【教無憂】2024-2025學年高一數(shù)學同步講義（人教A版2019）3.1 函數(shù)的概念及其表示（十一大題型）

3.1函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：函數(shù)的概念 4題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域 6題型三：抽象函數(shù)求定義域 9題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍 10題型五：同一函數(shù)的判斷 12題型六：給出自變量求函數(shù)值 15題型七：求函數(shù)的值域 17題型八：求函數(shù)的解析式 21題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題 25題型十：區(qū)間的表示與定義 28題型十一：函數(shù)的圖象 29

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應關系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域①構成函數(shù)的三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）；②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識點二：函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系．優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢．列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點三：函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件．②當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義．③當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關鍵是注意對應法則．在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點四：函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結合法等．總之，求函數(shù)的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約．【典型例題】題型一：函數(shù)的概念【典例1-1】（2024·高一·全國·課前預習）已知集合，，給出下列四個對應關系，其中能構成從M到N的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對應關系若能構成從M到N的函數(shù)，則應滿足：對M中的任意一個數(shù)，通過對應關系在N中都有唯一的數(shù)與之對應.A選項中，當時，，故A不能構成函數(shù)；B選項中，當時，，故B不能構成函數(shù)；C選項中，當時，，故C不能構成函數(shù)；D選項中，當時，，當時，，當時，，故D能構成函數(shù).故選：D.【典例1-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）設f：是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合，那么集合A不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得或，所以集合可以為，或，或，故選：D【方法技巧與總結】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關鍵．【變式1-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知集合，下列對應關系能夠構成從到的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，當時，，對于任意，在中都存在唯一確定的元素與之對應，滿足函數(shù)定義，A正確；對于，當時，，當時，在中無元素與之對應，不滿足函數(shù)定義，B錯誤；對于，當時，，當時，在中無元素與之對應，不滿足函數(shù)定義，C錯誤；對于，當時，，當或時，在中無元素與之對應，不滿足函數(shù)定義，D錯誤．故選：A．【變式1-2】（2024·高一·廣東韶關·階段練習）設,如下選項是從M到N的四種應對方式,其中是M到N的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A,集合M中的3對應了集合N中的兩個數(shù),A錯誤;對于B,集合M中的2對應了集合N中的兩個數(shù),B錯誤;對于C,集合M中的每個數(shù)在集合N中都有唯一的數(shù)對應,C正確;對于D,集合M中的3對應了集合N中的兩個數(shù),D錯誤,故選:C.【變式1-3】（2024·高一·浙江·期中）中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．已知集，給出下列四個對應法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構成從到的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A選項，當時，，而，故A錯誤；B選項，當時，，而，故B錯誤；C選項，當時，，當時，，當時，，故滿足要求，C正確；D選項，當時，，而，D錯誤.故選：C題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域【典例2-1】（2024·高三·河北唐山·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A【典例2-2】（2024·高一·福建龍巖·階段練習）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)有意義，則，解得且，所以所求定義域為.故選：D【方法技巧與總結】小結幾類函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；（4）如果是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿足實際問題有意義．當函數(shù)解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．【變式2-1】（2024·高一·安徽淮北·期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)有意義，則，解得，所以原函數(shù)的定義域為.故選：A【變式2-2】（2024·高一·湖南邵陽·階段練習）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使函數(shù)解析式有意義，則，解得.故的定義域為.故選：D.【變式2-3】（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得：，所以，解得：,則的定義域為；故選：A【變式2-4】（2024·高一·北京·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，令，等價于，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故選：D【變式2-5】（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)定義域為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，解得，所以函數(shù)的定義域為，故選：C.題型三：抽象函數(shù)求定義域【典例3-1】（2024·高二·山東濱州·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，即，所以，即的定義域為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.【典例3-2】若的定義域是，則的定義域為．【答案】【解析】∵，∴，∴的定義域為．故答案為：.【方法技巧與總結】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運用整體思想，也就是在同一對應關系下括號內的范圍是一樣的．【變式3-1】（2024·高一·廣東梅州·開學考試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，則x>0，則，即的定義域為；故答案為：【變式3-2】（2024·高一·上?！るS堂練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：【變式3-3】（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】由函數(shù)的定義域為，則有，令，解得.故答案為：.【變式3-4】（2024·高一·上海·期末）函數(shù)的定義域為區(qū)間，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為區(qū)間，所以，令，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：【變式3-5】（2024·高一·江西贛州·階段練習）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由題意得函數(shù)fx的定義域是，令，所以，即，解得，由，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍【典例4-1】（2024·高一·廣東梅州·開學考試）已知函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以不等式對任意恒成立，當時，，對任意恒成立，符合題意；當時，，即，解得：，綜上，實數(shù)的取值范圍是;故選：D【典例4-2】（2024·高一·河南·期中）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若函數(shù)的定義域為R，則對任意恒成立．當時，不等式化為，恒成立；當時，需，解得．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．【方法技巧與總結】利用轉化與化歸思想．【變式4-1】（2024·高三·陜西漢中·階段練習）已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域為R，得，恒成立.當時，恒成立；當時，，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【變式4-2】（2024·高一·吉林白城·階段練習）函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A．(0，1) B．[1，＋∞) C．[0，1] D．(－∞，0]【答案】C【解析】①當時，，定義域定義域為R,滿足要求;②當，定義域若為R，則必有，所以，所以，所以;③當，中二次函數(shù)圖像開口向下，存在時，因此定義域若不為R，所以舍去.故選：C.題型五：同一函數(shù)的判斷【典例5-1】（2024·高一·安徽阜陽·階段練習）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯誤；對于B中，函數(shù)的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯誤；對于C中，函數(shù)的定義域為R，與的定義域為，所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯誤；對于D中，函數(shù)與的定義域均為R，可知兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.【典例5-2】（2024·高一·天津·期中）下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．與C．與 D．與【答案】B【解析】A選項，，所以不是同一函數(shù).B選項，，，所以是同一函數(shù).C選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).D選項，由解得或，所以的定義域是，由解得，所以的定義域是，所以不是同一函數(shù).故選：B【方法技巧與總結】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數(shù)關系的本質特征．只有當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；（2）對應法則不同，兩個函數(shù)也是不同的．（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應法則．【變式5-1】（2024·高一·山東濟寧·階段練習）在下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，（），與（x∈R）的定義域不同，對應關系也不同，不是同一函數(shù)；對于B，（x∈R），與（x∈對于C，（），與（x∈R）的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，（x∈R），與（x∈故選：D．【變式5-2】（2024·高一·山東聊城·階段練習）下列各組中的函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】選項A，，，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；選項B，，，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；選項C，，，兩個函數(shù)的定義域不同，對應關系也不同，不是同一函數(shù)；選項D，，，即，是同一函數(shù)，故選:D．【變式5-3】（2024·高一·四川內江·期中）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①，；②與③與；④，A．②③ B．①④ C．①② D．②③④【答案】A【解析】對于①，函數(shù)與的定義域均為，但是，則兩函數(shù)對應關系不同，故不是同一函數(shù)，不合題意；對于②，的定義域為，的定義域為，且，所以與是同一函數(shù)，符合題意；對于③，與的定義域均為，且兩函數(shù)對應關系相同，故它們是同一函數(shù)，符合題意；對于④，的定義域是；，解得或，所以的定義域是，兩函數(shù)定義域不同，所以不是同一函數(shù)，不合題意.故選：A題型六：給出自變量求函數(shù)值【典例6-1】（2024·高一·浙江寧波·開學考試）若函數(shù)，則【答案】【解析】當時，，得，故，則，故答案為：【典例6-2】（2024·高一·四川內江·開學考試）已知函數(shù)，計算．【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.【方法技巧與總結】求函數(shù)值時，遇到復合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f（g（x）），里層函數(shù)就是g（x），外層函數(shù)就是f（x），其對應關系可以理解為，類似的g（f（x））為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結果．【變式6-1】（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為R，，，均滿足．若，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故選：D.【變式6-2】（2024·高一·廣東廣州·期中）已知，，則，．【答案】1【解析】因為，所以；所以，所以，所以；故答案為：1；【變式6-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知函數(shù)(1)求的值．(2)求證：是定值．(3)求的值．【解析】（1）因為，所以；（2）證明：為定值；（3）由（2）可知，，，所以．題型七：求函數(shù)的值域【典例7-1】（2024·高一·河北·階段練習）時，的值域為.【答案】【解析】因為，令，則，則，，可知開口向上，對稱軸為，且，所以在內的值域為，即在內的值域為.故答案為：.【典例7-2】（2024·高一·湖北·階段練習）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為.【答案】【解析】函數(shù)的定義域滿足，得，，當，得0≤9-x2≤9，0≤所以，且，所以，所以，，所以.故答案為：【方法技巧與總結】求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．【變式7-1】（2024·高一·四川內江·階段練習）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】設，則，，所以，因為，在上單調遞減，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.【變式7-2】（2024·高一·江蘇連云港·階段練習）已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以.又因為，所以，解得.故答案為：.【變式7-3】（2024·高一·上?！るS堂練習）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)．【解析】（1）因為，，所以在上單調遞增，又，，∴函數(shù)，的值域為．（2）令，即，解得，所以的定義域為，又∵，∴，故，∴的值域為．（3）因為，又，所以，∴函數(shù)的值域為．【變式7-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)【解析】（1），顯然，所以，故函數(shù)的值域為：（2）設，則，且，所以，，結合函數(shù)的圖象可得原函數(shù)的值域為.【變式7-5】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因為，所以．故值域為．（2）因為，且，所以，所以，故函數(shù)的值域為．（3）令，則，且，所以（）．故函數(shù)的值域．（4），其中，，當時，．又因為，所以．故函數(shù)的值域為．（5）因為，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，即取得最小值8．故函數(shù)的值域為．題型八：求函數(shù)的解析式【典例8-1】（2024·高三·海南·開學考試）（1）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求的解析式.【解析】（1）設，則，，即，所以，所以．（2）因為是二次函數(shù)，所以設.由，得．由，得，整理得，所以，所以，所以．（3）用替換中的x，得，由，解得.【典例8-2】（2024·高一·海南海口·階段練習）已知，則，；【答案】/【解析】由題，顯然a>0且，因為，當且僅當時取等號，又，所以，由已知，所以，．故答案為：．【方法技巧與總結】（1）解析式類型已知的，如本例（1），一般用待定系數(shù)法，對于二次函數(shù)問題要注意對一般式，頂點式和兩點式的選擇．（2）已知求的問題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法．（3）函數(shù)方程問題，需建立關于的方程組，如本例（3），若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)、，則一般用代之，構造另一個方程．【變式8-1】（2024·高一·四川雅安·期中）已知函數(shù)，則．【答案】【解析】令，則，從而，即．故答案為：【變式8-2】（2024·高一·河南南陽·階段練習）已已知是一次函數(shù)，且，求.【答案】或【解析】設，則，，或，或．故答案為：或.【變式8-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則．【答案】【解析】由①，將用代替得②，由①②得.故答案為：.【變式8-4】（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對于任意的x都有，求．【解析】（1）方法一

（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二

（配湊法）：．因為，所以的解析式為．（2）設，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關于與的方程組，解得．【變式8-5】（2024·高一·廣東湛江·期中）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足.【解析】（1）令，則，可得，所以；（2）因為，可得，即，消去可得；（3）設，因為，即，整理得，所以，解得，所以.【變式8-6】（2024·高一·上?！ふn堂例題）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求的表達式；（2）已知，求的表達式；（3）已知，求的表達式．【解析】（1）設，∵，∴．又∵，∴．整理得．由恒等式的性質知上式中對應項系數(shù)相等，∴，解得∴所求函數(shù)的表達式為．（2）令，則．∴，∴所求函數(shù)的表達式為．（3）在原式中用替換，得，于是有，消去，得．∴所求函數(shù)的表達式為．題型九：分段函數(shù)求值、不等式問題【典例9-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）設函數(shù)，則；若，則的取值范圍是【答案】【解析】由題，若，則或，解得或，若，則的取值范圍是.故答案為：；【典例9-2】（2024·高一·全國·競賽）函數(shù)滿足：，且，則．【答案】【解析】，則，所以．故答案為：.【方法技巧與總結】分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（1）由實際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是根據(jù)實際問題需要分成幾類，就分成幾段，求解析式時，先分段分別求出它的解析式，在綜合在一起即可．（2）注意分段函數(shù)的解析式，最后要把各段綜合在一起寫成一個函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)．【變式9-1】（2024·高一·重慶永川·期中）已知函數(shù)，滿足的的值為.【答案】或【解析】因為函數(shù)，當時，，當時，，若，必有，則，解得，若，必有，則，解得或.故答案為：或【變式9-2】（2024·高一·天津和平·期中）已知函數(shù)，若，則.【答案】【解析】當，即時，則由可得，，無解；當，且，即時，由可得，，所以，整理可得，，解得（舍去）或；當，即時，由可得，，無解.綜上所述，.所以，.故答案為：.【變式9-3】（2024·高二·重慶·期末）設函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】當，即時，則，解得；當，即時，則，即，解得；當時，恒成立；綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.題型十：區(qū)間的表示與定義【典例10-1】（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)且.【解析】（1）由題意，（2）由題意，且且【典例10-2】（2024·高一·全國·課堂例題）用區(qū)間表示下列集合：①；②；③.【答案】【解析】，，.【方法技巧與總結】【變式10-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】由，得．即.故答案為：．【變式10-2】用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)．【解析】（1）由題意可知：.（2）因為對任意恒成立，所以.【變式10-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.【解析】（1）（2）（3）（4）或【變式10-4】（2024·高一·全國·專題練習）用區(qū)間表示下列數(shù)集：(1)；(2)；(3)；(4)R；(5)；(6)或.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或.題型十一：函數(shù)的圖象【典例11-1】（2024·高三·北京·專題練習）下列四個圖形中，不是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，B，C選項中的圖象，每一個的取值均有唯一的一個值與其對應，符合函數(shù)定義，則A，B，C中圖象均為函數(shù)圖象；對于D選項，每一個x∈0,2的取值，都有兩個則D中圖象不是函數(shù)圖象．故選：D 【典例11-2】（2024·高一·陜西寶雞·