x=AP=l+72.

1.

^BD=y/2■

【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法.

【變式訓(xùn)練3].（1）嘗試探究：如圖①，在ZL4BC中，ZACB=9Q°,ZA=30°,點(diǎn)、E、尸分別是邊2C、AC

上的點(diǎn)，且EFI3AB.

①槳的值為：

DE.

②直線"與直線BE的位置關(guān)系為;

（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的ACEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AF,BE,則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，

請(qǐng)判斷黑的值及直線AF與直線3E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

BE

（3）拓展運(yùn)用：若3c=3,CE=2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)房后,斤三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段

題的長(zhǎng).

【答案】（1）①后，②AF_L3E;（2）竺=有，AF_L3E,證明見解析；（3）AF=3也-6或AF=3及+△

BE

【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC=GBC,CF=V3CE,可得AF=AC-CF=G（BC-CE）,BE=BC-CE,

即可求”AF=6r-;

BE

②由垂直的定義可得AF0BE；

A/ACr-

(2)由題意可證ElACFaSBCE,可得一=—=^3,[2FAC=0CBE,由余角的性質(zhì)可證AFI3BE；

BEBC

(3)分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)團(tuán)ZAC5=90。，ZA=30°,

向八BC有

0tanZA=-----=——，

AC3

^\EF//AB,

0ZCFE=ZA=3O°,

121tanZCFE==——，

CF3

出CF=?JE,

BAF=AC-CF=^(BC-CE)f

BE=BC—CE,

AFrr

團(tuán)一=J3,

BE

^\ZACB=90°,

團(tuán)AF_L6石，

故答案為：百，AF±BE；

AF

(2)—=Jr5,AF±BE

BE

如圖，連接延長(zhǎng)班:交〃，于G,交AC于點(diǎn)H,

回旋轉(zhuǎn)，

國(guó)NBCE=NACF,

0AC=V3BC,CF=V3CE

團(tuán)---=---=,且ABCE=AACF,

BCCE

aMCF^ABCE,

ApAC_

E—=—=V3,NFAC=NCBE,

BEBC

國(guó)NCBE+NBHC=90°,

SZFAC+ZAHG^90°,

SAF±BE；

(3)①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGLAb交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

SAC=y/3BC,CF=6CE,BC=3,CE=2,

EIAC=35CF=26,

回NCFE=30°,NFCE=90。,

回/FEC=60。，且民瓦尸三點(diǎn)在同一直線上，

EZCEB=120°,

回旋轉(zhuǎn)，

EZAFC=ZBEC=120°,

0ZCFG=60°,且CG_LAF,

0GF=1cF=^,CG=y/3GF=3,

AG=VAC2-CG2=A/27-9=3A/2，

@AF=AG-FG=3^-C；

②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG_LAP于點(diǎn)G,

0AC=A/3BC,CF=6CE,BC=3,CE=2,

0AC=3A/3,CF=2^,

BZCFE=30°,NFCE=9Q。,

回NFEC=60°,

回旋轉(zhuǎn)，0ZAFC=ZBEC=60°,且CG_LAF,

EGF=-CF=^,CG=A/3GF=3,

2

^AG=yjAG2-CG2=372，

0AF=AG+GF=3A/2+V3.

【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

類型二、等腰三角形

例.如圖1,在VABC中，AB=AC,ZBAC=a,D,E分別為AB,BC邊上的點(diǎn)，連接。E,且BD=DE,

將ADBE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).

AA

Aa工二

BECBCBC

圖1圖:2圖3

A

E'/

BECBEC

圖4圖5

An

⑴觀察猜想：若々=60。，將△射繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，貝U==

CE

4D

⑵類比探究：若&=90。將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求黑的值;

⑶拓展應(yīng)用：若a=90。，。為AB的中點(diǎn)，AB=2插,如圖4,將ADBE繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置

（ADUBE）,請(qǐng)直接寫出線段A0的長(zhǎng).

【答案】（1）1

CE2

⑶近+1

【分析】（1）根據(jù)AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=60°,可得VABC、V3DE均為等邊三角形，可證明

An

ABDA^ABEC,即可得到一的值;

CE

（2）根據(jù)AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=90°,可得VABC、VBZ汨均為等腰直角三角形，可證明

△BDAs^BEC,即可得到k的值；

CE

(3)根據(jù)a=90。，D為AB的中點(diǎn)，AB=2也，可以得到3。及3E'的長(zhǎng)度，根據(jù)AZ/_L3E',可得。月

及的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可確定A"的長(zhǎng)度，根據(jù)圖5可得=M+即可確定AZ7的長(zhǎng)度；

【詳解】(1)解：SAB=AC,BD=DE，ABAC=a=60°,

SVABC,VfiDE均為等邊三角形，

^\BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

即：ZDBA+ZABE=ZABE+ZEBC=60°,

SZDBA=ZEBC,

在△B/M和VBEC中，

BD=BE

<NDBA=NEBC,

BA=BC

0△BDA冬△BEC(SAS),

團(tuán)AD=CE,

即：—=1

CE

故答案為：1

(2)^\AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=90°f

團(tuán)VABC、VHL史均為等腰直角三角形，

0—=—,—=—,ZABC=ZDBE=45°,

BC2BE2

即：ZDBA+ZABE=ZABE+ZEBC=45°f

國(guó)NDBA=NEBC,

在△皮M和V3EC中，

BD_AB

<~BE~~BC,

ZDBA=ZEBC

田^BDAS^BEC

..ADABV2

CEBC2

即：處=立

CE2

(3)回a=90。，D為AB的中點(diǎn)，AB=2啦,

回8。'=后，BE'=2,

^AD'LBE',AU與BE交于點(diǎn)H,

^\BH=E'H=D'H=-BE'=l,

2

在RtZXABH中，

AH=y/AB2-BH1=7(272)2-I2=,

團(tuán)如圖5所示，AD'=AH+D'H=47+1

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理,

掌握旋轉(zhuǎn)全等及相似模型是重點(diǎn).

【變式訓(xùn)練1.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

圖(1),在△Q4B和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.

①黑的值為______;②NA7WB的度數(shù)為______.

BD

(2)類比探究

圖(2),在△OAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC,交3D的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)請(qǐng)計(jì)算短的值及N/皿方的度數(shù)；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若OD=2,AB=8,將AOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.

①當(dāng)直線。C經(jīng)過(guò)點(diǎn)8且點(diǎn)C在線段80上時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

②請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中/點(diǎn)到直線。3距離的最大值.

【答案】⑴①L②35。；(2)—=ZAMB=90°；(3)①AC的長(zhǎng)為6+廊；②M點(diǎn)到直線

03距離的最大值為2石

【分析】(1)直接根據(jù)兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形證明AAOC四△BO￡>(S4S),可以證明NO3D=NOAC,最

后在AOFB和4MFA中導(dǎo)角直接可以求解.

(2)改變?nèi)切谓Y(jié)構(gòu),直接通過(guò)判定△AOC和ABQD相似，同樣可以用第一問(wèn)的方式證明NOBD=ZOAC,

根據(jù)相似比，求線段比例，最后在和中導(dǎo)角直接可以求解NAMB的度數(shù).

(3)深度理解題意，本質(zhì)上問(wèn)的就是當(dāng)3,C,D,三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長(zhǎng)，在利用△￡)O3SACOA,對(duì)應(yīng)

邊成比例求AC的長(zhǎng)，最值的求解，先找到點(diǎn)”和點(diǎn)。的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)是在兩個(gè)圓弧上運(yùn)動(dòng)，再利用

NM3O最大時(shí)，則M點(diǎn)到直線距離的最大，直接求解即可.

【詳解】(1)ZAOB=ZCOD=35°,

0ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

SZCOA=ZDOB,

又回。4=03,OC=OD,

0^AOC^BOD^SAS),

團(tuán)AC=BD,

故答案為：1;

②設(shè)AO與BD交于點(diǎn)R

由①知，AAOCRBOD,

^\ZCAO=ZDBO,

⑦ZAOB+NDBO=ZDFO,

ZAMB+ZCAO=ZDFO,

0ZAOB=ZAAffi=35°,

故答案為：35°；

(2)如下圖，在△。鉆和△OCD中，設(shè)A0與8D交于點(diǎn)E；

^\AOB=ACOD=9Q°,NOAB=NOCD=30。,

同“°ODOBV3

0tan30===——；

COOA3

團(tuán)ZAOB+ADOA=ZCOD+ZDOA,

即NDQ3=NCQ4,

⑦小DOBsqjA,

回---=---=,NDBO=Z.CAO9

BDOD

團(tuán)ND5O+N0EB=9O。，NOEB=/MEA,

0ZC4O+ZME4=9O°,

^\ZAMB=90°,

S—=V3,ZAMB=90°.

BD

(3)①如下圖所示，當(dāng)直線。C經(jīng)過(guò)點(diǎn)2且點(diǎn)C在線段3。上時(shí);

在△0D3中，ZD=60°,OB=-AB=4-.

2

過(guò)點(diǎn)。作的垂線，垂足為H;

S\OH±BD；

EZD=60°；

回/DO”=30°；

EHD=1,HO=B

在RMOHB中,由勾股定理得；

BH=NBO?-OH?=J16-3=屈；

回而+1；

團(tuán)5s△CQ4；

0—=出；

BD

即AC=^BD=也+則；

AB

②如下圖所示，0ZAMB=90°,A5=8；

回點(diǎn)M的軌跡是圓弧，即點(diǎn)M在圓P上運(yùn)動(dòng)，且NOMB=/aiB=30。；

要想求出點(diǎn)M到直線OB的最大值，動(dòng)點(diǎn)M距離直線OB越遠(yuǎn)越好，

從下圖可以看出，點(diǎn)。的軌跡也是圓，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)極限位置取決于NMBO的最大值;

0OD=2,OB-4；

團(tuán)NMBO的最大值取得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；

即在中；

sinZOBD=—=—；

42

團(tuán)NOBD=30。；

過(guò)點(diǎn)M作的垂線，垂足為G；

即線段GM即為所求;

在無(wú)△MGB中；

SinZGBM=^

2

0ZOfiD=30°；

0ZMBA=60°-30°=30°；

12AB=8；

13AM=4；

MB7G-42=4百;

^\MG=-BM=2y/3；

2

回M點(diǎn)到直線OB距離的最大值為2石.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，特殊直角三角形為背景的相似三角形的

判定和性質(zhì)綜合，利用特殊角的三角函數(shù)解三角形，圓軌跡動(dòng)態(tài)下求線段的最值，熟練掌握手拉手模型證

明三角形全等，數(shù)量掌握相似三角形的判定，特別是兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等類的，對(duì)于求點(diǎn)到直線最

值類型要注意動(dòng)點(diǎn)的軌跡尋找和影響最值的主要因素，進(jìn)而綜合判定求解是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練21觀察猜想

⑴如圖1,在等邊VABC中，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)8、C）,連接AM,以AM為邊作等邊AAAW,

連接CN,則—ABC與/ACN的數(shù)量關(guān)系是.

（2）類比探究

如圖2,在等邊VABC中，點(diǎn)〃是BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)

論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶拓展延伸

如圖3,在等腰VABC中，區(qū)4=BC,點(diǎn)M是邊8C上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)8、C),連接A",以A"為邊

作等腰AAMN,使頂角NAAW=NABC.連按CN.試探究/ABC與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(l)NABC=NAaV

⑵ZABC=ZAOV成立

(3)ZABC=ZAGV

【分析】(1)利用&4s可證明ABW三△C4N,繼而得出結(jié)論；

(2)也可以通過(guò)證明AR4M=得出結(jié)論，和(1)的思路完全一樣.

ABAC

(3)首先得出/BAC=NAWV,從而判定△ABCs",得至|J——=——,根據(jù)N54M=NBAC-NM4C,

ACVAMAN

ZCAN=ZMAN-ZMAC,得到NH4M=NC4N,從而判定4Ms,得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???△MC、AAMN是等邊三角形，

:.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

:.ZBAM=ZCAN,

??,在ABAM和△C4N中，

AB=AC

<ZBAM=ACAN,

AM=AN

:.ABAM=ACAN(SAS),

ZABC=ZACN.

(2)解：結(jié)論ZABC=NAOV仍成立；

理由如下：?.?△ABC、AAAW是等邊三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

:.ZBAM=ZCAN,

,??在和△GW中，

AB=AC

<ZBAM=ACAN,

AM=AN

；.ABAM=ACAN(SAS),

ZABC=ZACN.

(3)解：ZABC=ZACN；

理由如下：-.-BA^BC,MA=MN,

ABAM

團(tuán)-------,

BCMN

又「ZABC=ZAMN,

:.AABCs^AMN,

：.ZBAC=ZMAN,

.ABAM

,,一,

ACAN

XZBAM=ZBAC-ZMAC,ZCAN=ZMAN-ZMAC,

:.ZBAM=ZCAN,

:ZAMSMAN,

ZABC=ZACN.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的

關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論.

【變式訓(xùn)練3】.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,在和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,

連接AC,網(wǎng)＞交于點(diǎn)填空：①族的值為；②的度數(shù)為.

（2）類比探究如圖2,在△OAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC交8。的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)請(qǐng)判斷C上的值及ZWB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

BD

（3）拓展延伸在（2）的條件下，將AOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC3。所在直線交于點(diǎn)若OD=1,

OB=6請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)。、。在同一條直線上時(shí)AZ）的長(zhǎng).

智用圖

【答案】（1）①1;040°；（2）會(huì)=?，NAA?=90°.理由見解析；（3）2或4.

【分析】（1）①證明EICOAEHDOB（SAS）,得AC=BD,比值為1；

②由EICOAEBDOB,得13cAO=I3DBO,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求EIOAB+EIOBA的值，再求I3AMB的值即

可；

（2）根據(jù)銳角三角比可得段=與，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得國(guó)AOC回回BOD,根據(jù)相似撒尿性的

OCOA

性質(zhì)求解即可;

（3）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)。、。在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理,

可得AD的長(zhǎng).

【詳解】(1)@^ZAOB=ZCOD=40°,

團(tuán)團(tuán)BOD二回AOC,

又回。4=QB,OC=OD,

團(tuán)團(tuán)BOD麗AOC,

0BD=AC,

「AC-

回——=1；

BD

②團(tuán)NAQ5=40。,

回團(tuán)。AB+團(tuán)OBA=140°,

團(tuán)團(tuán)BOD回回AOC,

RHICAO二團(tuán)DBO,

團(tuán)團(tuán)CAO+團(tuán)OAB+團(tuán)ABM=團(tuán)DBO+團(tuán)OAB+團(tuán)ABM=團(tuán)OAB+團(tuán)OBA=140°,

00AMB=4O°；

(2)如圖2,

r-

——=V3,ZAMB=90°.理由如下:

BD

放△COD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

器=330。=#，

同理得：_20=tan3()o=@,

OA3

.OPOB

'OC~OAf

QZAOB=NCOD=90。，

.\ZAOC=ZBODf

:./\AOC^ABOD,

Ms回CAO二團(tuán)DBO,

團(tuán)團(tuán)BEO+團(tuán)DBO=90°,

團(tuán)團(tuán)CAE+團(tuán)AEM=90°,

團(tuán)團(tuán)AMB=90°；

(3)回團(tuán)A=30°,08=6,

0B

團(tuán)0A=---------=3

tan30°

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)。的同側(cè)時(shí),

團(tuán)00=1,

0AD=3-2=2；

如圖4,當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)。的兩側(cè)時(shí),

回OD=1,,0A=3

0AD=3+1=4.

綜上可知，AD的長(zhǎng)是2或4.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，

解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：回AOC回回BOD,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問(wèn)題，本題是一道比較好的題目.

類型三、直角三角形

0

條件:如圖，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=/：(^COD-^AOB)-,

OAOB

結(jié)論：SOJBOD;變=左,AC^BD,sLABXCD.

ACs2

例.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,在RSABC中，AB=AC,。為8C邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合）將線段AD繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)系是一；

D,E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】（3）如圖3,在RbBCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,將AACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C

對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角NC4E為1（0°<?<360°）,當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段破

的長(zhǎng)度.

12

【答案】（1）BD=CE,BD±CE；（2）BD1CE,理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段防的長(zhǎng)度為

【分析】（1）由題意易得=ZCAE=ZBAD,從而可證,然后根據(jù)三角形全等的性

質(zhì)可求解；

（2）連接BD,由題意易得/C4E=/54D,進(jìn)而可證A54Z涇AC4E,最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等

量關(guān)系可求證；

（3）如圖，過(guò)A作AFLEC,由題意可知RtxABCsRt△血）,ABAC=ZEAD=90°,然后根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)及題意易證A54ESAC4D,最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）在RSABC中，AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°,

?：ZBAC=ZDAE=90°,

.?.ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NRW=NC4E,

AB=AC

在△BAD和△C4E中，<ZBAD=ZCAEf

AD=AE

/.△BA￡>^AG4E(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

???NACB=45。，

/.ZBCE=450+45°=90°,

故答案為：BD=CE,BDLCE；

(2)BDtCE,

理由：如圖2,連接BD,

c

E

圖2

團(tuán)在RSABC和RtaADE中，AB=AC.AD=AE,ZAEC=45°f

?.?ZCAB=ZDAE=90°f

:.ZBAD=ZCAE,

^AB=AC,AE=AD,

:.^CEA^ABDA^SAS),

.\ZBDA=ZAEC=45°,

:.NBDE=ZADB+ZADE=90。,

?BDLCE；

(3)如圖3,過(guò)A作AM1EC,

C

由題意可知Rt&4BCsRt&4￡D,ZBAC=ZEAD=90°,

ABACABAE

回一=——，即Rn——=——

AEADACAD

-,?ZBAC=ZEAD=90°,

.\ZBAE=ZCAD.

「.△BA石s.cw,

:.ZABE=ZACD,

???/BEC=180°-NCBE+ZBCE=180°-ACBA+AABE+ZBCE=180°ZCBA+ZACD+ZBCE=90°,

:.BE±CE.

在Rt^BCD中,BC=2CD=4,

BD=VBC2+CD2=742+22=2A/5，

?.?AC±BD,

???S.BCD=|AC-BD=|BC-AC,

AC=AE~，AD=,

.-.AF=^,CE=2CF=2x^AC2-AF2=y,

22

BE=VBC-CE=12_(3=￡?

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形

的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解.

【變式訓(xùn)練如圖1,AD,8。分別是AABC的內(nèi)角NBAC、/ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)A作AE_LAD,

交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)求證：ZE=1ZC；

(2)如圖2,如果AE=AB,且3。:。后=2:3,求cosNABC的值；

⑶如果—ABC是銳角，且AA5c與AADE相似，求—ABC的度數(shù)，并直接寫出乎也的值.

^AABC

【答案】①見解析

(2)t

(3)30°,2-百或45°,2-A/2

【分析】(1)由題意：ZE=90°-ZADE,證明ZAZ?E=9(r_；NC即可解決問(wèn)題.

(2)延長(zhǎng)A。交于點(diǎn)R.證明A￡//3C,可得/AFB=/EW=90。，—,由此:￡>E=2:3,

AEDE

—r/日/4BFBF2

可得cosNA3C=----=-----=—.

ABAE3

(3)因?yàn)锳ABC與AADE相似，ND場(chǎng)二90。，所以/ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90。因?yàn)?ABC是銳角，推出

NABCV90。.接下來(lái)分兩種情形分別求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1中，

:.ZDAE=90°,ZE=900-ZADE,

?.?AD平分ZBAC,

ZBAD=-ABAC,同理/ABD=-ZABC,

22

-.ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

ZADE=1(ZABC+ZBAC)=90°-1zC,

ZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F.

■.■AB^AE,

:.ZABE^ZE,

BE平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZE=ZCBE,

：.AE//BC,

BF_BD

:.ZAFB=ZEAD=90°,

~\E~~DE

二,BD:DE=2:3,

2

-cosZABC=^=^

3

(3),.,AABC與AADE相似，ZZME=90°,

ZABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90。

?.?/ABC是銳角，

:.ZABC^90°.

①當(dāng)ABAC=Z.DAE=90°時(shí)，

■.?Z￡=^ZC,

ZABC=ZE=-ZC,

2

QZA5C+ZC=90°,

.?.ZABC=30°,此時(shí)學(xué)里=2-6.

3AABC

②當(dāng)NC=NZME=90。時(shí)，ZE=1ZC=45°,

.\ZEDA=45°,

??,AABC與AADE相似，

.-.ZABC=45°,此時(shí)-E=2-叵.

綜上所述，ZABC=30°,學(xué)些=2-0.ZABC=45°,吃些=2-逝.

*^AABC

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

【變式訓(xùn)練2】.如圖1,在RZ0ABC中，0C=9O°,0A=3O°,8C=1,點(diǎn)。，E分別為AC,8C的中點(diǎn).0C￡)E

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0%冰360。)，記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P.

A

AA

(1)如圖1,當(dāng)a=0。時(shí)，AO與BE的數(shù)量關(guān)系為,4。與BE的位置關(guān)系為；

⑵當(dāng)0?！幢?60。時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)回CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和尸點(diǎn)到直線BC距離的最大

值.

【答案】(1區(qū)。=62區(qū)AD^BE

(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析

(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是岑

【分析】(1)分別求出A。、2E的長(zhǎng)即可解答；

(2)先證明SBC殛0AC￡>,可得A黑r)=熬AC=若-，國(guó)。2。=回。。即可解答；

BEBC

(3)利用銳角三角函數(shù)可求MBC=30。，由弧長(zhǎng)公式可求尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求產(chǎn)

點(diǎn)到直線2C距離的最大值即可.

【詳解】(1)解：在R/HABC中，I3C=90°,EA=30°,BC=1,

EL4C=百BC=百，AB=2BC=2,AIXiBE

團(tuán)點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)

^AD=CD=-AC=^,BE=EC=-BC=-

2222

^AD=s/jBE.

故答案為：AD=gBE,ADG\BE.

(2)解：結(jié)論仍然成立，理由如下：

/T]

EAC=5BC=1,CD=^-,EC=_,

22

rBC.EC_百

12]-----,~~--,

AC3CD3

BCEC

團(tuán)-------，

ACDC

甌COE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

B3iBCE=SACD,

00BCE00ACD,

Ari4r

回亍=F=G，團(tuán)C80=團(tuán)CAO，

BEBC

0A￡)=QBE,

團(tuán)回C30+回3OC=90°,

團(tuán)國(guó)CAD+團(tuán)AO尸=90°,

甌APO=90°,

團(tuán)8況AD

(3)解：甌AP5=90°,

團(tuán)點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上，

如圖3,取A3的中點(diǎn)G,作團(tuán)G,以點(diǎn)。為圓心，CE為半徑作團(tuán)C,當(dāng)56是團(tuán)C切線時(shí)，點(diǎn)尸到8C的距離

最大，過(guò)點(diǎn)尸作刊電3C,交3C的延長(zhǎng)線于H,連接GP,

團(tuán)3石是團(tuán)C切線，

0CE0BE,

EC1

團(tuán)---——,

BC2

團(tuán)團(tuán)EBC=30。，

團(tuán)團(tuán)G3P=30°,

國(guó)GB=GP,

^\GBP=BGPB=30°f

幽3Gp=120°,

團(tuán)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)Cf點(diǎn)P玲點(diǎn)Cf點(diǎn)8玲點(diǎn)C,

ior)vi4

團(tuán)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度=[4">2=白,

1803

麗A3尸=30°,BP^\AP,

1