2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用5.1向量的數(shù)量積課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊(cè)

PAGE§5從力的做功到向量的數(shù)量積5.1向量的數(shù)量積課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2024山東高一月考)若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為120°,則a在b方向上的投影數(shù)量為()A.-2 B.3 C.-23 D.2解析因?yàn)閨a|=4,|b|=2,a和b的夾角為120°,所以a在b方向上的投影數(shù)量為|a|cos<a,b>=4×cos120°=-2.故選A.答案A2.(2024北京高一期末)已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,則AB·AC=(A.1 B.2 C.3 D.4解析由向量的投影的幾何意義及圖象可知:AC在AB方向上的投影數(shù)量為|AB|=2,故AB·AC=|AB|2=4答案D3.(2024北京十五中高三期中)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析若存在負(fù)數(shù)λ,使m=λn,則兩向量m,n反向,夾角是180°,此時(shí)m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0;若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°],并不肯定反向,所以是充分而不必要條件.故選A.答案A4.(2024山東濟(jì)南一中高三期中)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,那么a·b+b·c+c·a=()A.3 B.-3 C.32 D.-解析a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-32.故選D答案D5.(多選)對(duì)隨意平面對(duì)量a,b,c,下列說(shuō)法正確的是()A.若a·b=b·c,則a=cB.若a=b,b=c,則a=cC.|a|-|b|<|a|+|b|D.|a·b|≤|a||b|解析對(duì)于A,反例b=0,則a與c不肯定相等,所以A不正確;由向量相等的充要條件,可知B正確;對(duì)于C,若b=0,則不等式不成立,所以C不正確;|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,所以D正確.故選BD.答案BD6.已知△AOB為等腰直角三角形,OA=1,OC為斜邊的高.(1)若P為線段OC的中點(diǎn),則AP·OP=(2)若P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn),則AP·OP的取值范圍為解析(1)AP·OP=-OA+12OC·12OC=-12(2)設(shè)OP=λOC(0≤λ≤1),AP·OP=-λOA·OC+λ2|OC|2=-λ2+λ2答案(1)-18(2)-18,07.(2024山東微山其次中學(xué)高一月考)已知向量a,b的夾角為2π3,|a|=1,|b|=(1)求a·b的值;(2)若2a-b和ta+b垂直,求實(shí)數(shù)t的值.解(1)a·b=|a||b|cos2π3=1×2×-12=-1(2)因?yàn)?a-b和ta+b垂直,所以(2a-b)·(ta+b)=0,整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0,即2t-(2-t)-4=0,解得t=2.實(shí)力提升練1.(2024山東鄄城第一中學(xué)高一月考)在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=2,則BC·AD=(A.-1 B.1 C.2 D.2解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,所以BC在AD方向上的投影數(shù)量為由數(shù)量積的幾何意義可知,BC·AD=(2)2=2.故選答案D2.(2024陜西高三(文))在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿意AP=2PM,則PA·(PB+PC)等于(A.49 B.-49 C.43 D解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以AM是BC邊上的中線.又點(diǎn)P在AM上且滿意AP=2PM,所以P是△ABC的重心,所以PA·(PB+=PA·AP=-|PA|因?yàn)锳M=1,所以|PA|=23所以PA·(PB+PC)=-49.答案B3.(2024海南高三)在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交AC所在直線于點(diǎn)F,則向量AF在向量BC方向上的投影數(shù)量為()A.2 B.32 C.1 D.解析因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn),所以AF=AE+EF又因?yàn)镋F⊥BC,所以AF·BC=12(AB+AC)·BC=12(AB+AC)·(AC-AB答案A4.(2024天津靜海一中高一月考)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=2,則AC·A.23 B.43C.3 D.3解析依據(jù)向量的線性運(yùn)算,結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積的定義可得AC·AD=(AB+=AB·由AD⊥AB,可知AB·AD又因?yàn)锽C=3BD,|所以AC=3|BD|·|AD|·cos=3×2×|BD|×2|BD|=43.答案B5.(2024甘肅天水第一中學(xué)高三月考(文))已知e1,e2為單位向量且夾角為π3,設(shè)a=e1+e2,b=e2,則a在b方向上的投影數(shù)量為.解析由題可知|e1|=|e2|=1,<e1,e2>=π3因?yàn)閍·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=12+1=3|b|=1,所以a在b方向上的投影數(shù)量為|a|cos<a,b>=a·答案36.(2024山東高三開學(xué)考試)如圖,在半徑為r的定圓C中,A為圓上的一個(gè)定點(diǎn),B為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AB+AC=AD,且點(diǎn)D在圓C上,則AB解析因?yàn)锳B+AC=AD,所以四邊形ABDC為平行四邊形.又AC=CD=CB=r,所以∠所以AB·AC=r×r×cos60°=答案r素養(yǎng)培優(yōu)練(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A.若非零向量a,b滿意|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為30°B.若a·b>0,則a,b的夾角為銳角C.若AB·AB=AB·ACD.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,若AB+AC=2AO,且|OA|=|CA|,則向量BA在向量BC解析對(duì)于A,由向量減法法則及題意知,向量a,b,a-b可以組成一個(gè)等邊三角形,向量a,b的夾角為60°,又由向量加法的平行四邊形法則知,以a,b為鄰邊的平行四邊形為菱形,所以a與a+b的夾角為30°,故選項(xiàng)A中說(shuō)法正確.對(duì)于B,當(dāng)a=b≠0時(shí)不成立,故選項(xiàng)B中說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于C,因?yàn)锳B·所以AB·AB=AB·(AC-BC)-AC·CB所以△ABC是直角三角形,故選項(xiàng)C中說(shuō)法正確.對(duì)于D,如圖,其中四邊形ABDC為平行四邊形,因?yàn)锳B+AC=2AO,所以O(shè)為AD,B