2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．7 三角函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用 2題型二：三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用 4題型三：數(shù)據(jù)擬合問題 6題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用 10題型五：幾何中的三角函數(shù)模型 18【重難點集訓(xùn)】 22【高考真題】 37【題型歸納】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用1．（2024·高一·全國·單元測試）如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s（單位:cm）和時間t（單位:s）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺擺動的頻率為，第二次到達平衡位置O所需要的時間為s．

【答案】/0.5【解析】單擺擺動的頻率當(dāng)時，，故第一次到達平衡位置O的所需要的時間為．所以第二次到達平衡位置O所需要的時間為故答案為：；.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，一根絕對剛性且長度不變?質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

【答案】【解析】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因為，所以，所以，由區(qū)間的區(qū)間長度為，即區(qū)間長度為個周期，當(dāng)區(qū)間在同一個單調(diào)區(qū)間時，不妨設(shè)，可得則，因為，可得，當(dāng)或時，取最小值；當(dāng)區(qū)間在不同一個單調(diào)區(qū)間時，不妨設(shè)，可得，此時函數(shù)在上先增后減，此時，不妨設(shè)，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.3．（2024·高一·云南昆明·期末）一個單擺作簡諧振動位移-時間圖象如圖所示，S表示離開O的位移（單位：cm），t表示振動的時間（單位：s），則該簡諧振動的振幅為cm，振動的最小正周期為s．【答案】64【解析】單擺作簡諧振動的位移-時間圖符合正弦型函數(shù)，由圖可知振幅為6，最小正周期為．故答案為：；4．（2024·高三·廣東揭陽·期末）如圖，一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時間t（單位：s）滿足.在一個周期內(nèi)，電壓的絕對值超過的時間為.（答案用分數(shù)表示）.【答案】s【解析】由已知，，，.在區(qū)間內(nèi)，令，或，可得，；同理令，可得，.綜上，電壓的絕對值超過的時間為（s）.故答案為：s．題型二：三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用5．（2024·高一·福建泉州·期中）某地新建了一處云頂觀景塔，引來廣大市民參觀，張同學(xué)在與塔底水平的處，利用無人機在距離地面的處觀測塔頂?shù)母┙菫?0°，在無人機正下方距離地面的處觀測塔頂仰角為60°，則該塔的高度為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，，所以，設(shè)塔頂為點，作于，如下圖所示：易知，所以，所以，同理，即塔高，所以該塔的高度為．故選：C．6．（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為為此時太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌担肽耆∝撝担?，為該地的緯度?已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即.北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北緯，若某天的正午時刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（

）A．北緯 B．北緯C．南緯 D．南緯【答案】C【解析】由題可知，天安門廣場的太陽高度角，由華表的高和影長相等可知，所以.所以該天太陽直射緯度為南緯故選：C7．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖所示是一個主體高為的螺旋形旋轉(zhuǎn)滑梯.某游客從該滑梯頂端出發(fā)一直滑到底部，把其運動軌跡投影到滑梯的軸截面上，得到的曲線對應(yīng)的方程為（，）（，的單位：），若該游客整個運動過程中相位的變化量為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由旋轉(zhuǎn)滑梯高為知，投影到軸截面上后，游客對應(yīng)在橫軸上移動的距離是，當(dāng)時，初相為，且游客一直滑到底部，則最后的相位為，故整個運動過程中，相位的變化量為，.故選：D.題型三：數(shù)據(jù)擬合問題8．（2024·高一·四川涼山·期末）某地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是2024年前四個月的統(tǒng)計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）8987養(yǎng)殖成本（元/斤）55.5866.32現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系.(1)請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)模型解析式；(2)按照你選定的函數(shù)模型，分析今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在5，6，7，8月份分別是盈利還是虧損？【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收購價格月份變化上下波動，應(yīng)選模型①，由表中數(shù)據(jù)可知，養(yǎng)殖成本逐月遞增，應(yīng)選模型②，對于模型①，由點及，可得函數(shù)周期滿足，即，所以，又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對于模型②，圖象過點，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設(shè)，，若時則盈利，若則虧損；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；這說明第5，6，7月份可能盈利，8月份生豬養(yǎng)殖戶可能出現(xiàn)虧損．9．（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【解析】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．10．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下表是某地某年月平均氣溫（華氏度）：月份123456789101112平均氣溫21.426.036.048.859.168.673.071.964.753.539.827.7以月份為x軸（月份），以平均氣溫為y軸.（1）用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；（2）估計這個正弦曲線的周期T和振幅A；（3）下面三個函數(shù)模型中，哪一個最適合這些數(shù)據(jù)？①；②；③.【解析】解析（1）如圖.（2）最低氣溫為1月份21.4，最高氣溫為7月份73.0，故，所以.因為2A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差，即，所以.（3）因為月份，所以不妨取.代入①，得，故①不適合，代入②，得，故②不適合，代入③，得，所以③適合.所以③最適合這些數(shù)據(jù).11．（2024·高一·江西宜春·期末）某地農(nóng)業(yè)檢測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）6765養(yǎng)殖成本（元/斤）344．65現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)模型解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損？【解析】（1）對于模型①，由點及可得函數(shù)周期滿足，即，所以，又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對于模型②，圖象過點，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設(shè)，，若時則盈利，若則虧損；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；這說明第8，9，11，12這四個月收購價格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．所以今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有可能虧損．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用12．（2024·高一·四川綿陽·期末）風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動風(fēng)機葉片旋轉(zhuǎn)，當(dāng)風(fēng)吹向葉片時驅(qū)動風(fēng)輪轉(zhuǎn)動，風(fēng)能轉(zhuǎn)化成動能，進而來推動發(fā)電機發(fā)電．如圖，風(fēng)機由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)機，葉片旋轉(zhuǎn)軸離地面100米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，并且每5秒旋轉(zhuǎn)一圈．風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，轉(zhuǎn)動t秒后離地面的距離為h米，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，h關(guān)于t的函數(shù)解析式為（，，）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點P離地面的高度不低于80米的時長．【解析】（1）由題意，得風(fēng)機的角速度每秒，當(dāng)時．解得．（2）令，則，即，，解得，．當(dāng)風(fēng)機葉片端點P從離地面最低位置開始，在轉(zhuǎn)動一周的過程中，點P離地面的高度不低于80米的時長為秒．13．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在自然條件下，對某種細菌在一天內(nèi)存活的時間進行了一年的統(tǒng)計與測量，得到10次測量結(jié)果（時間近似到0.1小時），結(jié)果如表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號x15980117126172225263298355存活時間y小時5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)試選用一個形如的函數(shù)來近似描述一年（按365天計）中該細菌一天內(nèi)存活的時間y與日期位置序號x之間的函數(shù)解析式；(2)用（1）中的結(jié)果估計該種細菌一年中大約有多少天的存活時間大于15.9小時．【解析】（1）設(shè)細菌存活時間與日期位置序號x之間的函數(shù)解析式滿足，由已知表可知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，∴，故，又，故，又，∴．當(dāng)時，，∴，∴．（2）由得，又，∴，可得，易知，∴這種細菌一年中大約有121天的存活時間大于15.9小時．14．（2024·高一·山東濟寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色。如圖1，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)如圖2，建立平面直角坐標系，游客甲在P處坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動10min后距離地面的高度；(3)如圖2，若甲、乙兩人先后分別坐在兩個相鄰的座艙里，兩人的位置分別用點A，B表示，在運行一周的過程中，求經(jīng)過tmin后，乙距離地面的高度的函數(shù)解析式，并求出兩人距離地面高度相等的時刻t(精確到0.1).（參考公式：)【解析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.設(shè)時，游客甲位于點P，因為轉(zhuǎn)盤直徑為110m，所以，以O(shè)P為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度為，又摩天輪最高點距離地面高度為120m，最低點距離地面高度為由題意可得.H關(guān)于t的函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知時，.所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動10min后距離地面的高度約為92.5m.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則，經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點B相對于A始終落后，此時乙距離地面的高度為，兩人距離地面高度相等的時刻，方法一：甲、乙分別位于最高點的兩側(cè)，并且具有對稱性的時刻，兩人距離地面高度相等因為轉(zhuǎn)一周大約需要30min，，所以甲從最低點開始轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過，乙從最低點開始轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過，此時時間為.所以，兩人距離地面高度相等的時刻t約為15.3方法二：即H1=H可得，解得.所以，兩人距離地面高度相等的時刻t約為15.3方法三：甲乙距離地面的高度差為，利用，可得：，當(dāng)時，，由題意可知：，解得.所以，兩人距離地面高度相等的時刻t約為15.3.15．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期中）筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設(shè)備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動力，取水灌田.如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點到水面的距離為10米，每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，盛水筒（視為質(zhì)點）的初始位置到水面的距離為7米.(1)盛水筒經(jīng)過秒后到水面的距離為米，求筒車轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)為了把水引到高處，在筒車中心正上方距離水面8米處正中間設(shè)置一個寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長時間能把水倒入盛水槽.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）以簡車中心為原點，與水面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，由題知，，又筒車半徑為6，點的縱坐標為3，則，由題知，，解得，，故，；（2）如圖，作弦平行且等于盛水槽，則在中，，，，則，則距離水面的高度，盛水筒轉(zhuǎn)到盛水槽的正上方（即之間），能把水倒入盛水槽，即當(dāng)時符合題意，則，即，解得，因為，所以盛水筒轉(zhuǎn)一圈的過程中，能把水倒入盛水槽的時間為秒.16．（2024·高二·湖北武漢·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動一周的過程中，座艙距離地面的高度關(guān)于時間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.17．（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點）的初始位置距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（

）（，）．A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m【答案】B【解析】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標系：根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離與時間滿足：；因為筒轉(zhuǎn)動的角速度為，故；又；，解得，則；又當(dāng)時，，則，，則；故當(dāng)時，.故選：B.18．（2024·高一·四川南充·期中）閬中熊貓樂園承載著許多人的回憶，將樂園的摩天輪圖（1）所示抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點距地面45米，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點處開始轉(zhuǎn)動，則與轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．則摩天輪轉(zhuǎn)動8分鐘后，求點距離地面的高度（

）A．50米 B．60米 C．65米 D．75米【答案】C【解析】由題意知：摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米）與轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．所以由圖可知，，，于是，由于點是從摩天輪的最低點處開始按逆時針開始轉(zhuǎn)動，則當(dāng)時，，代入點得，，又，解得，又由函數(shù)的周期，解得，則，當(dāng)（分鐘）時，（米）.故選：C題型五：幾何中的三角函數(shù)模型19．（2024·高一·江蘇常州·期末）王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩句不僅刻畫了祖國的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠"的哲理，因此成為千古名句，我們從數(shù)學(xué)角度來思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km，如圖，設(shè)O為地球球心，人的初始位置為點M，點N是人登高后的位置(人的高度忽略不計)，按每層樓高3m計算，“欲窮千里目”即弧的長度為500km，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．7000【答案】C【解析】O為地球球心，人的初始位置為點M，點N是人登高后的位置，的長度為km，令，則，∵，，，∴，又，所以按每層樓高m計算，需要登上6600層樓.故選：C.20．（2024·高一·廣東廣州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意思為“今有水池丈見方（即尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）．試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”設(shè)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論為（

）A．水深為尺 B．蘆葦長為尺C． D．【答案】B【解析】設(shè)尺，則尺，尺，，，AC=13尺.，由，解得（負根舍去）．，故ACD正確，錯誤的結(jié)論為B．故選：B.21．（2024·四川成都·三模）為迎接大運會的到來，學(xué)校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一平行四邊形觀賽場地，如圖所示.則觀賽場地的面積最大值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示：．連接，設(shè)，作，，垂足分別為．根據(jù)平面幾何知識可知，，，．∴，．故四邊形的面積也為四邊形的面積，即有，其中．所以當(dāng)即時，．故選：D．22．（2024·高一·上?！て谥校┮粔K長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE，EF，OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且．

(1)設(shè)，試將的周長l表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；(2)經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．【解析】（1）在Rt中，，，所以，在Rt中，，即，又，所以，所以的周長，即;當(dāng)點在點時，角最小，此時;當(dāng)點在點時，角最大，此時;故此函數(shù)的定義域是（2）由題意可知，只需求出的周長的最小值即可設(shè)，則，則原函數(shù)可化簡為，因為，所以，，則，則從而則當(dāng)時，即時，；即當(dāng)米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元.23．（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形.記.(1)用分別表示的長度：(2)當(dāng)為何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.【解析】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）設(shè)矩形的面積為，所以，因為，所以所以當(dāng)，即時，【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高二·海南·期中）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線C．該函數(shù)的解析式是D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天【答案】A【解析】由題意及函數(shù)的圖象知，，可得，由，所以，故，A正確；圖象經(jīng)過點，則，故，但，故不是對稱軸，又，故φ可以取，所以，BC錯誤；這一天的函數(shù)關(guān)系式只適用于當(dāng)天，第二天這個關(guān)系式不一定適用，D錯誤．故選：A2．（2024·高二·湖北武漢·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設(shè)置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周需要.已知在轉(zhuǎn)動一周的過程中，座艙距離地面的高度關(guān)于時間（min）的函數(shù)關(guān)系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)甲位置對應(yīng)的時間為，轉(zhuǎn)到乙位置時對應(yīng)的時間為，則，所以甲?乙兩人座艙高度差為，所以甲?乙兩人座艙高度差的最大值為.故選：D.3．（2024·高一·陜西渭南·期末）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖．若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，且，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，，則，令，得，解得，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移小于的總時間為：，故選：D4．（2024·高一·四川達州·期末）已知甲船在小島B正東方向4海里的C處，乙船在小島B正南方向3海里的A處．甲船沿北偏西方向直線航行．若乙船要與甲船會合，則乙船航行的最短里程為（

）．A．海里 B．海里C．海里 D．海里【答案】B【解析】如圖所示，過點A作于點D，由題意可知，即為乙船航行的最短距離.因為在中，，所以，所以，所以，所以在中，，即乙船航行的最短里程為海里.故選：B.5．（2024·高一·江西宜春·期中）某賣場去年1至12月份銷售某款飲品的數(shù)量（單位：萬件）與月份x近似滿足函數(shù)，已知在上單調(diào)，且對任意的，都有，若，則該賣場去年銷售該款飲品的月銷量不低于65萬件的月份有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【解析】由題意可得，，又在上單調(diào)，且對任意的，都有，所以，所以，所以，即，又因為，所以，所以，所以，解得，因為，所以，即有5個月，故選：B.6．（2024·高一·四川·期中）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為的筒車按逆時針方向做一圈的勻速圓周運動，已知筒車的軸心O到水面的距離為，且該筒車均勻分布有8個盛水筒（視為質(zhì)點），以筒車上的某個盛水筒P剛浮出水面開始計時，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t（單位：），則下列說法正確的是（

）

①時，盛水筒P到水面的距離為；②與時，盛水筒P到水面的距離相等；③經(jīng)過，盛水筒P共8次經(jīng)過筒車最高點；④記與盛水筒P相鄰的盛水筒為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】依題意作圖如下：以水車的軸心為原點建立直角坐標系如圖，由題可知水車旋轉(zhuǎn)一周的時間為4min，當(dāng)剛露出水面時，與軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到點，此時點到水面的距離為，所以①正確；②當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)了周，即，此時的位置是點，與軸正半軸的夾角是，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)了，即點，與軸正半軸的夾角也是，點與點到水面的距離相等，所以②正確；③經(jīng)過，則水車轉(zhuǎn)過了個周期，所以盛水桶共9次經(jīng)過最高點，故③錯誤；④設(shè)在的上方，與軸負方向的夾角為，，則與軸負方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當(dāng)時取最大值為，故④錯誤；故選：A．7．（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為為此時太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取負值），為該地的緯度?已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即.北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北緯，若某天的正午時刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（

）A．北緯 B．北緯C．南緯 D．南緯【答案】C【解析】由題可知，天安門廣場的太陽高度角，由華表的高和影長相等可知，所以.所以該天太陽直射緯度為南緯故選：C8．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（多選）動點在以原點為圓心的單位圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時間時，點的坐標是，則當(dāng)時，動點的縱坐標關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)動點與軸正方向夾角為，則時，的坐標是，則，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，故，令，解得，令可得，當(dāng)，可得，故動點的縱坐標關(guān)于都是單調(diào)遞增的，故選：AD.9．（多選題）（2024·高一·廣東肇慶·期中）如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心距離水面的高度為2.5m.設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水面下時，為負數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：s）之間的關(guān)系為（，，），則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A，振幅A即為半徑，，A正確；對于B，筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，則，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，d＝0，得，則，D錯誤.故選：AC10．（多選題）（2024·高一·湖北·期中）如圖，摩天輪的半徑為50米，摩天輪的中心點距離地面的高度為55米，摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最高點處，下列結(jié)論正確的是（

）

A．經(jīng)過12分鐘，點首次到達最低點B．第16分鐘和第32分鐘點距離地面一樣高C．從第28分鐘至第40分鐘點距離地面的高度一直在降低D．摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點有8分鐘距離地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)的時間，單位為分鐘，則.對于A選項，由于摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，因為，則，令，解得，所以經(jīng)過12分鐘，點P首次到達最低點，故A選項正確；對于B選項，因為，即，所以第16分鐘和第32分鐘點P距離地面一樣高，B選項正確；對于C選項，由于摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，根據(jù)A選項可知，經(jīng)過12分鐘，點P首次到達最低點，所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，所以C選項錯誤；對于D選項，由，則，其中，即，則或，解得或，故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中點P有分鐘距離地面不低于80米，D選項正確.故選：ABD.11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的值域是，若，則的最小值為．【答案】1【解析】先證下面的結(jié)論：若在上的值域為，則當(dāng)時，有最小值，顯然，記，兩邊平方得：，則，當(dāng)，即，，時取等號，此時有最小值，且，得證，要取最小值，則周期要最大，要最小，又，故，，當(dāng)時，相減得，當(dāng)時，相減得，故的最小值是1．故答案為：.12．（2024·高一·山東·階段練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪直徑為40米，觀覽車中心O到地面的距離為22米，觀覽車每45分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈.若是從距地面12米時開始計算時間時的初始位置（位置如圖所示），以觀覽車的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.設(shè)從點運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：分鐘），且此時點P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).求當(dāng)時，（單位：米）.

【答案】【解析】觀覽車的角速度為，設(shè)，其中，則，故，故，故，所以，其中，故答案為：.13．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關(guān)系．時刻03691215182124水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時刻的關(guān)系可用函數(shù)（其中）來近似描述，則該港口在11:00的水深為m．【答案】4【解析】由題意得函數(shù)（其中）的周期為，所以，得，由表中數(shù)據(jù)可知最大值為7，最小值為3，則，解得，所以，所以該港口在11:00的水深為．故答案為：4.14．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則.【答案】3【解析】由題意得，又，故，且，解得，故，當(dāng)時，，即，，又，解得，故，所以.故答案為：315．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，某大風(fēng)車的半徑為，按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面.風(fēng)車圓周上一點從最低點開始，運動后與地面的距離為.(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的大致圖象.【解析】（1）如圖，以為原點，過點的圓的切線為軸，建立平面直角坐標系.過點作軸的垂線段，垂足為，連接.設(shè)點的坐標為，則.設(shè)，則，所以.又，即，所以，則.（2）函數(shù)的大致圖象如圖所示.16．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）主動降噪耳機工作的原理是先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲（如圖所示），已知某噪聲聲波曲線，其振幅為2，且經(jīng)過點.(1)求該噪聲聲波曲線f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪聲波曲線g（x）的解析式；(2)證明：為定值.【解析】（1）由振幅為2，，可得，，由噪聲聲波曲線經(jīng)過點，得，而，，則，則，又降噪聲波曲線與噪聲聲波曲線的振幅相同、相位相反，所以.（2）由（1），則，即為定值0.17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時間t(，單位：小時)呈周期性變化，每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如表：t/時03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.0(1)從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(2)如果確定在一天內(nèi)的7時至19時之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時才進行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．【解析】（1）把表格中的數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)描出，如下，由所描點知：應(yīng)選擇，令，，，依題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，周期為，則，，，于是，代入點，得，即，則，又，因此，所以該模型的解析式為：.（2）令，得，則，解得，而，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，因此或或，依題意，應(yīng)在白天11點到19點之間訓(xùn)練較恰當(dāng).18．（2024·高三·山東濟寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙