浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江強基聯(lián)盟2024年12月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強基聯(lián)盟研究院命制考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】因為直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程的公式列出等式，即可求得離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于是遞增數(shù)列，所以，代入通項公式，化簡可得對都成立，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡可得，即對于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個平面上的展開圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將平面圖形復(fù)原成正方體，利用正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可求解.【詳解】將表面展開圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】【分析】確定直線過定點，而定點在圓內(nèi)，從而可得結(jié)論．【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為5，直線恒過定點，，點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點坐標(biāo)，利用三角形是等腰直角三角形求出即可．【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因為為等腰直角三角形，所以，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點分別為，，點為拋物線上的一個動點，直線過點，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個交點的直線有三條【答案】D【解析】【分析】A選項利用拋物線和的方程求出焦點和的坐標(biāo)，再利用直線的兩點式方程即可求出直線的方程；設(shè)出點的坐標(biāo)，再結(jié)合焦點和的坐標(biāo)，寫出和的表達(dá)式，從而可以判斷B，C選項，再數(shù)形結(jié)合判斷D選項即可.【詳解】對于A，，，所以直線的方程為，A錯誤；對于B，當(dāng)在原點時，取到最小值為1，B錯誤；對于C，設(shè)，所以，當(dāng)時，，此時，，C錯誤；對于D，當(dāng)直線與只有一個交點時，①若與軸平行或重合時，滿足與，各有一個交點，如圖；②若與相切時，與，各有一個交點的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個交點的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行和垂直時的系數(shù)關(guān)系逐個選項分析即可.【詳解】當(dāng)時，直線：，此時直線與軸平行，A項正確；當(dāng)時，直線：，此時直線與軸平行，B項正確；若，則，解得，此時直線與重合，C項錯誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點D.若，則曲線上的點到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】曲線以及曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)和，能求出曲線和曲線的普通方程即可得到軌跡是什么圖形；再將代入兩個方程即可判斷是否有公共點；最后將代入曲線利用曲線的參數(shù)方程即可求得最大值.【詳解】A，曲線可化為：，故A錯誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當(dāng)，：過曲線的上頂點，故C正確.D，若，：，設(shè)曲線上的點，則點到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長為2，，分別是線段，上的動點，且滿足，點是線段的中點，則（）A.若是的中點，則平面B.若是的中點，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對選項A，根據(jù)是的中點，取中點，通過證明四邊形是平行四邊形即可證明；對選項B，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量，證明即可；對選項C，根據(jù)可知，與重合時，最大；對選項D，設(shè)出，坐標(biāo)，則可知坐標(biāo)，故，，由可知，代入數(shù)量積的坐標(biāo)運算可轉(zhuǎn)化為的取值范圍，利用三角換元即可求解.【詳解】是的中點，，，，∴是的中點.連接交于點如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點如圖建立空間直角坐標(biāo)系，若是的中點，此時是的中點，那么，，，，而平面的一個法向量.，不是平面的法向量，故B錯誤；當(dāng)與重合時，最大，為，故C正確；設(shè)，，則，，，，，，設(shè)，，，故，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系、求線段長度最小值及數(shù)量積最小值的方法，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力和計算能力，屬于壓軸題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】先由求得，再根據(jù)兩向量的夾角公式，即可求出的值.【詳解】,，得，則.故答案為：13.已知點，，，點滿足，則的最小值為______.【答案】209【解析】【分析】設(shè)點，用坐標(biāo)表示，代入等式，整理即得點P的軌跡方程；再用坐標(biāo)表示出，根據(jù)點P縱坐標(biāo)y的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，化簡得，的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓.，，當(dāng)時，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，若總存在一條過的直線，使得點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱結(jié)合焦半徑的范圍化簡得出離心率范圍.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過點.（1）若直線又過點，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點，求面積的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由過兩點可求直線斜率，再由點斜式即可求解；（2）設(shè)：，代入，利用基本不等式可得，即可求解面積的最小值.【小問1詳解】因為過點，，所以斜率為，所以：，即；【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，代入得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得平面，進(jìn)而可證再結(jié)合正方形的性質(zhì)，有，由此可證平面，通過線面垂直即可證；（2）先通過證線面垂直求得點到平面的距離為，在通過線面平行得到點到平面的距離，利用勾股定理確定，即可求得直線與平面所成角的正弦值，由此即可求解.【小問1詳解】連接交于點，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，【小問2詳解】取中點，連接，不妨設(shè).是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點到平面的距離為.，平面，平面，平面，點到平面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點，，動點使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點，點在曲線上，直線與軸交于點，滿足，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用直線，斜率的關(guān)系即可列出等式，求出動點的軌跡方程；(2)點為曲線的右焦點，設(shè)出直線的方程，求出點的坐標(biāo)，再利用向量關(guān)系即可求解.【小問1詳解】設(shè)，則，整理得：.【小問2詳解】由題意可知直線斜率存在，設(shè)，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在線段上且滿足，點在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，先用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理得出平面，再用線面垂直的性質(zhì)定理得出所證結(jié)論.（2）用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得到，結(jié)合已知得出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例得出結(jié)論.（3）以為原點建系，設(shè)出，的長度，表示出平面的法向量，再用含的式子表示，進(jìn)而將所給線面角表示為關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，借助函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有解得出長度的取值范圍.【小問1詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.【小問2詳解】由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.與相似，則，在中，，，，..【小問3詳解】以為原點，以，所在直線分別為軸，軸，以過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.，，不妨設(shè)，，，，即，由知，于是，，，，設(shè)，則，，由可得，，.，，設(shè)平面的一個法向量為，于是令，得，，平面的一個法向量為，，結(jié)合，化簡得，設(shè)，，要存在，使與平面所成角為，在上有零點.結(jié)合知函數(shù)圖象的對稱軸，故，又，只需滿足，解得.的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（3）問中，可將用到的線段長度設(shè)兩個未知量，表示，再用勾股定理消掉一個未知量，將題中所給線面角度關(guān)系表示為含和的函數(shù)關(guān)系式，因為，可將看作主元，將所求問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有解問題，進(jìn)而得到結(jié)果.19.在平面直角坐標(biāo)系中，若，兩點在直線的同一側(cè)，則稱，為“同域點”；若，兩點分別在直線的兩側(cè)，則稱，為“異域點”.已知：拋物線：，：.（1）若點，為“異域點”，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知過的直線與拋物線交于，兩點，（Ⅰ）若，為“同域點”，比較與0大小關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）直線的斜率為，過原點作斜率為的直線，，，點，到直線的距離分別記為，，若，求點，為“同域點”的概率.【答案】（1）（2）（Ⅰ），理由見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)“異域點”的定義列不等式組即可求解；（2）（Ⅰ）分，為在下方和，為在的上方兩種情況，列不等式組即可得；（Ⅱ）根據(jù)題意由點到直線的距離公式可得，，分，為“同域點”和，不為“同域點”兩種情況，結(jié)合即可求解.【小問1詳解】：，要使點，為“異域點”，則應(yīng)在的下方，應(yīng)在的上方，所以，解得；【小問2