2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.6祖暅原理與幾何體的體積教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-11.1.6祖暅原理與幾何體的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解棱柱、棱錐和棱臺(tái)的體積公式的推導(dǎo)方法，了解“祖暅”原理，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．知道柱、錐、臺(tái)和球的體積公式，能用公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．借助組合體的體積，提升直觀想象的核心素養(yǎng).祖暅(ɡènɡ)，祖沖之之子，是我國(guó)古代南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在總結(jié)前人探討的基礎(chǔ)上，總結(jié)出祖暅原理．在歐洲直到17世紀(jì)，才由意大利的卡瓦列里提出這個(gè)事實(shí)．1．祖暅原理(1)“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，假如被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．(2)作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等．2．柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑．名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h棱錐eq\f(1,3)Sh錐體圓錐eq\f(1,3)πr2h臺(tái)體棱臺(tái)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺(tái)eq\f(1,3)πh(r2＋r′＋r′2)球eq\f(4,3)πR31．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的某個(gè)平面所截，假如截得的兩個(gè)截面面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等． ()(2)錐體的體積只與底面積和高度有關(guān)，與其詳細(xì)形態(tài)無(wú)關(guān)． ()(3)由V錐體＝eq\f(1,3)S·h，可知三棱錐的任何一個(gè)面都可以作為底面． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，則其體積為()A．15π B．30C．12π D．36πC[圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(52－32)＝4，故V＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π.]3．若圓錐的高擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，底面半徑縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)，則圓錐的體積()A．縮小為原來(lái)的eq\f(3,4) B．縮小為原來(lái)的eq\f(2,3)C．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 D．不變A[設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2×h，當(dāng)圓錐的高擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，底面半徑縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)時(shí)，圓錐的體積V′＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))eq\s\UP12(2)×3h＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2×h)).所以圓錐的體積縮小為原來(lái)的eq\f(3,4).故選A．]4．若一個(gè)球的直徑是12cm，則它的體積為________cm3.288π[由題意，知球的半徑R＝6cm，故其體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π×63＝288π(cm3)．]求柱體的體積【例1】如圖所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6cm，高為3cm，下面是正六棱柱，其底面邊長(zhǎng)為4cm，高為2cm，現(xiàn)從中間挖去一個(gè)直徑為2cm的圓柱，求此幾何體的體積．[解]V六棱柱＝eq\f(\r(3),4)×42×6×2＝48eq\r(3)(cm3)，V圓柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圓柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此幾何體的體積：V＝V六棱柱＋V圓柱－V挖去圓柱＝(48eq\r(3)＋22π)(cm3)．柱體體積問(wèn)題的處理方法求解柱體體積問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠應(yīng)用棱柱或圓柱的定義確定底面和高．棱柱的高是兩個(gè)平行底面間的距離，其中一個(gè)平面上的任一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離都相等，都是高．圓柱的高是其母線長(zhǎng)．詳細(xì)問(wèn)題中要能精確應(yīng)用“底面”“高”的定義去求解相關(guān)元素．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．一個(gè)正方體的底面積和一個(gè)圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體和圓柱的體積之比．[解]設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，圓柱高為h，底面半徑為r，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝πr2，,2πrh＝4a2，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由①得r＝eq\f(\r(π),π)a，由②得πrh＝2a2，∴V圓柱＝πr2h＝eq\f(2\r(π),π)a3，∴V正方體∶V圓柱＝a3∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(π),π)a3))＝eq\f(\r(π),2)∶1＝eq\r(π)∶2.求錐體的體積【例2】如圖，三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1[思路探究]eq\x(AB∶A1B1＝1∶2)→eq\x(S△ABC∶S△A1B1C1)→eq\x(計(jì)算VA1－ABC)→eq\x(計(jì)算VC－A1B1C1)→eq\x(計(jì)算VB－A1B1C)[解]設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，∵AB∶A1B1＝1∶2，則S△A1B1C1＝4S∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V臺(tái)-VA1-ABC-VC-A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1割補(bǔ)法與等積法求錐體體積三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法．另外等積法也是常用的求錐體體積的一種方法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D-ACD1A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱錐D-ACD1的體積VD-ACD1＝VD1-ACD＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]求臺(tái)體的體積【例3】已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2.求正四棱臺(tái)的體積．[思路探究]可以嘗試借助四棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形，求出棱臺(tái)底面積和高，從而求出體積．[解]如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1，O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E由S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－OE－O1E12)＝12，V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺(tái)的體積為2800cm3.本例若改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，”求該棱臺(tái)的體積．[解]如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm則O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，過(guò)點(diǎn)B1作B1M⊥OB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高，在Rt△BMBBB1＝2cm，MB＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)(cm)．依據(jù)勾股定理MB1＝eq\r(BB\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28\r(2),3)(cm3)．求臺(tái)體體積的技巧求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高．要留意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系．求球的體積【例4】過(guò)球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．[思路探究]解決本題要充分利用已知條件，尤其是球半徑、截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形．[解]如圖，設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面為圓O′，連接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，∴O′為正三角形ABC的中心，∴AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．設(shè)OA＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R，∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)(cm)，∴R＝2(cm)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2.計(jì)算球的表面積或體積的關(guān)鍵是確定球的半徑R，一般題目不干脆給出球的半徑，而是隱藏在某些條件中，解題過(guò)程中，肯定要留意挖掘隱含條件.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是______cm.4[設(shè)球的半徑為r，放入3個(gè)球后，圓柱液面高度變?yōu)?r.則有πr2·6r＝8πr2＋3·eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.]學(xué)問(wèn)：1．對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式的四點(diǎn)說(shuō)明(1)等底、等高的兩個(gè)柱體的體積相同．(2)等底、等高的錐體和柱體的體積之間的關(guān)系可以通過(guò)試驗(yàn)得出，等底、等高的柱體的體積是錐體的體積的3倍．(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系(4)求臺(tái)體的體積轉(zhuǎn)化為求錐體的體積．依據(jù)臺(tái)體的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為錐體，采納“大錐體”減去“小錐體”的方法求臺(tái)體的體積．2．球的截面問(wèn)題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫出過(guò)球心的截面圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題．(2)解題時(shí)要留意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.方法：不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題的求解策略：若幾何體是組合體，可將其分解為若干個(gè)“柱、錐、臺(tái)、球”的基本型，再依據(jù)相關(guān)公式求解．還有許多的題型主要應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想化不規(guī)則為規(guī)則，以“分割”“補(bǔ)形”為工具將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為常見的幾何體的形式．1．已知球O的表面積為16π，則球O的體積為()A．eq\f(4,3)π B．eq\f(8,3)πC．eq\f(16,3)π D．eq\f(32,3)πD[因?yàn)榍騉的表面積是16π，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32,3)π，故選D．]2．假如軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．πB．2πC．4πD．8πB[設(shè)軸截面正方形的邊長(zhǎng)為a，由題意知S側(cè)＝πa·a＝πa2.∴4π＝πa2，a＝2.∴V圓柱＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\UP12(2)×a＝2π.]3．若圓錐、圓柱的底面直徑和它們的高都等于一個(gè)球的直徑，則圓錐、圓柱、球的體積之比為()A．1∶3∶4 B．1∶3∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶2B[設(shè)球的半徑為R，則V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3.所以V圓錐∶V圓柱∶V球＝eq\f(2,3)∶2∶eq\f(4,3)＝1∶3∶2.]4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，CE＝2EP，若三棱錐P-EBD的體積為V1，三棱錐P-ABD的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值為________．eq\f(1,3)[設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h，底面ABCD的面積為S，則V2＝VP-ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.因?yàn)镃E＝2EP，所以EP＝eq\f(1,3)PC，所以V1＝VP-EBD＝VE-PBD＝eq\f(1,3)VC-PBD＝eq\f(1,3)VP-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,6)Sh＝eq\f(1,18)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,18)Sh,\f(1,6)Sh)＝eq\f(1,3).]5．一個(gè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(15)，求這個(gè)三棱錐體積．[解]如圖所示，正三棱錐S-ABC．設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高．連接AH并