《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)》課件-第三章-第2節(jié)-第二課時(shí)-利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

第二課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點(diǎn)落實(shí)四翼角度一根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,所以當(dāng)x>-2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x=-2時(shí),f′(x)=0;當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)<0.所以當(dāng)-2<x<0時(shí),xf′(x)<0;當(dāng)x=-2時(shí),xf′(x)=0;當(dāng)x<-2時(shí),xf′(x)>0.故選C.例1-1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是(

)解題策略1.涉及與極值有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題,首先要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象,若給的是f(x)的圖象,應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn),如果給的是f′(x)的圖象,應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正,然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解.2.f(x)在x=x0處有極值時(shí),一定有f′(x0)=0,f(x0)可能為極大值,也可能為極小值,應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x=x0兩側(cè)的符號(hào)后才可下結(jié)論;若f′(x0)=0,則f(x)不一定在x=x0處取得極值,只有確認(rèn)x1<x0<x2時(shí),f(x1)·f(x2)<0,才可確定f(x)在x=x0處取得極值.角度二求函數(shù)的極值解題策略利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,首先是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值,也就是f′(x)的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么y=f(x)在這個(gè)點(diǎn)處取極大值,如果左負(fù)右正,那么y=f(x)在這個(gè)點(diǎn)處取極小值.如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)點(diǎn)處無(wú)極值.角度三已知極值點(diǎn)求參數(shù)(范圍)例1-3已知函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex在x=1處取得極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解題策略已知函數(shù)的極值點(diǎn)x=x0求參數(shù)的值時(shí),首先明確f′(x0)=0,然后判斷函數(shù)在x=x0左右的函數(shù)值的符號(hào)是否滿足函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì),若是涉及參數(shù)的討論,則還要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分類討論,一般是將導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)用參數(shù)表示出來(lái),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系分類討論后求解.角度四已知極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍解題策略已知函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.解決此類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題求解.角度五討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1-5已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R).討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.解:f(x)的定義域?yàn)镽,f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a),(1)當(dāng)a≤0時(shí),ex-2a>0,令f′(x)=0,得x=0,若x<0,則f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,若x>0,則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)有1個(gè)極值點(diǎn).解題策略討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),而討論變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),常常利用數(shù)形結(jié)合法,將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用圖象討論滿足條件的參數(shù)范圍.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,那么(

)A.-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)B.1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)C.2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)D.函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)解析:根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知f′(-1)=0,f′(2)=0,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)>0,-1<x<2時(shí),f′(x)>0,x>2時(shí),f′(x)<0,所以-1不是極值點(diǎn),2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).故選C.2.(2021·河北邯鄲一中月考)若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則a的值為(

)A.-1 B.0 C.1 D.e解析:f′(x)=aex-cosx,若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則f′(0)=a-1=0,解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意.故選C.解析:因?yàn)閒′(x)=(x+2)(ex-3),令f′(x)=0,解得x=-2或x=ln3.故當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(-2,ln3)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(ln3,+∞)時(shí),f′(x)>0,故當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,極大值是6.答案:65.已知函數(shù)f(x)=xln(2x)-ax2-x(a∈R),討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值例2已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.解題策略1.求解函數(shù)y=f(x)在給定閉區(qū)間[a,b]上的最值問(wèn)題,應(yīng)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的大小確定函數(shù)的最值(若函數(shù)值的大小不能確定,則需要利用作差比較法比較其大小);若所給的閉區(qū)間[a,b]含有參數(shù)或函數(shù)解析式含有參數(shù),則需通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.2.已知函數(shù)的最值求參數(shù),通法是直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),這種方法一般需要較為復(fù)雜的討論;巧法是利用最值的定義通過(guò)分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題.[針對(duì)訓(xùn)練]已知f(x)=ax-lnx,a∈R,是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(1)該冰川的體積小于100億立方米的時(shí)期稱為衰退期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),問(wèn)一年內(nèi)哪幾個(gè)月是衰退期?解:(1)由題意可得V(t)<100.①當(dāng)0<t≤10時(shí),由V(t)=-t3+11t2-24t+100<100,可得t(t-3)(t-8)>0,解得0<t<3或8<t≤10.(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積.解:(2)①當(dāng)0<t≤10時(shí),V(t)=-t3+11t2-24t+100,V′(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6).當(dāng)t變化時(shí),V(t)與V′(t)在區(qū)間(0,10]上的變化情況如表.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的基本方法(1)將實(shí)際問(wèn)題利用函數(shù)進(jìn)行抽象表達(dá),并注意函數(shù)定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題.(3)根據(jù)函數(shù)的最值得到優(yōu)化問(wèn)題的答案.提醒:用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值時(shí),如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么依據(jù)實(shí)際意義,該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).解題策略(1)當(dāng)m=600時(shí),每天生產(chǎn)量x為多少時(shí),利潤(rùn)L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值;(2)每天生產(chǎn)量x為多少時(shí),平均利潤(rùn)P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.備選例題例1(2021·黑龍江大慶鐵人中學(xué)高三模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極小值10,則a+