2024-2025學(xué)年上海宜川中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答案（2025.01）

宜川中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.1一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．雙曲線的漸近線方程為．

2．已知函數(shù)，則．

3．已知等差數(shù)列滿足，則的值為．

4．圓與圓的相交弦所在直線方程為．

5．已知的直觀圖恰好是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，那么的面積為．

6．在正方體中，與直線所成角的大小為的面對(duì)角線共有條.

7．一個(gè)圓柱被與其底面所成角是的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率等于．

8．如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形，將剩余陰影部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為．9．若是三個(gè)不共面的非零向量，，，若向量共面，則．

10．已知函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍．

11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，設(shè)，，當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最小時(shí)，的值組成的集合為．

12．已知正三棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)為5，底面邊長(zhǎng)為8，若空間中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題滿分18分，第13，14題每題4分，第題每題5分）

13．已知點(diǎn)是平行六面體的面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與恒為異面直線的是（）.

A．B．C．D．

14．已知是平面的一條斜線，直線，則（）.

A．存在唯一一條直線，使得；B．存在無(wú)數(shù)多條直線，使得；

C．存在唯一一條直線，使得；D．存在無(wú)數(shù)多條直線，使得

15．已知數(shù)列為無(wú)窮等比數(shù)列，若，則的取值范圍為（）.

A．B．C．D．

16．在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)圓柱體，則該圓柱體的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為（）.

A．B．C．D．三、解答題（本大題滿分78分，第17，18，19題每題14分，第20，21題每題18分）

17．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的最小值．

18．如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是線段的中點(diǎn)，若平面交于點(diǎn).

（1）求多面體的體積；

（2）求證：四邊形是正方形．19．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面平面；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為．20．已知曲線由拋物線及拋物線組成，若是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，四點(diǎn)不共線，其中點(diǎn)在第一象限．

（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求四邊形周長(zhǎng)的最小值；

（3）若點(diǎn)橫坐標(biāo)小于4，求四邊形面積的最大值．21．函數(shù)滿足：對(duì)任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數(shù)在上的支撐線．

（1）指出下列哪些函數(shù)在定義域上存在支撐線：①；②；

（2）動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上，直線是在定義域上的支撐線，求點(diǎn)到直線的距離最小值；

（3）直線是函數(shù)在上的支撐線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.C14.B15.B16.A三．解答題17．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）7【解析】（1）在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，由構(gòu)成等比數(shù)列，可得，即有，得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去，所以．

（2）由（1）得，則遞增，

由可得時(shí)，正整數(shù)的最小值為7.18．如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是線段的中點(diǎn)，若平面交于點(diǎn).

（1）求多面體的體積；

（2）求證：四邊形是正方形．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，取中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，底面中心為，，則，

所以多面體的體積

（2）先證明四邊形是平行四邊形，又，于是為菱形，取的中點(diǎn)，而，平面，則平面，又平面，因此，于是，所以四邊形是正方形．

19．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面平面；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，再證明平面平面；

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)，平面與平面所成角為，則，由圖知，平面法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫媾c平面所成角為，所以，解得或（舍）．

所以當(dāng)為時(shí)，平面與平面所成角為．

20．已知曲線由拋物線及拋物線組成，若是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，四點(diǎn)不共線，其中點(diǎn)在第一象限．

（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求四邊形周長(zhǎng)的最小值；

（3）若點(diǎn)橫坐標(biāo)小于4，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為（2）（3）8【解析】（1）拋物線，即，可知，即，且焦點(diǎn)在軸正半軸上，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．

（2）由（1）可知：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，

由題意可知：四邊形為等腰梯形，則四邊形周長(zhǎng)

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形周長(zhǎng)的最小值為．

（3）由題意可知：，且，則，梯形的高為，

可得四邊形的面積為，且，構(gòu)建，則，

令，解得；令，解得或；

可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知的最大值為，所以四邊形的面積的最大值為8．21．函數(shù)滿足：對(duì)任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數(shù)在上的支撐線．

（1）指出下列哪些函數(shù)在定義域上存在支撐線：①；②；

（2）動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上，直線是在定義域上的支撐線，求點(diǎn)到直線的距離最小值；

（3）直線是函數(shù)在上的支撐線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）無(wú)支撐線；是的一條支撐線；（2）（3）【解析】（1）因?yàn)榛蛟诓荒芎愠闪?，所以無(wú)支撐線；設(shè)函數(shù)恒成立．即是的一條支撐線；

（2）直線是在定義域上的支撐線

若，則時(shí)，時(shí)，，不合題意．

所以，因?yàn)橹本€是在定義域上的支撐線，所以恒成立．令所以.由；由．所以在上遞增，在上遞減.

所以的最大值為．

又易證在上遞減，在上遞增．且，所以.

設(shè)，所以在處的切線斜率為，

所