2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章排列組合與二項(xiàng)式定理章末綜合提升教案新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE7-排列、組合與二項(xiàng)式定理[鞏固層·學(xué)問整合][提升層·題型探究]兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓的個(gè)數(shù)是________．(2)某電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告、兩個(gè)不同的宣揚(yáng)廣告、一個(gè)公益廣告，要求最終播放的不能是商業(yè)廣告，且宣揚(yáng)廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個(gè)宣揚(yáng)廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？(1)20[以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分五類：第一類：m＝1時(shí)，使n>m，n有6種選擇；其次類：m＝2時(shí)，使n>m，n有5種選擇；第三類：n＝3時(shí)，使n>m，n有4種選擇；第四類：n＝4時(shí)，使n>m，n有3種選擇；第五類：n＝5時(shí)，使n>m，n有2種選擇；所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20種方法．](2)[解]用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放依次，則完成這件事有三類方法．第一類：宣揚(yáng)廣告與公益廣告的播放依次是2,4,6.分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式；其次類：宣揚(yáng)廣告與公益廣告的播放依次是1,4,6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第三類：宣揚(yáng)廣告與公益廣告的播放依次是1,3,6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．由分類加法計(jì)數(shù)原理得：6個(gè)廣告不同的播放方式有36＋36＋36＝108種．(變條件)若本例(1)的條件“焦點(diǎn)在y軸上”改為“焦點(diǎn)在x軸上”，試求滿意條件的橢圓的個(gè)數(shù)．[解]因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，則m>n>0，以m的取值進(jìn)行分類．當(dāng)m＝1時(shí)，n值不存在；當(dāng)m＝2時(shí)，n可取1，只有1種選擇；當(dāng)m＝3時(shí)，n可取1,2，有2種選擇；當(dāng)m＝4時(shí)，n可取1,2,3，有3種選擇；當(dāng)m＝5時(shí)，n可取1,2,3,4，有4種選擇；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個(gè)．應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題時(shí)主要考慮三方面的問題：1要做什么事；2如何去做這件事；3怎樣才算把這件事完成了.并留意計(jì)數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．有六名同學(xué)報(bào)名參與三個(gè)智力競賽項(xiàng)目，在下列狀況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不肯定六名同學(xué)都參與)(1)每人恰好參與一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參與的項(xiàng)目不限．[解](1)每人都可以從這三個(gè)競賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36＝729(種)．(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，其次個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4＝120(種)．(3)由于每人參與的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63＝216(種).排列、組合的應(yīng)用【例2】(1)5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參與團(tuán)體競賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．(用數(shù)字作答)(2)在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目．①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目支配依次？②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少支配1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目支配依次？③若已定好節(jié)目單，后來狀況有變，需加上詩朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能變更原來節(jié)目的相對(duì)依次，有多少種不同的節(jié)目演出依次？(1)48[①只有1名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種．②有2名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種．所以共有36＋12＝48種．](2)[解]①第一步，先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法；其次步，再松綁，給4個(gè)節(jié)目排序，有Aeq\o\al(4,4)＝24種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5040×24＝120960種．②第一步，將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有Aeq\o\al(6,6)＝720種方法．×□×□×□×□×□×□×其次步，再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來排，一共有Aeq\o\al(4,7)＝840種．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720×840＝604800種．③若全部節(jié)目沒有依次要求，全部排列，則有Aeq\o\al(12,12)種排法，但原來的節(jié)目已定好依次，須要消退，所以節(jié)目演出的方式有eq\f(A\o\al(12,12),A\o\al(10,10))＝Aeq\o\al(2,12)＝132種排法．1．處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟(1)仔細(xì)審題，弄清晰是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題．(2)抓住問題的本質(zhì)特征，精確合理地利用兩個(gè)基本原理進(jìn)行“分類與分步”．2．處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律(1)兩種思路：干脆法，間接法．(2)兩種途徑：元素分析法，位置分析法．3．排列組合應(yīng)用題的常見類型和解決方法(1)特別元素、特別位置優(yōu)先支配的策略．(2)合理分類與精確分步的策略．(3)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略．(4)相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法的策略．(5)元素定序，先排后除的策略．(6)排列、組合混合題先選后排策略．(7)困難問題構(gòu)造模型策略．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某次國際合作論壇，為了愛護(hù)各國國家元首的平安，某部門將5個(gè)安保小組全部支配到指定的三個(gè)區(qū)域內(nèi)工作，且每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組，則這樣的支配方法共有________種．(用數(shù)字作答)150[由題意可知，應(yīng)將5個(gè)安保小組分成三組，共有兩種方法，即分為1,1,3或2,2,1.若分為1,1,3，不同的支配方法共有N1＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝60種；若分為2,2,1，不同的支配方法共有N2＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90種；即共有N1＋N2＝60＋90＝150種不同的支配方法．]二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用【例3】已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(n)綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若綻開式中常數(shù)項(xiàng)為eq\f(35,8)，求m的值；(3)若(x＋m)n綻開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值狀況．[解](1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8.(2)設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第r＋1項(xiàng)，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,8)mrx8－2r，故8－2r＝0，即r＝4，則Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)mr≥C\o\al(r－1,8)mr－1,C\o\al(r,8)mr≥C\o\al(r＋1,8)mr＋1))，化簡可得eq\f(8m－1,m＋1)≤r≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＜\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)＜7.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＜m≤2，,2≤m＜\f(7,2).))所以m只能等于2.1．解決與二項(xiàng)綻開式的項(xiàng)有關(guān)的問題時(shí)，通常利用通項(xiàng)公式．2．解決二項(xiàng)綻開式項(xiàng)的系數(shù)(或和)問題常用賦值法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))eq\s\up12(5)的綻開式的常數(shù)項(xiàng)是()A．－3 B．－2C．2 D．3(2)233除以9的余數(shù)是()A．8 B．4C．2 D．1(1)D(2)A[(1)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))eq\s\up12(5)綻開式的通項(xiàng)為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))eq\s\up12(5－r)·(－1)r＝Ceq\o\al(r,5)·x2r－10·(－1)r.當(dāng)2r－10＝－2，即r＝4時(shí)，有x2·Ceq\o\al(4,5)x－2·(－1)4＝Ceq\o\al(4,5)×(－1)4＝5；當(dāng)2r－10＝0，即r＝5時(shí)，有2·Ceq\o\al(5,5)x0·(－1)5＝－2.∴綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為5－2＝3，故選D.(2)233＝(23)11＝(9－1)11＝911－Ceq\o\al(1,11)910＋Ceq\o\al(2,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)9－1＝9(910－Ceq\o\al(1,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)－1)＋8，∴233除以9的余數(shù)是8.故選A.][培優(yōu)層·素養(yǎng)升華]【例】長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”．現(xiàn)有4名高三學(xué)生打算高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中隨意選取一個(gè)去旅游，則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為()A.eq\f(27,64) B.eq\f(9,16)C.eq\f(81,256) D.eq\f(7,16)B[4名同學(xué)去旅游的全部狀況有：44＝256種，恰有一個(gè)地方未被選中共有：Ceq\o\al(1,4)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝144種狀況，∴恰有一個(gè)地方未被選中的概率：P＝eq\f(144,256)＝eq\f(9,16).]該類問題常以新背景、數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化等為依托，將概率計(jì)算與排列組合的計(jì)算方法相融合，考查轉(zhuǎn)化化歸及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，正確計(jì)數(shù)是求解此類問題的關(guān)鍵.[素養(yǎng)提升]如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在供應(yīng)5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A，C區(qū)域涂色不相同的概率為()A.eq\f(1,7) B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(4,7)B[供應(yīng)5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，依據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為A，B，C，D，E，分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于區(qū)域A，有5種顏色可選；②，對(duì)于區(qū)域B與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；③，對(duì)于區(qū)域E，與A，B區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；④，對(duì)于區(qū)域D，C，若D與B顏色相同，C區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D，C有3＋2×2＝7