高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）44對數(shù)函數(shù)（十三大大題型）

4．4對數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 3【知識點(diǎn)梳理】 3【典型例題】 5題型一：對數(shù)函數(shù)定義的判斷 5題型二：利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù) 7題型三：求對數(shù)函數(shù)的表達(dá)式 9題型四：對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題 10題型五：對數(shù)函數(shù)的圖象問題 11題型六：對數(shù)函數(shù)的定義域 14題型七：對數(shù)函數(shù)的值域與最值 17題型八：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用 19題型九：比較指數(shù)冪的大小 21題型十：解對數(shù)型不等式 23題型十一：判斷對數(shù)函數(shù)的奇偶性 25題型十二：反函數(shù) 30題型十三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 32

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、對數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?、判斷一個(gè)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識點(diǎn)詮釋：（1）只有形如的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)．（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意分類討論．知識點(diǎn)二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，知識點(diǎn)詮釋：關(guān)于對數(shù)式的符號問題，既受．．的制約又受的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)．下面介紹一種簡單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．以1為分界點(diǎn)，當(dāng)，同側(cè)時(shí)，；當(dāng)，異側(cè)時(shí)，．知識點(diǎn)三、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點(diǎn)詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）知識點(diǎn)四、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對任意的一個(gè)，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識點(diǎn)詮釋：并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【典型例題】題型一：對數(shù)函數(shù)定義的判斷【典例11】（2024·高一·全國·課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．（且） B．C． D．（且）【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義且,分析A,B,C,D函數(shù)形式，函數(shù)為對數(shù)函數(shù).故選：B.【典例12】下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)概念，形如且的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).結(jié)合選項(xiàng)知道為對數(shù)函數(shù).故選：D.【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量．【變式11】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是對數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】①不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)榈牡讛?shù)是自變量，不是常數(shù)；②不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的真數(shù)不是僅有自變量；③不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)．故選：A【變式12】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在對數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式（且）中，前面的系數(shù)必須是1，自變量在真數(shù)的位置上，否則不是對數(shù)函數(shù)，所以只有選項(xiàng)C滿足定義.故選：C.【變式13】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)，易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.【變式14】（2024·高一·云南曲靖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】形如的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是，對于A，滿足，故A正確；對于B，C，D，形式均不正確，均錯(cuò)誤.故選：A題型二：利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)【典例21】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則．【答案】3【解析】函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則，且，所以.故答案為：3【典例22】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知對數(shù)函數(shù)，則．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．【方法技巧與總結(jié)】的系數(shù)為1【變式21】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】5【解析】函數(shù)是對數(shù)函數(shù),則．故答案為：5.【變式22】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)是以為自變量的對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是以為自變量的對數(shù)函數(shù)，所以，解得.故答案為：3【變式23】（2024·高一·河南許昌·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則.【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：2【變式24】（2024·高一·北京東城·期中）函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則．【答案】4【解析】由題意知，，故答案為：4.題型三：求對數(shù)函數(shù)的表達(dá)式【典例31】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(，且)，則函數(shù)的解析式是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，由題意知，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的解析式為.故答案為：.【典例32】（2024·高一·上海·階段練習(xí)）已知對數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，則其解析式為．【答案】【解析】設(shè)對數(shù)函數(shù)解析式為（a>0，且），因?yàn)閷?shù)函數(shù)過點(diǎn)，所以，解得，所以對數(shù)函數(shù)解析式為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法【變式31】（2024·高一·天津河西·期末）對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的解析式為.【答案】【解析】設(shè)對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，解得：，因?yàn)椋?所以函數(shù)解析式為：，故答案為：.【變式32】（2024·高一·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足以下兩個(gè)條件：（1）在0,+∞上單調(diào)遞增；（2），則函數(shù)的解析式可以為．（寫出一個(gè)符合題意的即可）【答案】（答案不唯一）【解析】在上單調(diào)遞增，，，所以，即符合題意．故答案為：（答案不唯一）．【變式33】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知對數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，則的解析式為.【答案】【解析】設(shè)，結(jié)合已知有，∴，又且，∴，則，故答案為：.題型四：對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例41】設(shè)且，函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象恒過定點(diǎn)1,0,所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：.【典例42】（2024·高一·云南曲靖·階段練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).【答案】【解析】令，解得，又，所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：【方法技巧與總結(jié)】令真數(shù)為1求解．【變式41】（2024·高一·浙江金華·期中）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，得，所以，故答案為：【變式42】（2024·高一·山西臨汾·階段練習(xí)）已知函數(shù)且恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】令得，此時(shí)，即函數(shù)且恒過定點(diǎn).故答案為：【變式43】（2024·高一·河南南陽·期末）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象恒過定點(diǎn)，令，則，，則，設(shè)，則，得，故，故答案為：.題型五：對數(shù)函數(shù)的圖象問題【典例51】（2024·高一·陜西渭南·期中）若，且，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且，故，故為減函數(shù)，且過1,0，又的圖象為的圖象向右平移1個(gè)單位，則A滿足.故選：A【典例52】（2024·高三·廣西貴港·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；顯然此時(shí)，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象不過第四象限.故選：D【方法技巧與總結(jié)】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形”則形象、直觀，能簡化思維過程，降低題目的難度，簡化解題過程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合．利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡化了解題過程．正因?yàn)槿绱?，?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來分析和解決問題．在涉及方程與不等式的問題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，則=的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而的的解等價(jià)于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地解決，而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來解決方程與不等式的問題．【變式51】（2024·高一·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過12,0當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過12,0所以滿足條件的圖象為D.故選：D.【變式52】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，直線與這三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，在x軸上方，底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，作出的大致圖象，如圖所示，

可知直線與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系是：，故選：B．【變式53】（2024·高三·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.故選：B題型六：對數(shù)函數(shù)的定義域【典例61】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得：得定義域?yàn)?故選：D.【典例62】（2024·高一·福建廈門·期中）“函數(shù)的定義域?yàn)椤笔恰啊钡模?/p>

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則當(dāng)，，符合要求；當(dāng)時(shí)，有，解得；綜上所述，，故“函數(shù)的定義域?yàn)镽”是“”的必要不充分條件.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．【變式61】（2024·高二·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選:B【變式62】（2024·高一·河南商丘·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域?yàn)镽，則對任意，同時(shí)恒大于0且恒不為1，對于，若，則時(shí)，不滿足題意；若，則恒成立，因?yàn)椋獫M足恒大于0且恒不為1，則，所以的取值范圍是．故選:A．【變式63】（2024·高一·浙江金華·期末）“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡模?/p>

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽則恒成立，即，解得，故“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的必要不充分條件.故選：B【變式64】（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以恒成立，令當(dāng)時(shí)，不恒成立，舍去；當(dāng)時(shí)，若恒成立，則需解得，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D題型七：對數(shù)函數(shù)的值域與最值【典例71】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最小值是．【答案】【解析】由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋钟?，令，可得，令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)取等號，所以，所以，所以函數(shù)的最小值為4．故答案為：.【典例72】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由于，所以，所以原函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸痉椒记膳c總結(jié)】數(shù)形結(jié)合【變式71】（2024·高一·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】令，則，因?yàn)?，則，且的對稱軸為，可知，所以的值域是．故答案為：．【變式72】（2024·高三·福建·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，需，解得．綜上可得．故答案為：.【變式73】（2024·高一·甘肅慶陽·期末）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，又，，使得，所以，所以，解得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，又，，使得，所以，所以，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【變式74】（2024·高一·安徽宣城·期末）已知實(shí)數(shù)x滿足不等式，則函數(shù)最大值是．【答案】/【解析】由，解得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.題型八：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用【典例81】（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.【典例82】（2024·高一·福建廈門·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得或，由，則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為單調(diào)遞增函數(shù)，故的單調(diào)遞減區(qū)間.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來判定即可．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．研究對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則．【變式81】（2024·高三·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，因?yàn)?，解得．所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,故選：A【變式82】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋睿瑒t．因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【變式83】（2024·高一·廣西南寧·期末）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，①由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，即，②解①②得（舍去）．（2）由（1）知，因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)镽，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知其在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．題型九：比較指數(shù)冪的大小【典例91】（2024·高一·北京·期中）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?故選：C【典例92】（2024·高一·浙江紹興·期中）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，即，，即，，即，又，所以，即，所以.故選：D【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)對數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個(gè)對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對數(shù)換底公式化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大小；②利用對數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大小．（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來比較大小．【變式91】（2024·高一·浙江杭州·期中）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由的單調(diào)遞減，可得所以，故選：C【變式92】（2024·高一·浙江嘉興·期中）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可知，即；再由對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)可知，即，所以可得.故選：B【變式93】（2024·高三·四川綿陽·階段練習(xí)）已知是函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列4個(gè)式子中正確的是（

）①；②；③；④.A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，的中點(diǎn)為Mx1+點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且軸，則，由圖知點(diǎn)在的左側(cè)，即，故①錯(cuò)誤，②正確；則，即，即，故③正確，④錯(cuò)誤.故選：B.【變式94】（2024·高一·山東青島·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，，則，，故故選：題型十：解對數(shù)型不等式【典例101】若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【解析】由，得，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故答案為：.【典例102】（2024·高一·上?！て谀┎坏仁降慕饧?【答案】【解析】不等式，即，令，，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，則不等式的解集是.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【變式101】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）不等式的解集為【答案】【解析】因?yàn)椋?，若，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式102】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】（0,1）【解析】函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，得x∈0,1．故答案為：0,1【變式103】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）不等式的解集為．【答案】【解析】單調(diào)遞增，,則原不等式為,所以,所以解集為.故答案為：.【變式104】（2024·高一·上?！卧獪y試）不等式的解集為．【答案】【解析】由可得，解得，故答案為：【變式105】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】由，可得，又在上單調(diào)遞增，所以，解不等式組可得，所以不等式的解集為.題型十一：判斷對數(shù)函數(shù)的奇偶性【典例111】（2024·高三·福建莆田·階段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，則有，解得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合條件，故選：B.【典例112】（2024·高三·北京石景山·期末）設(shè)函數(shù)，則是（

）A．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D【方法技巧與總結(jié)】斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)．【變式111】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因?yàn)椋?，，，，，所以?dāng)時(shí)的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式112】（2024·高三·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)中，，由是奇函數(shù)，得，即，整理得，解得，函數(shù)定義域?yàn)椋?，得，即，整理得，解得，所以不等式的解集?（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，由（1）得在的值域，又，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上的值域，由對任意的，總存在，使得成立，得，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式113】（2024·高一·上?！るA段練習(xí)）已知真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”．(1)①將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式②求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);(2)求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);(3)已知命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由(4)仿照題設(shè)中的真命題，將（3）中的命題改為一個(gè)真命題：___________(5)已知函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)為，函數(shù)，若存在，，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閯t實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______________【解析】（1）①將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得圖象對應(yīng)解析式為，②因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（2），由得的定義域?yàn)?，又，即，所以為奇函?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)2,1對稱.（3）假命題，理由如下：不妨設(shè)，易知的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，顯然不存在如何實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)是偶函數(shù)，故該命題為假命題.（4）若函數(shù)y=fx關(guān)于直線成軸對稱，則，即函數(shù)是偶函數(shù)，反之亦然.故答案為：函數(shù)y=fx關(guān)于直線成軸對稱的充要條件是函數(shù)是偶函數(shù)（5），由解得的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，所以的對稱中心為，即，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在1,+∞上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，即，整理得，則在1,+∞上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，易知，所以，由解得或，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.題型十二：反函數(shù)【典例121】（2024·高一·全國·課堂例題）若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則的值為（

）A．16 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),則.故.故選：B.【典例122】（2024·高一·廣東江門·階段練習(xí)）若函數(shù)是函數(shù)（，且）的反函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)（且）的反函數(shù)為，即，又，所以，所以，則.故選：A【方法技巧與總結(jié)】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．【變式121】（2024·高一·遼寧丹東·期末）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)?，所以，解得?所以，由，可得的定義域?yàn)?，令，則在單調(diào)遞減，而在定義域單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:在單調(diào)遞減.故選：C.【變式122】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則（

）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，是的反函數(shù)，故，故.故選：C【變式123】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)的圖象與且的圖象關(guān)于直線對稱，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，即，解得：；與圖象關(guān)于對稱，.故選：A.【變式124】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么a、b的值分別是、．【答案】－9【解析】因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與互為反函數(shù)，又的反函數(shù)為，所以，．故答案為：；.【變式125】（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）分別是關(guān)于的方程和的根，則.【答案】5【解析】根據(jù)題意得出是函數(shù)與與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合與的圖像關(guān)于軸對稱，即可求出結(jié)果．分別是方程和的根，即分別是方程和的根，是函數(shù)與與，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與的圖像關(guān)于軸對稱，與的交點(diǎn)與與交點(diǎn)關(guān)于對稱，由得，，即故答案為：．題型十三：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例131】（2024·高一·江蘇南通·期末）已知函數(shù)，其中.(1)若恒成立，求；(2)若，試比較與的大小，并證明.【解析】（1）因?yàn)楹愠闪ⅲ盟?，?（2）因?yàn)椋?，，得得因?yàn)?；所?【典例132】（2024·高一·青海西寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解不等式：；(2)若函數(shù)在上的最大值為，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，即為，所以，解得，所以原不等式的解集為：；?）由復(fù)合函