遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度（上）沈陽市五校協(xié)作體期末考試高一年級數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘分數(shù)：150分試卷說明：試卷共兩部分：第一部分：選擇題型（1-11題58分）第二部分：非選擇題型（12-19題92分）第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】由，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知向量，若，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)，以及向量的坐標運算法則，即可求解．【詳解】，則，解得，故，．故選：A．3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值法進行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)，因，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除AB；而當時，有，所以，排除C，故選：D4.已知數(shù)據(jù)，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)以及方差的定義即可排除BCD，舉反例即可求解A.【詳解】由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，去掉，后，數(shù)據(jù)波動性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.故選：A5.如圖，矩形中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解法一：由平面向量的加、減、數(shù)乘運算，以及平面向量基本定理，可表示，解法二：以為原點，分別為軸的正方向建系，由，結(jié)合坐標運算，求得，可表示．【詳解】解法一：依題意①，②，③，由②③式解得，，代入①式得．解法二：以為原點，分別為軸的正方向建立平面直角坐標系，設(shè)，則，由，有，有，解得，得．故選：A．6.設(shè)，若（，），則的值為（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可求，從而可求的值.【詳解】，而，故，即，故選：B.7.已知正實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式建立不等式，從而解出的最大值.【詳解】∵∴，∴，即，當且僅當時取等號，故選：B8.已知函數(shù)是定義域為的函數(shù)，，對任意、，均有，已知、為關(guān)于的方程的兩個解，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由韋達定理可得出，可得出，且，分析函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】因為、為關(guān)于的方程的兩個解，則，解得，由韋達定理可得，因為函數(shù)是定義域為的函數(shù)，，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則且，因為對任意、，均有，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，從而可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，解得，所以，，因此，關(guān)于的不等式的解集為.故選：D.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的對稱性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)對稱性的區(qū)別.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9.若，則下列說法正確的是（）A. B.事件與不互斥C.事件與相互獨立 D.事件與不一定相互獨立【答案】BC【解析】【分析】利用對立事件概率和為可判斷錯誤；根據(jù)互斥事件不可能同時發(fā)生，可判斷正確；根據(jù)相互獨立事件的定義和性質(zhì)，可以判斷正確，錯誤.【詳解】故錯誤；又所以事件與不互斥，故正確；則事件與相互獨立，故正確；因為事件與相互獨立，所以事件與一定相互獨立，故錯誤.故選：10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則B.函數(shù)且的圖象必過定點C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D.若冪函數(shù)，則對任意、，都有【答案】BCD【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義可判斷A選項；利用可判斷B選項；利用復(fù)合函數(shù)法可判斷C選項；利用作差法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得，解得，則，A錯；對于B選項，因為，所以，函數(shù)且的圖象必過定點，B對；對于C選項，因為內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對；對于D選項，冪函數(shù)，對任意的，則，則對任意、，，，所以，，所以，，可得，所以，，D對.故選：BCD.11.已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根，若，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最大值為【答案】AC【解析】【分析】對于A和B，根據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖像，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為與的交點即可，通過觀察圖象直接判斷；對于C和D，可以借助二次函數(shù)的對稱性，得到運用將未知數(shù)減少，轉(zhuǎn)化為函數(shù)后用基本不等式可求出的范圍即可解決.【詳解】在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖.關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根,等價于與有四個不同交點,則，顯然正確.令，則或，所以或，所以，當時最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.運用二次函數(shù)對稱性，可知，當且僅當時取等號，故C正確.根據(jù)圖象，則無最大值，故D不正確.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱.【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)得到函數(shù)對稱中心，再由函數(shù)的平移變換的關(guān)系求出函數(shù)的對稱中心.【詳解】由題意可知函數(shù)關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)由函數(shù)向左平移1個單位得到，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，函數(shù)由向上平移1個單位得到，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，故答案為：.13.如圖，△中，延長到，使，當點在線段上移動時，若，則的最大值是_______.【答案】3【解析】【詳解】試題分析：設(shè)==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1時t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值為3．考點：平面向量的基本定理及其意義．14.已知是定義域為的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造，得到在單調(diào)遞增，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，可得，聯(lián)立方程組，解得，又因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，(i)若，則對稱軸，解得；(ii)若，在單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若，則對稱軸恒成立；綜上可得，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題15.隨著國家將低空經(jīng)濟納入戰(zhàn)略新興發(fā)展規(guī)劃，無人機行業(yè)迎來前所未有的發(fā)展機遇．某無人機廠家為了解所生產(chǎn)的某類型無人機的飛行時長，隨機抽取100架該類型無人機進行測試，統(tǒng)計得到如下頻率分布表：飛行時長（分鐘）頻率0.10.20.350.250.1（1）估計該類型無人機飛行時長的平均數(shù)及第60百分位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，最終結(jié)果保留整數(shù)）；（2）記飛行時長大于等于第60百分位數(shù)的為優(yōu)良品，大于等于10且小于第60百分位數(shù)的為合格品．從該廠家生產(chǎn)的該類型無人機中按照是否為優(yōu)良品并用分層抽樣的方法抽取5架，再從這5架無人機中隨機抽取2架，求至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率．【答案】（1）平均數(shù)為36，第60百分位數(shù)約為39分鐘．（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出飛行時長的平均數(shù)，利用第60百分位數(shù)定義求出第60百分位數(shù).（2）利用分層抽樣求出5架無人機中優(yōu)良品的數(shù)量，再借助組合計數(shù)問題求出古典概率.【小問1詳解】該類型無人機飛行時長的平均數(shù)為；飛行時長在區(qū)間的頻率為0.3，在的頻率為0.65，則該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)，由，解得，所以該類型無人機飛行時長的第60百分位數(shù)約為39分鐘.【小問2詳解】依題意，合格品與優(yōu)良品比例為，即為，則抽取的5架無人機中，合格品有3架，優(yōu)良品有2架，所以從這5架無人機中隨機抽取2架，至少有一架無人機為優(yōu)良品的概率.16.如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意根據(jù)向量的線性運算法則得到，，再根據(jù)三點共線，求得即可求解.（2）根據(jù)題意得到，，結(jié)合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為是線段的中點，所以，又因為，設(shè)，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以．【小問2詳解】因為，，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．17.為了增添學(xué)習(xí)生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．（1）求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；（2）求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對總次數(shù)分三種情況討論，結(jié)合相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）分甲贏得比賽與乙贏得比賽兩類討論，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，所以；若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，所以；記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；【小問2詳解】若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，則；④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，則；綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是分析得甲恰好投了2次籃的所有情況，從而結(jié)合獨立事件的概率公式即可得解.18.已知函數(shù)，.（1）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件化簡方程為，令得到關(guān)于的二次函數(shù)，由函數(shù)定義域求函數(shù)值域即可.（2）將函數(shù)解析式代入不等式，通過換元并由單調(diào)性求出參數(shù)范圍，用分離常數(shù)得到不等式，討論函數(shù)的單調(diào)性通過定義域求得最大值，從而求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】∵，由，∴在有解，令，所以，當時；當趨向于0或時趨向于1，即.小問2詳解】，即，令，則，因為，為增函數(shù)，所以，所以化為對任意的恒成立，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍為.19.定義一種新的運算“”：，都有.（1）對于任意實數(shù)，試判斷與的大小關(guān)系；（2）若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的范圍.【答案】（1）；（2）或；（3）且.【解析】【分析】（1）由題設(shè)計算與，即可判斷；（2）先化簡不等式得，再結(jié)合題設(shè)以及一元二次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組計算求解即可；（3）先化簡兩函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化成值域間的關(guān)系求值域即可求解.【小問1詳解】∵，∴，故，∴.【小問2詳解】∵，∴原不等式可化為：，即，為滿足題意，必有，即或①，令，由于，結(jié)合①可得：，∴的一個零點在