2022北京五中高一(下)期中數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京五中高一（下）期中數(shù)學(xué)一、單選題（每小題4分，共40分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列結(jié)論中正確的是①若且，則；②若，則且；③若與方向相同且，則；④若，則與方向相反且．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④3．已知復(fù)數(shù)，則A． B． C． D．4．在中，，，，則等于A．或 B．或 C． D．5．如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則A． B． C． D．6．已知一個直三棱柱的高為2，如圖，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為A． B． C． D．7．在中，，則下列結(jié)論中不正確的是A． B． C． D．8．已知向量，滿足，，若，則向量，的夾角為A． B． C．或 D．或9．已知邊長為2的正方形，設(shè)為平面內(nèi)任一點，則“”是“點在正方形及內(nèi)部”的)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，記（a），若函數(shù)（a）（a）是常數(shù)）只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A．或 B． C． D．或二、填空題（每小題5分，共25分）11．（5分）若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為，則球的體積為．12．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為．13．（5分）已知在中，有，則下列說法中：①為鈍角三角形；②；③．正確說法的序號是．（填上所有正確說法的序號）14．（5分）如圖，正方體的棱長為4，點在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動．平面區(qū)域由所有滿足的點組成，則的面積是；四面體的體積的取值范圍．15．（5分）在中，點是邊上任意一點，在直線上，且滿足，若存在實數(shù)和，使得，則．三、解答題（第16-19、21題，每題14分，第20題15分，共85分.）16．（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，，．（1）若，求的值；（2）若向量，求的值．17．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為．（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最大值和最小值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．18．（14分）（1）若關(guān)于的不等式的解集為或，求，的值；（2）解關(guān)于的不等式．19．（14分）如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個景點、、，景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點，經(jīng)測量景點位于景點的北偏東方向處，位于景點的正北方向，還位于景點的北偏西方向上，已知．（1）景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點向景點修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；（結(jié)果精確到（2）求景點與景點之間的距離．（結(jié)果精確到20．（15分）在中分別、、分別是角、、的對邊，且滿足．（1）求角的大小；（2）現(xiàn)在給出三個條件：①；②；③．試從中選出兩個條件，補(bǔ)充在下面的問題中_____，_____，求的面積．（3）當(dāng)滿足時，求的取值范圍使得這樣的有且只有兩個（直接寫出結(jié)論）．21．（14分）對于正整數(shù)，，存在唯一一對整數(shù)和，使得，．特別地，當(dāng)時，稱能整除，記作，已知，2，3，，．（Ⅰ）存在，使得，試求，的值；（Ⅱ）求證：不存在這樣的函數(shù)，2，，使得對任意的整數(shù)，，若，2，，則；（Ⅲ）若，（B）（B）指集合中的元素的個數(shù)），且存在，，，，則稱為“和諧集”．求最大的，使含的集合的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由．

參考答案一、單選題（每小題4分，共40分）1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法原則和復(fù)數(shù)的幾何含義，即可求解．【解答】解：，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限．故選：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用向量共線、相等的意義即可判斷出正誤．【解答】解：①若且，則，因此①不正確；②若，則且，正確；③若與方向相同且，則，正確；④若，則與方向不一定相反，可能，因此④不正確．故選：．【點評】本題考查了兩向量共線、相等的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬基礎(chǔ)題．4．【分析】利用正弦定理求得，利用，進(jìn)而求得．【解答】解：由正弦定理知，，，，或．故選：．【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)題意得：，結(jié)合向量加法的四邊形法則及平面向量的基本定理可求【解答】解：根據(jù)題意得：，又，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題6．【分析】利用斜二測法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，由此能求出此三棱柱的表面積．【解答】解：斜二測法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，如圖，其中，，此三棱柱的表面積為．故選：．【點評】本題考查三棱柱的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．【分析】利用三角形中大角對大邊可得，再利用特殊值判斷可得結(jié)論．【解答】解：中，，利用大角對大邊，可得．不妨為鈍角，則是銳角，，，所以不成立．故選：．【點評】本題主要考查三角形中大角對大邊，特殊值判斷法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意，利用平面向量數(shù)量積和模長與夾角公式，求出即可．【解答】解：因為，，且，設(shè)向量，的夾角為，則，，所以，即，化簡得，解得或，又因為，所以，即向量，的夾角為．故選：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角和模長的計算問題，是基礎(chǔ)題．9．【分析】先建系寫出坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，再利用充要條件的定義判定即可．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，則，，設(shè)，則，①當(dāng)，時，滿足，但在正方形外部，②當(dāng)點在正方形及內(nèi)部時，則，，是點在正方形及內(nèi)部的必要不充分條件，故選：．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，充要條件的判定，屬于中檔題．10．【分析】由余弦定理可得（a）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得（a）的最小值為3，（a）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，且趨于6，由此可得實數(shù)的取值范圍．【解答】〇解：在中，，，記（a），而由余弦定理可得，即（a）的最小值為3．由于函數(shù)（a）（a）是常數(shù)）只有一個零點，故函數(shù)（a）的圖象與直線有唯一交點，由于函數(shù)（a）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，且趨于6，結(jié)合函數(shù)（a）的圖象可得，或，故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)題意求出球的半徑，再計算球的體積．【解答】解：如圖所示，依題意知，截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，所以球的半徑為，所以球的體積為．故答案為：．【點評】本題考查了球的體積計算問題，也考查了球面被平面所截的截面圓問題，是基礎(chǔ)題．12．【分析】令，則，根據(jù)即可求出其最大值．【解答】解：令，由，得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，表示圓上的點到點的距離，的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由，利用數(shù)量積的定義可得，可得是鈍角．再結(jié)合余弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的余弦公式即可判斷出．【解答】解：①，，，，是鈍角．為鈍角三角形，正確②由余弦定理可得，；正確③，，．正確綜上可得：正確說法的序號是①②③．故答案為：①②③．【點評】本題考查了數(shù)量積的定義、余弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，即可求出的面積，再根據(jù)，得到當(dāng)在邊上時四面體的體積最大，當(dāng)在邊的中點時四面體的體積最小，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得取值范圍．【解答】解：連接，因為平面，平面，所以，，由，，所以，所以在以為圓心2為半徑的圓面上，的面積是；由題意可知，所以當(dāng)在邊上時，四面體的體積的最大值是．所以當(dāng)在邊的中點時，的面積取得最小值，此時，所以四面體的體積的最小值是，所以．故答案為：，．【點評】本題主要考查空間幾何體體積的計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．15．【分析】利用平面向量基本定理及向量共線得到，再與已知對比求出，的值，即可得出答案．【解答】解：設(shè)，，，則，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了平面向量基本定理及向量共線的應(yīng)用，屬中檔題．三、解答題（第16-19、21題，每題14分，第20題15分，共85分.）16．【分析】（1）可求出的坐標(biāo)，然后即可求出的值；（2）可求出，而根據(jù)可得出，然后即可求出的值．【解答】解：（1）時，，，；（2），且，，解得．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】先利用倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用周期公式求出的值，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)的最大值和最小值；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）．因為，，所以．因為，，所以．所以函數(shù)的最大值為1，最小值為．（Ⅱ）令，，得，，所以，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點評】本題考查了三解函數(shù)式的化簡及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決這類問題的關(guān)鍵是把三角函數(shù)式利用三角公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式．18．【分析】（1）根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值；（2）把不等式化為，討論和、時，分別求出對應(yīng)不等式的解集．【解答】解：（1）由題意可知，方程的兩個不相等的實根分別為1和，于是有，解得；（2）原不等式等價于，即，①當(dāng)時，原不等式的解集為；②當(dāng)時，方程的兩根為和；當(dāng)時，不等式的解集為或；當(dāng)時，若，即，原不等式的解集為；若，即，原不等式的解集為；若，即，原不等式的解集為，綜上所得：當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為．【點評】本題考查了含有字母的不等式解法與應(yīng)用問題，是中檔題．19．【分析】（1）過點作于點，過點作，交的延長線于點，求的問題就可以轉(zhuǎn)化為求的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題．（2）中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出的長．【解答】解：（1）如圖，過點作于點，過點作，交的延長線于點在中，，，；在中，，，，在中，，，在中，，，，．（2），在中，，，，由題意可知，由（1）可知，所以，在中，，景點與景點之間的距離約為．【點評】本題主要考查解直角三角形的條件，已知直角三角形的一個銳角和一邊長，或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角．20．【分析】（1）用正弦定理求得，即可求出；（2）選條件①②：直接求出，得到，這與相矛盾，故這樣的不存在，舍去；選條件①③：由余弦定理解得：，判斷出為等腰三角形，求出，直接用面積公式求面積；選條件②③：由角判斷出為等腰三角形，直接用面積公式求面積．（3）利用正弦定理建立不等式，解出的取值范圍．【解答】解：（1）在中，對，用正弦定理得：，所以，即，因為，所以，所以．因為，所以；（2）選條件①②：在中，有，由可得：，所以，這與相矛盾，故這樣的不存在，舍去；選條件①③：在中，有，由余弦定理可得：，即，解得：，所以為等腰三角形，所以，所以；選條件②③：在中，有，由可得：，所以為等腰三角形，所以，所以．（3）如圖示，要使符合題意的有且只有兩個，只需以為圓心，以為半徑作弧與射線（不含有且僅有兩個交點，過作于，則，只需滿足，即，解得：，所以的取值范圍為．【點評】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）將2011除以91，便可求相應(yīng)的商與余數(shù)；（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的函數(shù)，若（1），，2，，（2），，2，，則（3）（1），（3）（2），令（3），，2，，這里，且，同理有，（4），且（4），從而引出矛盾；（Ⅲ）先證明，9，10，11，12時，不存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”．再證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以，．（2分）（Ⅱ）證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)，2，，使得對任意的整數(shù)，，若，2，，則．設(shè)（1），，2，，（2），，2，，由已知，由于，，所以（3）（1），（3）（2）．不妨令（3），，2，，這里，且，同理，（4），且（4），因為，2，只有三個元素，所以（4）．即（1）（4），但是，與已知矛盾．因此假設(shè)不成立，即不存在這樣的函數(shù)，2，，使得對任意的整數(shù)，，若，2，，則．（8分）（Ⅲ）當(dāng)時，記，2，，，，2，3，記，則，顯然對任意，不存在，使得成立．故是非“和諧集”，此時，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，．同樣的，當(dāng)，10，11，12時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”．因此．（10分）下面證明：含7的任意集