備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6節(jié)-離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量的分布列及其均值、方差的概念.3.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問題.1.離散型隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為或可以的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.2.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)分布列的概念及表示①一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的概率,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.

②與函數(shù)的表示法類似,離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格表示,如表,Xx1x2…xnPp1p2…pn還可以用表示.

(2)分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機(jī)變量分布列具有兩個(gè)性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=.

3.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)==∑i=1nxi(2)統(tǒng)計(jì)意義:均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的.(3)性質(zhì):若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機(jī)變量,則E(aX+b)=.

4.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-(2)統(tǒng)計(jì)意義:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越.

(3)性質(zhì):若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機(jī)變量,則D(aX+b)=a2D(X).隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度,D(X)越大,表明平均偏離程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.1.若X是隨機(jī)變量,Y=aX+b,a,b是常數(shù),則Y也是隨機(jī)變量.2.方差與均值的關(guān)系:D(X)=E(X2)-(E(X))2.1.袋中有大小相同的5個(gè)球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼,任意抽取2個(gè)球,設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X,則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為()A.25 B.10 C.7 D.62.(選擇性必修第三冊(cè)P70練習(xí)T1改編)隨機(jī)變量ξ的分布列如表,且E(ξ)=1.1,則D(ξ)=()ξ01xP1p3A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.683.由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況如表所示,ξ1(甲得分)012P(ξ1=xi)0.20.50.3ξ2(乙得分)012P(ξ2=xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場(chǎng)比賽,選哪名運(yùn)動(dòng)員參加較好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.無法確定4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234P1m11則P(|X-3|=1)=.

5.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表,則隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)的最大值為.

ξ012Py0.4x離散型隨機(jī)變量的分布列角度一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(多選題)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),則()A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.3(2)隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=,公差d的取值范圍是.

離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”,可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值.(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”,求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是不是正確.角度二求離散型隨機(jī)變量的分布列在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品;有二等獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒有獎(jiǎng).某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張,求:(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率;(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X元的分布列.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫出X的分布列.提醒:求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).[針對(duì)訓(xùn)練]1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求η=|X-1|的分布列.2.已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求X的分布列.離散型隨機(jī)變量的均值與方差角度一求離散型隨機(jī)變量的均值與方差為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):滑雪時(shí)間不超過1h免費(fèi),超過1h的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1h的部分按1h計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng),設(shè)甲、乙不超過1h離開的概率分別為14,16;1h以上且不超過2h離開的概率分別為12,(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位:元),求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ),方差D(ξ).求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的應(yīng)用.角度二均值與方差在決策中的應(yīng)用(2021·浙江溫州一模)某投資公司在今年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目可供選擇:項(xiàng)目一為新能源汽車,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29項(xiàng)目二為通信設(shè)備,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和利用均值、方差進(jìn)行決策的方法均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷;若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個(gè)變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小,從而進(jìn)行決策.[針對(duì)訓(xùn)練](2021·廣東惠州高三調(diào)研)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商,對(duì)一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶,推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案.方案一:交納延保金7000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過2次每次收取維修費(fèi)2000元;方案二:交納延保金10000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺(tái)這種機(jī)器.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),如表所示,維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費(fèi)用的和的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更劃算?離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差的創(chuàng)新應(yīng)用某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來,生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量,決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)Z≥8時(shí),產(chǎn)品為優(yōu)等品;當(dāng)6≤Z<8時(shí),產(chǎn)品為一等品;當(dāng)2≤Z<6時(shí),產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件,繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本,估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況,并用頻率估計(jì)概率.(1)從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件,求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率;(2)現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品,已知每件成本1000元,購買前,邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購買的這80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議:從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品,則按每件1600元購買,否則按每件1500元購買,每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為X元,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品,現(xiàn)面向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果,操控機(jī)器人在方格上行進(jìn),已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12.方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.機(jī)器人開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,機(jī)器人向前移動(dòng)一次.若擲出正面,機(jī)器人向前移動(dòng)一格(從k到k+1);若擲出反面,機(jī)器人向前移動(dòng)兩格(從k到k+2),直到機(jī)器人移到第49格(勝利大本營(yíng))或第50格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束.若機(jī)器人停在“勝利大本營(yíng)”,則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)器人移到第n格的概率為Pn(0≤n≤50,n∈N*),試證明{Pn-Pn-1}(1≤n≤49,n∈N*將概率、統(tǒng)計(jì)及分布列、期望、方差等知識(shí)與數(shù)列綜合在一起命題,是近兩年高考的一大趨向和亮點(diǎn).該類問題以實(shí)際應(yīng)用為手段,背景新穎,思維含量高,能夠增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的提升.[針對(duì)訓(xùn)練]甲、乙兩位同學(xué)參加某個(gè)知識(shí)答題游戲節(jié)目,答題分兩輪,第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”,第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則:每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題,答對(duì)一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,已知甲能答對(duì)備選5道題中的每道題的概率都是23,乙恰能答對(duì)備選5道題中的其中3道題;第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則:先確定一人坐莊答題,若答對(duì),繼續(xù)答下一題…,直到答錯(cuò),則換人(換莊)答下一題…,以此類推.例如若甲首先坐莊,則他答第1題,若答對(duì)繼續(xù)答第2題,如果第2題也答對(duì),繼續(xù)答第3題,直到他答