2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)1.3.2第2課時(shí)基本不等式的綜合應(yīng)用課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(九)基本不等式的綜合應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若x＋eq\f(1,x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>2))在x＝a時(shí)取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．4C[當(dāng)x>2時(shí)，x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>2))，即x＝3時(shí)取等號(hào)，所以x＝3，即a＝3，選C.]2．設(shè)x、y為正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值為()A．6B．9CB[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))＝5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時(shí)，等號(hào)成立．]3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，則t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值是()A．6B．7C．8D．9D[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，∴xy≤eq\f(1,4)，在x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝eq\f(2＋xy,xy)＝eq\f(2,xy)＋1≥eq\f(2,\f(1,4))＋1＝9.故選D.]4．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，A．80元B．120元C．160元D．240元C[設(shè)底面相鄰兩邊的邊長(zhǎng)分別為xm，ym，總造價(jià)為T(mén)元，則xy·1＝4?xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2eq\r(xy)＝80＋20×4＝160(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)).故該容器的最低總造價(jià)是160元．]5．當(dāng)x＞2時(shí)，不等式x＋eq\f(1,x－2)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，4]C．[0，＋∞) D．[2，4]B[∵x＋eq\f(1,x－2)≥a恒成立，∴a必需小于或等于x＋eq\f(1,x－2)的最小值．∵x＞2，∴x－2＞0.∴x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取最小值4.故選擇B.]二、填空題6．設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，滿意x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為_(kāi)_______．3[由已知，得y＝eq\f(x＋3z,2)，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(（\f(x＋3z,2)）2,xz)＝eq\f(1,4)(eq\f(x,z)＋eq\f(9z,x)＋6)≥eq\f(1,4)(2eq\r(\f(x,z)·\f(9z,x))＋6)＝3.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3z時(shí)，eq\f(y2,xz)取得最小值3.]7．已知正數(shù)x，y滿意x＋2y＝1，則eq\f(1＋2y2,xy)的最小值為_(kāi)_______．2eq\r(6)＋4[eq\f(1＋2y2,xy)＝eq\f(（x＋2y）2＋2y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(6y,x)＋4≥2eq\r(6)＋4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(6)y時(shí)等號(hào)成立．]8．若a，b∈R，ab>0，則eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為_(kāi)_______．4[∵a，b∈R，ab>0，∴eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,4ab＝\f(1,ab)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(\r(2),2)，,b2＝\f(\r(2),4)))時(shí)取得等號(hào)．故eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為4.]三、解答題9．為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了舊城拆建工程，按合同規(guī)定在4個(gè)月內(nèi)完成．若提前完成，則每提前一天可獲2000元獎(jiǎng)金，但要追加投入費(fèi)用；若延期完成，則每延期一天將被罰款5000元．追加投入的費(fèi)用按以下關(guān)系計(jì)算：6x＋eq\f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問(wèn)提前多少天，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益＝所獲獎(jiǎng)金－追加費(fèi)用)[解]設(shè)城建公司獲得的附加效益為y千元，由題意得y＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(784,x＋3)))＝118－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4（x＋3）＋\f(784,x＋3)－12))＝130－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4（x＋3）＋\f(784,x＋3)))≤130－2eq\r(4（x＋3）·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋3)＝eq\f(784,x＋3)，即x＝11時(shí)取等號(hào)．所以提前11天完工，能使公司獲得最大附加效益．10．當(dāng)x>3時(shí)，求函數(shù)y＝eq\f(2x2,x－3)的最小值．[解]∵x>3，∴x－3>0.又y＝eq\f(2x2,x－3)＝eq\f(2（x－3）2＋12（x－3）＋18,x－3)＝2(x－3)＋eq\f(18,x－3)＋12≥2eq\r(2（x－3）·\f(18,x－3))＋12＝24，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－3)＝eq\f(18,x－3)，即x＝6時(shí)，上式等號(hào)成立．所以，y＝eq\f(2x2,x－3)的最小值為24.11．若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則eq\f(xy＋yz,x2＋y2＋z2)的最大值是()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)A[eq\f(xy＋yz,x2＋y2＋z2)＝eq\f(xy＋yz,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)y2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y2＋z2)))≤eq\f(xy＋yz,\r(2)xy＋\r(2)yz)＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝z＝eq\f(\r(2),2)y時(shí)，等號(hào)成立．]12．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋y))的最大值為()A．9B．16C．25D．36C[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋y))≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋y)),2)))eq\s\up8(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y)),2)))eq\s\up8(2)＝25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)，等號(hào)成立．]13．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．8B．6C．4D．2C[(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥a＋1＋2eq\r(a·\f(x,y)·\f(y,x))＝a＋2eq\r(a)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)時(shí)，等號(hào)成立，所以(eq\r(a))2＋2eq\r(a)＋1≥9，∴eq\r(a)≥2，則a≥4.∴a的最小值為4.]14．設(shè)a＞b＞c，n∈N＋，試求使不等式eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(n,a－c)成立的n的最大值為_(kāi)_______．4[∵a－c＞0，要使原不等式成立，只需eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)≥n成立．即eq\f(（a－b）＋（b－c）,a－b)＋eq\f(（a－b）＋（b－c）,b－c)≥n成立．也就是2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥n成立．又eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2，∴n≤4，∴n有最大值為4.]15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解](1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2eq\r(16xy)，即xy≥8eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≥8，即xy≥64.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y，即x＝16，y＝4時(shí)，“＝”