八數(shù)列的極限培訓(xùn)教材

第2章極限與連續(xù)2在微積分中,微積分中其他的一些重要概念如微分、積分、級數(shù)等等都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上的.因此,有關(guān)極限的概念、理論與方法,自然成為微積分學(xué)的理論基石,本章將討論數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義、性質(zhì)及基本計算方法,并在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)的連續(xù)性.極限是一個重要的概念,3數(shù)列的概念收斂數(shù)列的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)數(shù)列極限的概念極限概念的引入2.1數(shù)列的極限第2章極限與連續(xù)5劉徽(公元3世紀(jì))利用圓內(nèi)接正多邊形來推意思是:設(shè)給定半徑為1尺的圓,從圓內(nèi)接正6邊形開始,每次把邊數(shù)加倍,屢次用勾股定理.求出正12邊形、……等等正多邊形的正24邊形.邊數(shù)越多,圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,最后與圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了.

“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”算圓面積的方法---就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.割圓術(shù),邊長,2.1數(shù)列的極限6正六邊形的面積正十二邊形的面積正邊形的面積An2.1數(shù)列的極限7如按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)簡記為通項(generalterm),或者一般項.二、數(shù)列(sequenceofnumber)

的概念或記為其中xn稱為數(shù)列{xn}的2.1數(shù)列的極限8可看作一動點在數(shù)軸上依次取數(shù)列的幾何表示法:數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù):整標(biāo)函數(shù)或下標(biāo)函數(shù)

數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.2.1數(shù)列的極限9三、數(shù)列極限的概念即問題當(dāng)n無限增大時,如果是,當(dāng)n無限增大時,xn無限接近于1.如何確定?定性的描述xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?2.1數(shù)列的極限10

如何用精確的、定量化的數(shù)學(xué)語言刻畫它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.當(dāng)n無限增大時,xn無限接近于1.定量的描述2.1數(shù)列的極限11

用希臘字母來刻畫xn與1的接近程度.2.1數(shù)列的極限12定義2.1如果對于任意給定的正數(shù)總存在正整數(shù)N,

使得對于時的一切不等式成立.或稱數(shù)列{xn}收斂于a(convergetoa).記為或那末就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限(limit),如果數(shù)列{xn}沒有極限,就說數(shù)列{xn}發(fā)散(diverge).么小),(不論它多2.1數(shù)列的極限13注{xn}有沒有極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;主要看“后面”的無窮多項.定義

采用邏輯符號將的定義可縮寫為:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限項不起作用,2.1數(shù)列的極限2.1數(shù)列的極限14數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的定義通常是用來進(jìn)行推理注預(yù)先知道極限值是多少.和證明極限,因為這里需要即而不是用來求極限,只有有限個(至多只有N個)落在其外.定義15例所以,證

解不等式定義2.1數(shù)列的極限16例證為了使只需使定義2.1數(shù)列的極限17證所以,

常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).成立,

例定義對于一切自然數(shù)n,2.1數(shù)列的極限18例證明數(shù)列證要使由于有

為了簡化解不等式的運算,常常把作適當(dāng)?shù)胤糯?以0為極限.用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.定義2.1數(shù)列的極限19證驗證由練習(xí)定義2.1數(shù)列的極限2.1數(shù)列的極限201.唯一性定理2.1證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.每個收斂的數(shù)列只有一個極限.使得(否則得這不可能)所以a–b=0四、收斂數(shù)列的性質(zhì)212.有界性若存在正數(shù)M,否則,稱為使得一切自然數(shù)n,數(shù)列{xn}是有界數(shù)列,全落在區(qū)間在幾何上即為存在使得點對數(shù)列{xn},則稱數(shù)列{xn}有界;2.1數(shù)列的極限無界.22有界.例判定以下數(shù)列的有界性.解(1)因為故{xn}(2)因為有界.故{xn}(3)對任給正數(shù)M,只要便有這說明不可能找到使對每個都成立,即{xn}無上界,從而無界.對數(shù)列{xn},若存在正數(shù)M,無界.使得一切自然數(shù)n,

則稱數(shù)列{xn}有界;2.1數(shù)列的極限否則,稱為2.1數(shù)列的極限23定理2.2證由定義,有界性是數(shù)列收斂的必要條件,推論注收斂的數(shù)列必定有界.無界數(shù)列必定發(fā)散.但不是充分條件.則對一切自然數(shù)n,此定理及其推論的逆命題不成立.即有界數(shù)列不一定收斂,發(fā)散數(shù)列不一定無界.(后面將給出例子).故{xn}有界.定義243.保號性定理2.3如果且證由定義,對有

從而定理2.3表明:若數(shù)列的極限為正(或負(fù)),則該數(shù)列從某項開始以后所有項也為正(或負(fù)).定義2.1數(shù)列的極限253.保號性定理2.3如果且推論2.1如果數(shù)列{xn}從某項起有且那么用反證法證設(shè)數(shù)列{xn}從第N1項起,則由定理3知,按假定有按定理3有這引起所以必有矛盾.2.1數(shù)列的極限26在數(shù)列{xn}中依次任意抽出無窮多項:所構(gòu)成的新數(shù)列這里是原數(shù)列中的第項,在子數(shù)列中是第k項.子數(shù)列.叫做數(shù)列{xn}的4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系2.1數(shù)列的極限27定理2.4數(shù)列收斂的充要條件為其任一子列由此定理可知,但若已知一個子列發(fā)散,或有兩個子列收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.能斷定原數(shù)列的收斂性;數(shù)列的子列收斂于1,而子列收斂于因此數(shù)列是發(fā)散的.該例說明了一個發(fā)散的數(shù)列可能有收斂子列,同時也說明有界數(shù)列不一定收斂.例如僅從某一個子列的收斂一般不2.1數(shù)列的極限均收斂.28斂于a.還可以證明:數(shù)列{xn}的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)a時,則數(shù)列{xn}也收試證數(shù)列證因為不收斂.收斂于而偶子數(shù)列所以數(shù)列

收斂于的奇子數(shù)列不收斂.例2.1數(shù)列的極限29數(shù)列數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)研究其變化規(guī)律;極限思想,精確定義,幾何意義;有界性,唯一性,保號性,2.1