2019-2021北京重點(diǎn)校高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：函數(shù)模型的應(yīng)用

1/12019-2021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編函數(shù)模型的應(yīng)用一、單選題1．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售時(shí)，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件，如果要使每天所賺的利潤(rùn)最大，那么他應(yīng)將銷售價(jià)每件定為（

）A．11元 B．12元 C．13元 D．14元2．（2020·北京·清華附中高一期中）玉溪某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件3．（2020·北京四中高一期中）向一杯子中勻速注水時(shí)，杯中水面高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h＝f(t)的圖象如圖所示，則杯子的形狀是()A． B． C．D．4．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）因市場(chǎng)戰(zhàn)略儲(chǔ)備的需要，某公司月日起，每月日購買了相同金額的某種物資，連續(xù)購買了次.由于市場(chǎng)變化，月日該公司不得不將此物資全部賣出.已知該物資的購買和賣出都是以份為計(jì)價(jià)單位進(jìn)行交易，且該公司在買賣的過程中沒有虧本，那么下面?zhèn)€折線圖中，所有可以反映這種物資每份價(jià)格（單位：萬元）的變化情況的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③5．（2019·北京市第十三中學(xué)高一期中）我國(guó)為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理,除了應(yīng)征稅收外,還征收附加稅,已知某種酒每瓶售價(jià)為70元,不收附加稅時(shí),每年大約銷售100萬瓶;若每銷售100元國(guó)家要征附加稅元(叫做稅率),則每年銷售量將減少萬瓶,如果要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額不少于112萬元,則的最小值為A． B． C． D．二、填空題6．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知在十一食堂，一碗面的成本為5元，售價(jià)為元，每天可以賣出碗，經(jīng)過長(zhǎng)期研究發(fā)現(xiàn)，二者之間存在函數(shù)關(guān)系，若要在食堂賣面的利潤(rùn)最高，則一碗面的售價(jià)應(yīng)該定為________.7．（2021·清華附中高一期中）小明用記錄2020年4月份30天中每天乘坐公交車是否半小時(shí)內(nèi)到家，方法為：當(dāng)?shù)谔彀胄r(shí)內(nèi)到家時(shí)，記，當(dāng)?shù)谔觳荒馨胄r(shí)內(nèi)到家時(shí)，記；用記錄某交通軟件預(yù)測(cè)該月每天乘坐公交車是否半小時(shí)內(nèi)到家，方法為：當(dāng)預(yù)測(cè)第天半小時(shí)內(nèi)到家時(shí)，記，當(dāng)預(yù)測(cè)第天不能半小時(shí)內(nèi)到家時(shí)，記；記錄完畢后，小明計(jì)算出，其中，那么該交通軟件預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的總天數(shù)是______．8．（2020·北京·101中學(xué)高一期中）某餐廳經(jīng)營(yíng)盒飯生意，每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每盒盒飯的成本為15元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表：?jiǎn)蝺r(jià)/元16171819202122日銷售量/盒480440400360320280240根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當(dāng)這個(gè)餐廳利潤(rùn)（利潤(rùn)=總收入-總成本）最大時(shí)，每盒盒飯定價(jià)為________元．三、解答題9．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)13元（即實(shí)際行駛里程不超過3公里，按13元收費(fèi)）.此時(shí)計(jì)費(fèi)里程與實(shí)際行駛里程相等，且規(guī)定計(jì)費(fèi)里程不為零.實(shí)際行駛里程超過3公里后，超過3公里的部分，按每公里2.3元收費(fèi)，其中不足1公里的部分按照1公里計(jì)算，此時(shí)計(jì)費(fèi)里程為實(shí)際里程向上取整，例如，實(shí)際行駛里程4.6公里，則計(jì)費(fèi)里程為5公里，設(shè)出租車收費(fèi)總價(jià)為y（單位：元）實(shí)際行駛里程（單位：公里），計(jì)費(fèi)里程為（單位：公里）.(1)建立出租車收費(fèi)總價(jià)與計(jì)費(fèi)里程的函數(shù)關(guān)系式；(2)若出租車實(shí)際行駛里程為6公里，則乘客需要付多少錢？(3)若乘客實(shí)際付費(fèi)超過20元但不超過40元，求的取值范圍.10．（2021·北京八十中高一期中）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過12的部分3元/超過12但不超過18的部分6元/超過18的部分9元/(1)求出每月用水量和水費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)若某戶居民某月交納的水費(fèi)為54元，則此月此戶居民的用水量為多少？11．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）在對(duì)口扶貧活動(dòng)中，甲將自己經(jīng)營(yíng)某種消費(fèi)品的一個(gè)小店以優(yōu)惠價(jià)2萬元轉(zhuǎn)讓給身體有殘疾的乙經(jīng)營(yíng)，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證乙的每月最低生活開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息）.在甲提供的資料中，有：①這種消費(fèi)品進(jìn)價(jià)每件14元；②該店月銷量（百件）與銷售價(jià)格（元）的關(guān)系如圖；③每月需要各種開支2000元.（Ⅰ）為使該店至少能夠維持乙的生活，商品價(jià)格應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（Ⅱ）當(dāng)商品價(jià)格每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除最低生活費(fèi)的余額最大，并求最大余額.（Ⅲ）若乙只依靠該店，能否在3年內(nèi)脫貧（償還完轉(zhuǎn)讓費(fèi)）？12．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）經(jīng)檢測(cè)，餐后4小時(shí)內(nèi)，正常人身體內(nèi)某微量元素在血液中的濃度與時(shí)間滿足關(guān)系式：，服用藥物后，藥物中所含該微量元素在血液中的濃度與時(shí)間滿足關(guān)系式：.現(xiàn)假定某患者餐后立刻服用藥物，且血液中微量元素總濃度等于與的和.（1）求4小時(shí)內(nèi)血液中微量元素總濃度的最高值；（2）若餐后4小時(shí)內(nèi)血液中微量元素總濃度不低于4的累積時(shí)長(zhǎng)不低于兩小時(shí)，則認(rèn)定該藥物治療有效，否則調(diào)整治療方案.請(qǐng)你判斷是否需要調(diào)整治療方案.13．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由．14．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？四、雙空題15．（2021·北京八中高一期中）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似的表示.已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為___________噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)是___________萬元.16．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式，在A模式下元件溫度保持不變；從A模式切換到B模式后，在B模式下，元件溫度（單位）與通電累積時(shí)間（即從通電時(shí)刻開始累積計(jì)時(shí)，單位）的乘積保持不變；從B模式再切換到A模式后，原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電，初始溫度為，已知在這四個(gè)時(shí)刻下的元件溫度如表所示，而在時(shí)間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息推斷：___________；___________.通電累積時(shí)間（單位）13612元件溫度（單位℃）3020151017．（2019·北京·清華附中高一期中）某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為CaQ23000,其中a為常數(shù),且當(dāng)年產(chǎn)量為200時(shí)，總成本為15000.記該產(chǎn)品的平均成本為f(Q)（平均成本=），則當(dāng)Q________.,f(Q)取得最小值，這個(gè)最小值為________.18．（2019·北京師大附中高一期中）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．

參考答案1．D【解析】列出利潤(rùn)關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)即可求解【詳解】解：設(shè)售價(jià)為元，則提高價(jià)格為元，少買商品數(shù)為，實(shí)際單品利潤(rùn)為元，實(shí)際賣出，實(shí)際利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值.故選：D2．B【解析】確定生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和，可得平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【詳解】解：根據(jù)題意，該生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和是這樣平均每件的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和為（為正整數(shù)）由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，時(shí)，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)該注意取等號(hào)的條件，才能準(zhǔn)確給出答案，屬于基礎(chǔ)題．3．A【解析】由圖可知，高度的增長(zhǎng)速率是先慢后快，且都是運(yùn)算增長(zhǎng)，所以只有A滿足．故選A．4．B【解析】設(shè)公司每月日用于購買某種物資的金額為萬元，分別求出三種圖形下月日該公司將此物資全部賣出所得金額，與進(jìn)行大小比較得出答案.【詳解】設(shè)公司每月日用于購買某種物資的金額為萬元.圖①中四次購買的物資為，月日一次賣出物資得到，公司盈利，故①正確；圖②中四次購買的物資為，月日一次賣出物資得到，公司虧損，故②錯(cuò)誤；圖③中四次購買的物資為，月日一次賣出物資得到，公司盈利，故③正確.故選：B.5．A【解析】，的最小值為，選A.6．##【解析】設(shè)食堂賣面的利潤(rùn)為S，有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】解：設(shè)食堂賣面的利潤(rùn)為S，則，當(dāng)時(shí)，S取得最大值，故答案為：.7．26【解析】由題意可得，若，則表示第天預(yù)報(bào)正確，若，則表示第天預(yù)報(bào)不正確，假設(shè)其中有天預(yù)報(bào)正確，則有天預(yù)報(bào)不正確，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解．【詳解】解：依題意，若，則表示第天預(yù)報(bào)正確，若，則表示第天預(yù)報(bào)不正確，由，假設(shè)其中有天預(yù)報(bào)正確，則等式左邊有個(gè)1，個(gè)，則，解得．該交通軟件預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的總天數(shù)是26．故答案為：26．8．21.5．【解析】由表格中的信息可知，銷售單價(jià)為16元時(shí)，銷售量為480盒，銷售單價(jià)每增加1元時(shí)，銷售量則減少40個(gè)，設(shè)每盒盒飯定價(jià)為元，則銷售量為，再根據(jù)利潤(rùn)=總收入-總成本，即可求出利潤(rùn)關(guān)于銷售單價(jià)的函數(shù)，則二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案【詳解】解：由表格中的信息可知，銷售單價(jià)為16元時(shí)，銷售量為480盒，銷售單價(jià)每增加1元時(shí)，銷售量則減少40個(gè)，設(shè)每盒盒飯定價(jià)為元，利潤(rùn)為元，則由題意得所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1690，即每盒盒飯定價(jià)為元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大為1690元，故答案為：9．(1)(2)19.9(3)【解析】（1）分和，分別求得函數(shù)的解析式可得答案；（2）代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中可得答案；（3）由已知得，求解可得答案.(1)解：由題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.(2)解：當(dāng)時(shí)，所以.故乘客需要付19.9元.(3)解：當(dāng)乘客實(shí)際付費(fèi)超過20元但不超過40元，即，又，所以，所以.所以的取值范圍為.10．(1)(2)15【解析】（1）先分別求出每一段的函數(shù)解析式，再寫成分段函數(shù)的形式即可；（2）由（1）分，，三種情況討論即可的解．(1)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的函數(shù)解析式為：；(2)解：當(dāng)時(shí)，，解得舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得舍去，綜上所述，若某戶居民某月交納的水費(fèi)為54元，則此月此戶居民的用水量為15.11．（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)商品價(jià)格每件元時(shí)，月利潤(rùn)扣除最低生活費(fèi)的余額最大，且最大余額為元；（Ⅲ）不能.【解析】根據(jù)題中條件，先確定月銷量（百件）與銷售價(jià)格（元）的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)每月的利潤(rùn)余額為，得出與之間函數(shù)關(guān)系式；（Ⅰ）令，求解對(duì)應(yīng)不等式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)與之間函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最大值，以及取最大值時(shí)的值，即可確定結(jié)果；（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，計(jì)算三年的利潤(rùn)余額的最大值，即可判斷出結(jié)果.【詳解】由該店月銷量（百件）與銷售價(jià)格（元）的關(guān)系圖可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)每月的利潤(rùn)余額為，由題意，，（Ⅰ）為使該店至少能夠維持乙的生活，則；當(dāng)時(shí)，由得，整理得，解得，則；當(dāng)時(shí)，由得，整理得，解得，則，綜上，，即為使該店至少能夠維持乙的生活，商品價(jià)格應(yīng)控制在內(nèi)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)（元）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)（元）時(shí)，；因?yàn)椋援?dāng)商品價(jià)格每件元時(shí)，月利潤(rùn)扣除最低生活費(fèi)的余額最大，且最大余額為元；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，月利潤(rùn)余額最大為元，則三年利潤(rùn)余額的總和最大為，故不能在3年內(nèi)脫貧.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解函數(shù)模型問題時(shí)，通常需要根據(jù)題中所給條件，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型（有時(shí)題中會(huì)給定函數(shù)模型），再利用函數(shù)基本性質(zhì)，即可求解.12．（1）；（2）不需要調(diào)整治療方案【解析】（1）由題意得，求出每段的最大值后再比較即可求出答案；（2）分段討論求出的范圍即可得出答案．【詳解】解：（1）由題微量元素在血液內(nèi)的總濃度與時(shí)間的關(guān)系為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取得最大值；因?yàn)?，故微元素總濃度最大值為；?）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；注射藥物后兩小時(shí)內(nèi)血液中微量元素總濃度不低于4，所以不需要調(diào)整治療方案．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（1）炮的最大射程是10千米．（2）當(dāng)不超過6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)．【解析】試題分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）與x軸的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解．（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解試題解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10千米．（2）因?yàn)閍＞0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判別式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0?a≤6.所以當(dāng)a不超過6（千米）時(shí)，可擊中目標(biāo)．考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用14．(1)，(2)投資債券類產(chǎn)品萬元，股票類投資為萬元，收益最大為萬元【解析】（1）設(shè)函數(shù)解析式，，代入即可求出的值，即可得函數(shù)解析式；（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，則，代入解析式，換元求最值即可.(1)依題意：可設(shè)，，∵，，∴，.(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，依題意得：，即，令，則，，則，，所以當(dāng)，即萬元時(shí)，收益最大，萬元.15．

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1660【解析】利用收入減去總成本表示出年利潤(rùn)，通過配方求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，因開口向下，對(duì)稱軸處取得最大值.【詳解】解:設(shè)可獲得的總利