人教版數(shù)學九年級上冊第7講 圓的有關(guān)性質(zhì)基礎(chǔ)、提高、滿分練習試題（含解析）

第7講圓的有關(guān)性質(zhì)

垂徑定理

弧、弦、圓心角的關(guān)系

圓的有關(guān)性質(zhì)

圓周角定理及推論

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識點1垂徑定理

①弦和直徑：

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。

②弧：

(1)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號表示，以A,B為端點的的弧記

作AB,讀作弧AB.

⑵半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于180。用三個字母表示，如ACB.

小于半圓的弧叫做劣弧，如48。

(3)等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圓心到弦的距離叫做弦心距。

(2)圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧

相等，所對的弦相等，所對的圓心角也相等，所對弦的弦心距也相等,四者有一個相等，則

其他三個都相等。圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距。

④圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對

稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，

那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸。

⑤垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)平分弦(此弦不能是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夾的弧相等.

⑥同心圓與等圓

(1)同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。如圖一，半徑為口與半徑為「2

的€)0叫做同心圓。

(2)等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓。如圖二中的與的半徑都是

r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。

(圖二)

(3)同圓是指同一個圓；等圓、同心圓是指兩個及兩個以上的圓。

【典例】

1.如圖，圓0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：???AB是直徑，AB1GH,

，圓0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C,在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為

【答案】（-2,-1）

【解析】解：如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點0,

則點0即是該圓弧所在圓的圓心.

???點A的坐標為（-3,2）,

，點0的坐標為（-2,-1）

3.據(jù)史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史.橋身為一巨型單孔圓弧,

既沒有用鋼筋，也沒有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑OC

為13m,河面寬AB為24m,則橋高CD為

【答案】18m

【解析】解：如圖，連結(jié)0A,

VCD1AB,

，AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把寬為2cm的刻度尺在圓。上移動，當刻度尺的一邊EF與圓O相切于A時，另一邊與

圓的兩個交點處的度數(shù)恰好為“2”（C點）和“8”（B點）（單位：cm）,求該圓的半徑

【答案】3.25cm

【解析】解：如圖，連接0A交BC于點E,

設(shè)OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm?

22

在RtABOE中，

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法總結(jié)】

1、在遇有求弦長或半徑長的問題時，常添加的輔助線是弦心距。

2、在運用垂徑定理解決線段長度問題時，一般都與勾股定理更合運用。

【隨堂練習】

I.（2019?廬陽區(qū)二模）如圖，AC是G）O的直徑，弦3￡>_LAC于點E,連接8C過點O作

OFtBC于點、F,若BD=12cm,AE=4cm,則。尸的長度是（）

A.x/\3cmB.2\[\3cinC.VlOcwD.3cm

【解答】解：連接OB,

?.?AC是OO的直徑，弦8D_LAC,

:.BE=-BD=6,

2

在RtAOEB中，OB2=OE2+BE2,OB2=(OB-4)2+62,

解得，OB=上，

2

則EC=AC-A￡：=9，

BC=4EC1+BE2=3萬,

\OFA-BC.

『1__3拒

/.CF=—BC=-------,

22

wc

2.（2019?濱州模擬）如圖，某下水道的橫截面是圓形的,水面8的寬度為2加，尸是線段

CD的中點，所經(jīng)過圓心。交。。與點七，EF=3m,則OO直徑的長是（）

E

（B

254

A.—mB.-mC.—mDc.—10m

3333

【解答】解：如圖，連接OC,

是弦。。的中點，所過圓心。，

:.EF±CD.

:.CF=FD.

;CD=2,

/.CF=1,

設(shè)OC=x,貝ij'=3-x,

在RtACOM中，根據(jù)勾股定理，得

12+（3-X）2=X2.

解得x=3,

6

.??OO的直徑為g.

故選：B.

3.（2019?黔東南州一模）如圖，0O的直徑為10cm,弦Afi為8°〃，?是弦4?上一點且

不與點A、8重合.若。尸的長為整數(shù)，則符合條件的點？有（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：連接04.作OCI于C，

則4C=4A8=4,

2

由勾股定理得，OCUAW-AC）=3,

則3,OP<5,

則符合條件的點P有3個,

故選：B.

4.（2019?黃岡）如圖，?條公路的轉(zhuǎn)彎處是?段圓?。ˋB）,點O是這段弧所在圓的圓心,

AB=40/〃，點C是A8的中點，ACD=10w.則這段彎路所在圓的半徑為（）

B.24/nC.30mD.60/w

【解答】解：???OC_LA8,

AD=DB=20m,

在RtAAOD中，O^C=ODr+ADr,

設(shè)半徑為/■得：r?=(r-10)?+20:,

解得：r-25m?

/.這段彎路的半徑為25〃?

故選：A.

5.（2019?長沙模擬）如圖，為0O的弦，過點。作的垂線，交于點C,交楨于

點D,已知A4=8,CD=2,則G）O的半徑為（）

D

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：連接04,

AC=-4B=4,

2

設(shè)OO的半徑為r，

:.OC=r-2,

AO2=OC2+AC2,

/.r2=(r-2)2+42,

6.（2019?濱湖區(qū)一模）如圖，在0。中，已知弦AB長為16cm,C為48的中點，OC交AB

于點M,且QM:MC=3:2,則CM長為（）

【解答】解：連接。4,

?.?C為A8的中點，

AC—BC,

:.OC±AB,

AM=—AB=8,

2

設(shè)則CM=2z,

:.OC=5a,

由勾股定理得，O^^AM^OM2,6P(5a)2=82+(3a)2,

解得，a=2(負值舍去)，

則CM=2a=4(cm),

7.（2019?陽谷縣一模）已知在半徑為5的0O中，AB,8是互相垂直且相等的兩條弦,

垂足為點尸，且0尸=3夜，則弦的長為（）

【解答】解：作OM_L8于M,ON_LAB于N,連接03,

則四邊形MWO為矩形,

'.AB-CD,OMA.CD,ON1AB,

：.OM=ON,

四邊形NPNO為正方形，

..NP=NO=—OP=3,

2

由勾股定理得，BN=>]0B2-0NZ=4,

\ON±AB,

：.AB=2BN=8,

8.(2019?柯橋區(qū)模擬)如圖，OO的直徑C￡>=10cm,AB是的弦，ABLCD,垂足為

【解答】解：如圖所示，連接。4.

QO的直徑C￡)=l(kw,

則的半徑為5?！?，

即O4=OC=5,

又???OM:OC=4:5,

所以O(shè)M=4,

\AB±CD,垂足為M,

:.AM=BM，

在RtAAOM中，AA/=V52-42=3,

.-.AB=2AA/=2x3=6.

9.（2018秋?柳州期末）如圖，為G）O的弦，半徑OC_LA8于點。，且AB=6,8=4,

A.1B.2C.2.5D.5

【解答】解：連接04,

???半徑OC_LAB,

AD=BD=—AB=—x6=3>

22

\'OD=4，

:.OA=\/AD2+0D2=5，

:.OC=OA=5，

:.DC=OC-OD=5-4=1.

10.（2018秋?海曙區(qū)期末）如圖，圓O半徑為10cm,弓形高為4am則弓形的弦45的長

為（）

B.\2cmC.\6cmD.20cm

【解答】解：如圖，過。作Q/)_LAB于C,交于。,

'.'CD=4cm?OD=1Ocm，

OC=6cm，

又,/OB=lOcw，

「.RIAB8中，BC=yJOB2-OC2=Scm,

AB=2BC=\6cm.

故選：C.

知識點2弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系

與圓有關(guān)的角

(I)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相文的角叫做圓周角。

圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半。

在同圓或等圓中，相等的圓心角或圓周角所對的弧相等，弦也相等。

(3)直徑所對的圓周角是直角。

【典例】

1.如圖，矩形ABCD的頂點A,B在圓上，BC,AD分別與該圓相交于點E,F,G是AF的

三等分點(AG>GF),BG交AF于點H,若AB的度數(shù)為30。，則NGHF等于

【答案】40。

【解析】解：如圖，連接BF,

,:AB的度數(shù)為30°,

?,?代的度數(shù)為150°,ZAFB=15°,

???G是篇的三等分點，

???菽的度數(shù)為50。,

:.ZGBF=25°,

/.ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD=38°,則NAEO的度數(shù)是

【答案】570

【解析】解：,菽=而=而，ZCOD=38°,

:.ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

???ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

%VOA=OE,

AZAEO=ZOAE,

???ZAEO=-x(180°-66°)=57°.

2

3如圖,在。O中，OC1AB,ZADC=32°,則NOBA的度數(shù)是

【答案】260

【解析】解：如圖,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

VZ2=2Zl=2x32°=64°.

AN3=64。，

在RtZkOBE中，ZOEB=90°,

/.ZB=90u-Z3=90v-64v=26°

【方法總結(jié)】

1、注意利用同圓中同瓠或等弧所對的圓心角相等圓周角也相等，可進行角度轉(zhuǎn)換。

2、注意利用同圓中同瓠或等弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可進行角度倍數(shù)轉(zhuǎn)換。

【隨堂練習】

I.（2019?東西湖區(qū)模擬）如圖，OA的半徑為2,B,。在上且4AC=120。，若點P,

Q，R分別為BC,AC.A8上的動點，則PR+PQ的最小值為（）

R

BC

C.1D.￡

【解答】解：如圖，作B〃_LC4交C4的延長線于”.連接P4.

在RtAABH中，?.AB=2,/BAH=60°,

.\BH=AB?sin600=y/3,

當PRJ_A8,PQ_LAC時，0R+PQ的值最小,

S”眈=-?AC*BH=1~?AB?PR+:?AC?PQ,

222

：.PR+PQ=BH=6,

故尸R+PQ的最小值為G，

故選：D.

2.（2019?東臺市模擬）如圖，43是0O的弦，半徑OC1,AB，￡）為圓周上一點，若3c的

度數(shù)為50。，則NADC的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

【解答】解：的度數(shù)為50。,

:.NBOC=5G,

?.?半徑OC_LAB,

AC=BC，

ZADC=-ZBOC=25°.

2

故選：B.

3.（2019?資中縣一模）如圖，AB,CD是。。的直徑，=若ZAO￡=32。,

則NCOE的度數(shù)是（）

A.32°B.60°C.68°D.64°

【解答】解：?.?AE=BD,

ZBOD=ZAOE=32°f

-ZBOD=ZAOC,

ZAOC=32°

.-.ZCOE=320+32°=64°.

故選：D.

4.（2018秋?祁江區(qū)校級月考）下列語句，錯誤的是（）

A.直徑是弦

B.弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心

C.相等的圓心角所對的弧相等

D.平分弧的半徑垂直于弧所對的弦

【解答】解：A、直徑為弦，所以A選項的說法正確；

8、弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，所以8選項的說法正確；

C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以C選項的說法錯誤；

。、平分弧的半徑垂直于弧所對的弦，所以。選項的說法正確.

故選：C.

5.（2018秋?泉山區(qū)校級月考）下列語句，錯誤的是（）

A.直徑是弦

B.相等的圓心角所對的弧相等

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心

D.平分弧的半徑垂直于弧所對的弦

【解答】解：直徑是弦，A正確，不符合題意：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，6錯誤，符合題意；

弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，C正確，不符合題意；

平分弧的半徑垂直于弧所對的弦，。正確，不符合題意；

故選：B.

6.（2018秋?儀征市校級月考）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,Z4=28°,

以點。為圓心，6c為半徑的圓分別交4B、AC于點。、點、E,則弧3。的

度數(shù)為（）

【解答】解：?.?NC=90。，ZA=28°,

.?.4=62。，

?.?CB=CD,

ZCDB=ZB=62°f

ZBCD=180°-62°-62°=56°,

「?8。的度數(shù)為56。.

故選：C.

7.（2018秋?新羅區(qū)校級期中）如圖所示，在G>O中，A,C,D,8是上四點，OC,

。力交他于點石，F(xiàn),且下列結(jié)論：?OE=OF；②AC=CD=DB；③

CD//AB-,?AC=BD,其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解答】解：連接。4，OB,

?.OA=OB,

:.NOAB=/OBA.

OA=OB

在與AOB產(chǎn)中，＜N0AE=40BF

AE=BF

:.AOAE=AOBF(SAS),

:.OE=OF,故①正確；

ZAOE=ZBOF,即Z4OC=N8OD,

..AC=BD,故④正確；

連結(jié)AD.

AC=BDf

:.ZBAD=ZADC,

:.CD//AB,故③正確；

ZBOD=NAOC不一定等于Z.COD,

.?.弧AC=弧班)不一定等于弧CD,

AC=不一定等于CD,

故②不正確.

正確的有3個，故選8.

知識點3圓周角定理及推論

圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

圓周角的推論：

①同弧或等弧所對的圓周角相等;在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

②90。的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

④圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.

【典例】

1.如圖，。。的半徑為2,點A為。O上一點，半徑OD_L弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的長是

【答案】2M

【解析】解：VZBAC=60°,.\ZBOC=120°,

OD_L弦BC,AZBOD=90°，

VZBOD=ZA=60°,.*.OD=—OB=L

2

???BD=7OB2-OD2=V22-12=^'

ABC=2BD=2V3

2.如圖所示，A、B、C、D四個點均在＜30上，ZAOD=50°,AO/7DC,則NB的度數(shù)為

【答案】65°

【解析】解：如圖連接AD,

B

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80。_/A0D=656

2

?.?AO〃DC,

AZODC=ZAOD=50°,

，ZADC=ZADO+ZODC=115°,

/.ZB=180°-ZADC=65°

【方法總結(jié)】

1、在圓中利用圓的半徑處處相等，可迅速構(gòu)造等腰三角形。

2、利用直徑所對的圓周角是直角，可便捷構(gòu)造直角三角形。

【隨堂練習】

1.（2019?溫州三模）如圖，點A,B,C在。。上，若N4CB=112。，則Na=（）

A^）B

A.68°B.112°C.136°D.134°

【解答】解：作標對的圓周角/ADS,如圖，

???NAC8+NAOB=180°,

???NADB=180°-112°=68°,

JNAOB=2NAOB=2x68°=136°.

2.（2019?邵陽縣模擬）已知。O的直徑A8=8cm,點。在。。上，且N8OC=60。，則AC

的長為（）

A.4cmB.4、C.5cmD.2.5cm

【解答】解：?；OB=OC,N8OC=60。，

???△OBC是等邊三角形，

???ZABC=60°,

TAB是直徑，

/.NACB=90。，

JAC=ABsin60。=8x坐=4M.

故選：B.

3.（2019?廣元）如圖,ABfAC分別是。。的直徑和弦,0￡>J_AC于點Q,連接3。，BC,

且A8=10,4C=8,則的長為（）

0

A.2加B.4C.2413D.4.8

【解答】解：:AB為直徑，

???NACB=90。，

.\BC=^AB2_AC2=^52_42=3,

ZODIAC,

???CO=AO=X4C=4,

2

在RtZkCB。中，BD=rq2+62=2^/Tj.

故選：C.

4.（2019?吉林）如圖，在。。中，彘所對的圓周角NAC8=50。,若P為標上一點，NAOP

=55°,則NPOB的度數(shù)為（）

c

【解答】解：???NACB=50。，

:./A0B=2/ACB=100°,

■:NAOP=55。，

???NPOB=45。,

故選：B.

5.（2019?柳州）如圖，4,B,C,。是。。上的點,則圖中與NA相等的角是（）

A.NBB.ZCC.NDEBD.ND

【解答】解：YNA與NO都是萩所對的圓周角

故選：D.

6.（2019?黔東南州一模）如圖，4C為。。的直徑，AB=OH.則NC的度數(shù)為（）

0

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：???8C為。。的直徑，

，NBAC=90。，

■:AB=OB,

：.BC=2AB,

.*.sinC=AB=1

BC-2

AZC=30°.

故選：A.

7.（2019?宜昌）如圖，點A,B,C均在。。上，當NO8C=40。時，NA的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：???OB=OC,

：./OCB=/OBC=^°,

：.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

???NA=LNBOC=50。.

2

故選：A.

8.(2019?眉山)如圖，。0的直徑48垂直于弦CQ,垂足是點E,NCAO=22.5。，OC=6,

則CD的長為()

A.6^2B.3V2C.6D.12

【解答】解：???COLAB,

:?CE=DE,

ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°,

???△OCE為等腰直角三角形，

.??。七=返。。=返x6=3加，

22

：,CD=2CE=6^2.

故選：A.

9.（2019?江西模擬）如圖，BC為直徑，NA8C=35。，則/。的度數(shù)為（）

A

BC

【解答】解：???AB是直徑，

/.ZBAC=90°,

■:ZABC=35°,

???ZACB=90°-35°=55°,

AZD=ZC=55O,

故選：C.

知識點4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補

2.外角等于它的內(nèi)對角

【典例】

1.如圖，點A、B、C、D、E在。0上，且標的度數(shù)為50。,則/B+ND的度數(shù)為

C

【答案】155°

【解析】解：連接AB、DE,則/ABE二NADE,

c

???金為50。，/.ZABE=ZADE=25°,

???點A、B、C、D在。O上，

:.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.?.NABC+NADO180。，

:.ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

???ZB+ZD=1800-ZABE=180°-25°=155°

2.如圖，已知。O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F,若NE+NF=70。,

則NA的度數(shù)是

【答案】55°

【解析】解：???四邊形ABCD為00的內(nèi)接四邊形，

AZA=ZBCF,

VZEBF=ZA+ZE,

HUZEBF=18O°-ZBCF-NF,

/.ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

/.ZA+ZE=180-ZA-NF,

BP2ZA=180°-(ZE+ZF)=110°,

:.ZA=55°

3.如圖，A、B、C、D四個點在同一個圓上，ZADC=90%AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,則陰影部分的面積為cm2.

r答案】3i

【解析】解：如圖，連接AC.

,:ZADC=90°,

AAC是直徑，

AZABC=90°,

ACD1AE,AB1CF,

?2

??SBJ=SAAEC+SAAFC—*AE<D+—>CF*AB=^x4x5+ix6x7=31（cm）

2222

【方法總結(jié)】

證明四點共圓的一般方法：

1、逆用同弦所對圓周角相等

2、逆用圓的內(nèi)接四邊形對角互補

【隨堂練習】

I.（2018秋?濱江區(qū)期末）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，NA:N8:NC=1:2:3,則NO的大

小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解答】解：?.?四邊形A88為圓的內(nèi)接四邊形，

.\ZA:ZB:ZC:ZD=1:2:3:2,

而NB+ND=180°,

ZD=-xl80°=90°.

4

故選：C.

2.（2019?蘭州）如圖，四邊形4?C￡>內(nèi)接于GX）,若NA=40°,貝Ij/C=（）

D

B.120cC.135°D.140*

【解答】解：?.?四邊形A88內(nèi)接于QO,

.?.NC+NA=180。，

二.ZC=180°-40°=14(r.

故選：D.

3.（2019?南昌一模）如圖，A,B,C,。四個點均在G）O上，ZAOB=40°弦BC的長

等于半徑，則NADC的度數(shù)等于（)

A.50°B.49°C.48°D.47°

【解答】解：連接OC,

由題意得，OB=OC=BC,

「.△CMC是等邊三角形,

/.ZBOC=60°,

.?ZAOB=40°,

/.ZAOC=100°,

由圓周角定理得，ZADC=-ZAOC=50°,

2

故選：A.

D

B

4.（2019?富順縣三模）四邊形ABC。內(nèi)接于圓，4、n3、NC、NO的度數(shù)比可能是（

)

A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4

【解答】解：4、1+2W3+4,所以A選項不正確:

B、7+10工5+8,所以8選項不正確;

C、13+5=1+17,所以。選項正確;

。、1+3/2+4,所以。選項不正確.

故選：C.

5.（2018秋?定興縣期末）如圖，四邊形人4。力為圓內(nèi)接四邊形NA=85。，NB=105。，貝UNC

B.75°C.95°D.無法求

【解答】解:?.?四邊形為圓內(nèi)接四邊形NA=85。，

ZC=180°-850=95°,

故選：C.

二.填空題（共3小題）

6.（2019?海淀區(qū)校級三模）如圖，點A,B,C,。是0。上的四個點，點8是弧AC的

中點，如果NA"C=70°,那55。

【解答】解：?.?四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

:.ZABC+ZADC=\80°t

.-.ZA￡)C=180o-70o=110o.

?.?點8是弧AC的中點,

.?.弧A8=弧AC.

:.ZADB=ZBDC.

..ZADB=-zL4DC=-xll0o=553.

22

故答案為55。.

7.（2019?銅仁市）如圖，四邊形45a＞為0。的內(nèi)接四邊形，NA=1（XT,則NDCE的度數(shù)

為」00。_；

【解答】解：?.?四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形，

/.ZDCE=ZA=100°,

故答案為：100。

8.（2019?臺州）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形A38的一條對角線，點。關(guān)于AC的對稱點￡

在邊BC上，連接AE.若NA8C=64。，則44E的度數(shù)為_52。_.

【解答】解：?.?圓內(nèi)接四邊形

.?.ZD=180°-ZABC=116°,

???點。關(guān)于AC的對稱點E在邊BC上，

.?.ZD=ZAEC=116°,

.?.Zft4￡=116o-64o=52o.

故答案為：52°.

三.解答題（共1小題）

9.（2018秋?中山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于ZBOD=140°,求NBCD的度

數(shù)

O

'D

B

【解答】解：?.?N88=140。，

/.ZA=-ZBOD=70°,

2

.?.Z5CD=180°-ZA=110°.

綜合運用：圓的有關(guān)性質(zhì)

1.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如圖，設(shè)EF的中點M,作MN_LAD于點M,取MN上的球心0,連接OF,

/.ZC=ZD=90u,

???四邊形CDMN是矩形，

/.MN=CD=4cm,

設(shè)OF=xcm,貝UON=OF,

AOM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：(4-x)2+22=X2

解得：x=2.5cm

答：球的半徑為2.5cm。

2.如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點，D是弧AC中點，OD交弦AC于

E,連接BE,若AC=8,DE=2,求

(1)求半圓的半徑長；

(2)BE的長度。

AOB

【解析】解：(1)設(shè)圓的半徑為r,

???D是弧AC中點，

AOD1AC,AE=-AC=4,

在RSAOE中，OA2=OE2+AE2,即(r-2)2+42,

解得，r=5,即圓的半徑長為5；

答：圓的半徑長為5。

(2)如圖，連接BC,

VAO=OB,AE=EC,

.*.BC=2OE=6,

VAB是半圓的直徑，

.\ZACB=90u,

BE=7EC2+BC2=2^,

答：BE長為25。

3.如圖，小明將一塊三角板放在0O上，三角板的一直角邊經(jīng)過圓心O,測得AC=5cm,

AB=3cm,求。0的半徑。

【解析】解：如圖，連接0B,

設(shè)。O的半徑為r,則RsAOB中，VAC=5cm,/.AO=(5-r)cm,ABTcm,OB=r,由勾

股定理得：OB2=OA2+AB2,即:股(5-r)2+32,解得：r=3.4cm4>

答：。。的半徑為3.4cm。

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,以BC為斜邊在矩形外部作直角三角形BEC,

F為CD的中點，求EF的最大值。

【解析】解：由題意知NBEC=9(F,

???點E在以BC為直徑的00上，如圖所示:

由圖可知，連接F0并延長交。0于點E，,

此時E，F(xiàn)最長，

11E

?.?C0二±BC=6、FCJCD=2,

222

???OF=7oC2+CF2=^62+(y)，

則E,F=OE,+OF=64--=—

22

答：EF的最大值為空

2。

5.如圖，已知四邊形ADBC是。0的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，AB=10cm,BC=8cm,CD

平分NACB.

(1)求AC與BD的長：

(2)求四邊形ADBC的面積.

【解析】解：(1)VAB是直徑，???NACB=90。,

AAC=VAB2-BC2=6(cm),

坐AB=5加

〈CD平分NACB,ABD=AD=(cm)；

2

答：AC長6cm；BD長5Mcm°

(2)四邊形ADBC的面積=ZkABC的面積+ZkADB的面積

=±x6x8+—X5V2X5V2=49(cm2).

22

答泗邊形ADBC的面積為49cm2。

6.如圖，A、P、B、C是00上四點，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判斷4ABC的形狀并證明你的結(jié)論；

(2)當點P位于什么位置時，四邊形PB0A是菱形？并說明理由.

(3)求證：PA+PB=PC.

【解析】解：(1)AABC是等邊三角形.

證明如下：在。0中，

???NBAC與NCPB是菽所對的圓周角，ZABC與NAPC是位所對的圓周角,

AZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又「NAPC二NCPB=60。,

/.ZABC=ZBAC=60°,

/.△ABC為等邊三角形；

(2)當點P位于忘中點時，四邊形PBOA是菱形,

連接0P,如圖1：

圖1

VZAOB=2ZACB=120°,P是標的中點,

:.ZAOP=ZBOP=60°

XVOA=OP=OB,

/.△OAP和AOBP均為等邊三角形，

AOA=AP=OB=PB,

，四邊形PBOA是菱形；

(3)如圖2,在PC上截取PD=AP,

圖2

又???NAPC=60。，

/.AAPD是等邊三角形，

AAD=AP=PD,ZADP=60°,HPZADC=120°.

又「ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°.

.\ZADC=ZAPB,

SAAPB和AADC中,

'/APD二NADC

,NABP=NACP，

AP=AP

A△APBADC(AAS),

???BP;CD,

又：PD二AP,

，CP=BP+AP.

第7講圓的有關(guān)性質(zhì)

垂徑定理

弧、弦、圓心角的關(guān)系

圓的有關(guān)性質(zhì)

圓周角定理及推論

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識點1垂徑定理

①弦和直徑：

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。

②?。?/p>

(1)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號表示，以A,B為端點的的弧記

作AB,讀作弧AB.

⑵半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于180。用三個字母表示，如AC8.

小于半圓的弧叫做劣弧，如48。

(3)等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圓心到弦的距離叫做弦心距。

(2)圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧

相等，所對的弦相等，所對的圓心角也相等，所對弦的弦心距也相等,四者有一個相等，則

其他三個都相等。圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距。

④圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對

稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，

那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸。

⑤垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)平分弦(此弦不能是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夾的弧相等.

⑥同心圓與等圓

(1)同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。如圖一，半徑為口與半徑為「2

的。O叫做同心圓。

(2)等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓。如圖二中的OOi與的半徑都是

!*,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。

(3)同圓是指同一個圓；等圓、同心圓是指兩個及兩個以上的圓。

【典例】

1.如圖，圓0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：???AB是直徑，AB1GH,

，圓0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C,在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為

【答案】（-2,-1）

【解析】解：如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點0,

則點0即是該圓弧所在圓的圓心.

???點A的坐標為（-3,2）,

，點0的坐標為（-2,-1）

3.據(jù)史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史.橋身為一巨型單孔圓弧,

既沒有用鋼筋，也沒有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑OC

為13m,河面寬AB為24m,則橋高CD為

【答案】18m

【解析】解：如圖，連結(jié)0A,

VCD1AB,

，AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把寬為2cm的刻度尺在圓。上移動，當刻度尺的一邊EF與圓O相切于A時，另一邊與

圓的兩個交點處的度數(shù)恰好為“2”（C點）和“8”（B點）（單位：cm）,求該圓的半徑

【答案】3.25cm

【解析】解：如圖，連接0A交BC于點E,

設(shè)OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm?

22

在RtABOE中，

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法總結(jié)】

1、在遇有求弦長或半徑長的問題時，常添加的輔助線是弦心距。

2、在運用垂徑定理解決線段長度問題時，一般都與勾股定理更合運用。

【隨堂練習】

1.（2019?利川市一模）如圖，CD為直徑，CD工AB于點F,A￡_L8C于E,鉉過

圓心O,且47=1.則四邊形尸的面積為（）

A/7R6cx/3nV3

A?VJ.-D?

248

【解答】解：?:8為直徑，CDLAB,

AD=BD,

ZAOD=2NC,

\CD±AB,AEA.BC,

:.ZAFO=ZCEO=90°,

在AA尸O和ACEO中

ZAFO=Z.CEO

,ZAO尸=Z.COE

OA=OC

?..AAR7=ACE5A4S),

...NC=Z4,

/.ZAOD=2ZA,

?.-ZAFO-9(r,

「.NA=30。，

?.AO=1,

AE_L8C,CD.AE過O,

-x/一3

.??由垂徑定理得：BF=AF=—,BE2,

2

在

11113由

XX+XX2-

/.四邊形BEOF的面積S=SgFo+S^Eo2-2-22-2-4

故選：C.

2.（2019?渝中區(qū)校級三模）如圖，OO的半徑8,弦他于點C，連結(jié)AO并延長交。。于

點七，連結(jié)EC.若AB=4,

A.3B.4C.5D.2.5

【解答】解：設(shè)楨的半徑為，?

,OD±AB,

AC=BC=2,

在RtAAOC中，?.?NACO=90°,

..OA2=OC2+AC2,

/.r2=(r-l)2+22,

5

r=—

2

?°C=I

\OA=OE,AC=CB,

:.BE=2OC=3,

故選：A.

3.（2019?梧州）如圖，在半徑為而的0（9中，弦他與8交于點E，ZDEB=75°,AB=6,

AE=1,則CD的長是（）

c.2vHD.4G

【解答】解：過點。作。/_LCZ）于點產(chǎn)，OG_LAB于G,連接08、OD,如圖所示:

則DF=CF,AG=BG=-AB=3,

2

:.EG=AG-AE=2,

在RtABOG中，0G=\/0B2-BG2=>/13-9=2,

EG=OG，

.?.△EOG是等腰直角三角形，

/.ZOEG=45°，OE=y/2OG=2a,

?.ZD￡B=75°，

..N。所=30。，

OF=-OE=42,

2

在R3ODF中，DF=40Dr-OF1=V13-2=V1T,

:.CD=2DF=2s/\\；

故選：C.

4.（2019?金華模擬）如圖，以"（4,0）為圓心，3為半徑的圓與4軸交于點A、B,P是0M

上異于A、B的一動點，直線Q4與總分別交），軸于點C、D,以CD為直徑的0N交x軸

C.26D.不能確定

【解答】解：?.?M(4,0),AB=6,

.\AM=BM=3,

:.OA=\,

,CDA.EF,

:.OE=OF,設(shè)OE=OF=x,

?.?NCm=ZAP8=90°,

..C,O,F,8四點共圓，

:.AP.AC=AO?AB,

?/AE*AF=AC.E4,

:.AE^AF=OA^AB,

.,.(x+l)(x-l)=lx6，

:.X2=7,

/.x=V7>

.\EF=2OE=2y/l,

故選：A.

二.填空題(共8小題)

5.（2019?劍閣縣模擬）如圖，MN為G）O的直徑，MN=1O,AB為的弦，已知MZV_LA4

于點P,A3-8,現(xiàn)要作O。的另一條弦8,使得8-6且8/乂"，則PC的長度為

【解答】解：當AB、CD在圓心O的兩側(cè)時，如圖，連接04、OC.

?.AB//CD,MNLAB,

/.AP--AB-4,MN1CD,

2

:.CQ=^CD=3,

在RtAOAP中，Ol=JO42-A尸=3,

同理：00=4,

則PQ=OQ+OP=7,

???PC-JcQ'+戶C'-"4'+7'-7s8

當AB、8在圓心。的同側(cè)時，PQ=OQ-OP=\,

PC=QCG+PQ2=\/32+12=、億；

故答案為：聞或加.

6.（2019?廣元一模）如圖，在平面直角坐標系中，G）O的半徑為5,弦的長為6