2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.3兩角和與差的正切函數(shù)學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE2．3兩角和與差的正切函數(shù)學(xué)問點兩角和與差的正切公式[填一填](1)兩角和的正切：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(Tα＋β)．(2)兩角差的正切：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(Tα－β)．公式Tα±β的記憶規(guī)律：公式的左側(cè)是復(fù)角的正切即tan(α±β)，右側(cè)是分式，分子是tanα與tanβ的和或差，分母是1與tanαtanβ的差或和，分式的運算符號可以簡記為“分子從前，分母相反”．[答一答]1．在公式Tα±β中，α，β的運用范圍是什么？公式的變形有哪些？提示：(1)從公式的推導(dǎo)過程來看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，例如taneq\f(3π,4)，taneq\f(π,4)都有意義，但tan(eq\f(3π,4)－eq\f(π,4))無意義．(2)兩角和與差的正切公式的常見變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).這些變形是化簡和求值中常用的形式，這些變形實質(zhì)上是在提示我們只要遇見tanα±tanβ和tanαtanβ，就要有敏捷運用公式Tα±β的變形形式的意識．2．為什么tan(α＋β)＝tanα＋tanβ不恒成立？提示：可以舉反例，例如，tan(30°＋120°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，而tan30°＝eq\f(\r(3),3)，tan120°＝－eq\r(3)，所以tan30°＋tan120°＝eq\f(\r(3),3)－eq\r(3)＝－eq\f(2\r(3),3).所以tan(30°＋120°)≠tan30°＋tan120°.因此tan(α＋β)＝tanα＋tanβ不恒成立．公式Tα＋β的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律(1)公式Tα±β的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號改變規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.類型一公式正用和逆用【例1】求下列各式的值．(1)tan105°；(2)eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)；(3)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)；(4)eq\f(tan62°＋tan148°,1－tan118°tan32°).【思路探究】嫻熟駕馭Tα±β的公式，能夠?qū)竭M(jìn)行正用和逆用．【解】(1)原式＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60·tan45°)＝eq\f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq\r(3).(2)原式＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.(3)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).(4)原式＝eq\f(tan62°－tan32°,1＋tan62°tan32°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).規(guī)律方法利用兩角和與差的正切公式求值，關(guān)鍵是弄清公式的結(jié)構(gòu)特點．(1)已知tanx＝eq\f(1,4)，tany＝－3，求tan(x＋y)的值；(2)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a≠c)的兩根為tanα，tanβ，求tan(α＋β)的值．解：(1)tan(x＋y)＝eq\f(tanx＋tany,1－tanxtany)＝eq\f(\f(1,4)－3,1－\f(1,4)×－3)＝－eq\f(11,7).(2)由a≠0和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－\f(b,a)，,tanαtanβ＝\f(c,a)，))又∵a≠c，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq\f(b,a－c)＝eq\f(b,c－a).類型二變形應(yīng)用公式【例2】(1)若α＋β＝eq\f(π,3)，tanα＋eq\r(3)(tanαtanβ＋c)＝0(c為常數(shù))，則tanβ＝________；(2)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°的值是________．【思路探究】在三角函數(shù)中同時出現(xiàn)tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)和tanαtanβ，或在和、差的形式與積的形式之間進(jìn)行互化時，可以考慮公式Tα＋β與Tα－β的變形．【解析】(1)∵α＋β＝eq\f(π,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tanα＋eq\r(3)tanαtanβ＋eq\r(3)c＝eq\r(3)－tanβ＋eq\r(3)c＝0，∴tanβ＝eq\r(3)(c＋1)．(2)∵tan60°＝eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).【答案】(1)eq\r(3)(c＋1)(2)eq\r(3)規(guī)律方法化簡求值中要留意“特殊值”的代換和應(yīng)用當(dāng)所要化簡(求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”，“eq\r(3)”時，要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如“1＝taneq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝taneq\f(π,3)”，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條件，從而可以進(jìn)行化簡和求值．求下列各式的值．(1)eq\f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq\f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°).解：(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).(2)原式＝eq\f(tan10°＋50°1－tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)＝eq\f(\r(3)1－tan10°tan50°－\r(3),tan10°tan50°)＝－eq\r(3).類型三利用公式進(jìn)行三角等式的證明【例3】已知△ABC不是直角三角形，求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.【思路探究】利用等角關(guān)系，在兩邊同時取同名的三角函數(shù)，將角的等式轉(zhuǎn)化為三角恒等式．【證明】在△ABC中，A＋B＋C＝π，又△ABC不是直角三角形，則A＋B＝π－C≠eq\f(π,2)，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－tanC.∴tanA＋tanB＝tanAtanBtanC－tanC，故tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.規(guī)律方法應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)解決三角形中的問題時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)條件使之能運用兩角和與差的三角函數(shù)公式．留意下列結(jié)論：(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)，tan(A＋B)＝－tanC.求證：tan(x－y)＋tan(y－z)＋tan(z－x)＝tan(x－y)tan(y－z)tan(z－x)．證明：證法一：左邊＝tan[(x－y)＋(y－z)][1－tan(x－y)tan(y－z)]＋tan(z－x)＝tan(x－z)[1－tan(x－y)tan(y－z)]＋tan(z－x)＝tan(z－x)[1－1＋tan(x－y)tan(y－z)]＝tan(x－y)tan(y－z)tan(z－x)＝右邊．證法二：tan(z－x)＝tan(z－y＋y－x)＝eq\f(tanz－y＋tany－x,1－tanz－ytany－x).∴tan(z－y)＋tan(y－x)＝tan(z－x)－tan(z－x)tan(z－y)tan(y－x)．∴tan(x－y)＋tan(y－z)＋tan(z－x)＝tan(z－x)tan(z－y)tan(y－x)．類型四利用公式求角【例4】設(shè)方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根為tanα，tanβ，且0<|α|<eq\f(π,2)，0<|β|<eq\f(π,2)，求α＋β的值．【思路探究】本題主要考查由兩角和的正切值求解．先求出tan(α＋β)的值，再依據(jù)α與β的詳細(xì)范圍與tanα，tanβ的符號確定出α＋β的詳細(xì)范圍，最終求α＋β的值．【解】由已知，得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanα·tanβ＝4.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，且tanα<0，tanβ<0，∴－eq\f(π,2)<α<0，－eq\f(π,2)<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq\f(2,3)π.規(guī)律方法求角問題中應(yīng)特殊關(guān)注的問題：(1)角的變換前面學(xué)習(xí)Sα±β，Cα±β的過程中運用的角的變換技巧仍舊適用于公式Tα±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值過程中要進(jìn)一步駕馭這些角的變換方法．(2)函數(shù)名稱的選取在明確所求角是如何通過已知角變換之后，詳細(xì)要依據(jù)題設(shè)條件去選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(3)角的范圍的界定依據(jù)求出的三角函數(shù)值確定所求的角時，角的范圍會干脆影響解的個數(shù)，因此角的范圍的確定是求角問題中最為關(guān)鍵的因素．已知tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，求α＋β的值．解：∵tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.∵0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，∴π<α＋β<2π.∴α＋β＝eq\f(5π,4).——易錯警示——給值求角中的易錯誤區(qū)【例5】已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，則2α－β＝________.【錯解】eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)【正解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－β·tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)，所以α∈(0，eq\f(π,4))①，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，而β∈(eq\f(π,2)，π)①，所以2α－β∈(－π，0)②，故2α－β＝－eq\f(3π,4).【錯解分析】沒有依據(jù)題設(shè)條件進(jìn)一步縮小角α，β的范圍(如①處所示)，導(dǎo)致②處的范圍過大．【答案】－eq\f(3π,4)【防范措施】1.樹立函數(shù)擇優(yōu)意識選擇運算該角的哪個三角函數(shù)值，會干脆影響角的解的個數(shù)，如本例選擇公式Tα±β較便利快捷，且不易產(chǎn)生增解．2．留意題設(shè)隱含條件的挖掘個別條件所附帶的信息有時較為隱藏，常依據(jù)須要對題設(shè)條件進(jìn)一步挖掘，如本例要依據(jù)“tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)”來進(jìn)一步限定角α，β的范圍．若tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(eq\f(π,2)，π)，則α＋β＝eq\f(7,4)π.解析：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanαtanβ－1,1－tanαtanβ)＝－1.∵α＋β∈(π，2π)，又tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝eq\f(7,4)π.一、選擇題1．若tan(eq\f(π,4)－α)＝3，則tanα等于(B)A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2解析：tanα＝tan[eq\f(π,4)－(eq\f(π,4)－α)]＝eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,4)－α,1＋tan\f(π,4)tan\f(π,4)－α)＝－eq\f(1,2).2.eq\r(3)tan23°tan97°－tan23°－tan97°＝(C)A．2 B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D．0解析：原式＝eq\r(3)tan23°tan97°－tan(23°＋97°)(1－tan23°·tan97°)＝eq\r(3)tan23°