2025年北師大版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知冪函數(shù)f（x）過點(diǎn)則f（4）的值為（）

A.

B.1

C.2

D.8

2、下列圖形中，表示的是（）3、已知a=cos1，b=cos2，c=sin2，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.a＞c＞bD.b＞a＞c4、已知tan（π﹣α）=﹣2，則=（）A.-3B.C.3D.-5、設(shè)an=sinSn=a1+a2++an，在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）A.25B.50C.75D.1006、數(shù)列1，3，6，10，x，21，中，x的值是（）A.12B.13C.15D.167、婁脕

是第四象限角，tan婁脕=鈭?512

則sin婁脕=(

)

A.15

B.鈭?15

C.513

D.鈭?513

評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、如圖，△AOE和△BOE都是邊長為1的等邊三角形，延長OB到C使|BC|=t（t＞0），連AC交BE于D點(diǎn)，則向量和的夾角的大小為____．

9、【題文】若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的范圍為_______________．10、【題文】下列四個結(jié)論：

①偶函數(shù)的圖象一定與直角坐標(biāo)系的縱軸相交；

②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；

③既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是＝0（）；

④偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

⑤偶函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則f(x)在上單調(diào)遞增．

其中正確的命題的序號是____．11、計(jì)算=______．12、已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過（2，），則f（27）=______．13、某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取______名學(xué)生．14、某單位200

名職工的年齡分布情況如圖；現(xiàn)要從中抽取40

名職工作樣本；用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1隆蘆200

編號，并按編號順序平均分為40

組(1隆蘆5

號，6隆蘆10

號，196隆蘆200

號).

若第5

組抽出的號碼為22

則第8

組抽出的號碼應(yīng)是______.

若用分層抽樣方法，則40

歲以下年齡段應(yīng)抽取______人.

評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)15、已知函數(shù)且函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

（1）求a的值；

（2）證明f（x）在（-∞；+∞）上為增函數(shù)．

16、已知(1)求的值。(2)當(dāng)為何值時(shí)，與平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？17、證明函數(shù)f（x）=-2x2+1在（0；+∞）上是減函數(shù)．

18、【題文】(本題滿分12分)已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；（2）求函數(shù)的最大值和最小值19、【題文】如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐．點(diǎn)且．

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若當(dāng)為何值時(shí)，．20、(1)

已知向量a鈫?=(1,2)b鈫?=(鈭?3,2)c鈫?=(3,4).

若婁脣

為實(shí)數(shù)，(a鈫?+婁脣b鈫?)//c鈫?

求婁脣

的值．

(2)

已知非零向量e1鈫?

和e2鈫?

不共線，欲使向量ke1鈫?+e2鈫?

和e1鈫?+ke2鈫?

共線，試確定實(shí)數(shù)k

的值．評卷人得分四、綜合題(共4題，共12分)21、已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-3；0）；B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求系數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D；求△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值．

（4）設(shè)E，當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22、如圖；Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點(diǎn)P是邊BC上的一動點(diǎn)（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點(diǎn)M．設(shè)CP=x，⊙P的半徑為y．

（1）求證：△BPM∽△BAC；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并確定當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，⊙P與AC所在直線相離；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動時(shí)；是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內(nèi)切？若存在，求出x；y的值；若不存在，請說明理由．

23、如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一動點(diǎn)，DE⊥AM，E為垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的長是方程x2-（k-2）x+2k=0的兩個根；

（1）求k的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)M離開點(diǎn)B多少距離時(shí)，△AED的面積是△DEM面積的3倍？請說明理由．24、如圖，由矩形ABCD的頂點(diǎn)D引一條直線分別交BC及AB的延長線于F，G，連接AF并延長交△BGF的外接圓于H；連接GH，BH．

（1）求證：△DFA∽△HBG；

（2）過A點(diǎn)引圓的切線AE，E為切點(diǎn)，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的長；

（3）在（2）的條件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、A【分析】

設(shè)冪函數(shù)f（x）=xa；x＞0；

∵冪函數(shù)f（x）過點(diǎn)

∴x＞0；

∴∴

∴f（4）==．

故選A．

【解析】【答案】設(shè)冪函數(shù)f（x）=xa，x＞0，由冪函數(shù)f（x）過點(diǎn)知x＞0，故由此能求出f（4）．

2、C【分析】【解析】試題分析：表示集合是集合的子集，所以應(yīng)該選C.考點(diǎn)：本小題主要考查韋恩圖的識別和集合關(guān)系的應(yīng)用.【解析】【答案】C3、B【分析】【解答】由題意可得b=cos2＜0；a=cos1＞0，c=sin2＞0；

又a=cos1＜cos=c=sin2＞sin=

∴c＞a＞b

故選：B

【分析】易得b為最小值，再和特殊角比較可得a和c的大小，可得答案。4、D【分析】【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2；∴tanα=2；

∴

故選：D．

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式求得tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得所給式子的值．5、D【分析】【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50

由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2，，a24＞0，a25=0，a26，a27，，a49＜0，a50=0

且sinsin但是f（n）=單調(diào)遞減。

a26a49都為負(fù)數(shù)，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，，|a49|＜a24

∴S1，S2，，S25中都為正，而S26，S27，，S50都為正。

同理S1，S2，，s75都為正，S1，S2，，s75，，s100都為正；

故選D

【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2，，a24＞0，a26，a27，，a49＜0，f（n）=單調(diào)遞減，a25=0，a26a50都為負(fù)數(shù)，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，，|a49|＜a24，從而可判斷6、C【分析】解：∵3-1=2；6-3=3，10-6=4；

∴根據(jù)歸納法可知；x-10=5，21-x=6；

解得x=15；滿足條件；

故選：C．

根據(jù)數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系；即可得到結(jié)論．

本題主要考查數(shù)列項(xiàng)的計(jì)算，根據(jù)項(xiàng)之間的關(guān)系，得到數(shù)列的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．【解析】【答案】C7、D【分析】解：隆脽婁脕

是第四象限角，tan婁脕=鈭?512=sin婁脕cos偽sin2婁脕+cos2婁脕=1

隆脿sin婁脕=鈭?513

．

故選D．

根據(jù)tan婁脕=sin婁脕cos偽sin2婁脕+cos2婁脕=1

即可得答案．

三角函數(shù)的基本關(guān)系是三角函數(shù)的基本，是高考必考內(nèi)容．【解析】D

二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】

以O(shè)E為x軸；以AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，則有。

A（0，），B（0，），O（），E（）

==

=

所以

又因?yàn)?/p>

所以

所以夾角為60°；

故答案為60°

【解析】【答案】先建立坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算法則求出向量和的坐標(biāo)，求向量和的夾角的大??；只需求其數(shù)量積，坐標(biāo)運(yùn)算和公式形式運(yùn)算，可以求出夾角．

9、略

【分析】【解析】∵圓（x-a）2+（y+a）2=5，圓心坐標(biāo)為（a，-a），半徑等于若P點(diǎn)在圓（x-a）2+（y+a）2=5的外部，則有：（2a-a）2+（a+a）2＞5解得a2＞1；故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）；

故答案為或【解析】【答案】或10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】_④⑤11、略

【分析】解：原式=-1+=4-1+=．

故答案為：．

利用指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

本題考查了指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】12、略

【分析】解：由題意令y=f（x）=xa；

由于圖象過點(diǎn)（2，）；

得=2a，a=

∴y=f（x）=

∴f（27）==3．

故答案為：3．

先由冪函數(shù)的定義設(shè)f（x）=xa；代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出a得出冪函數(shù)的解析式，再求f（27）的值．

本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域等基本知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求其解析式．【解析】313、略

【分析】解：∵C專業(yè)的學(xué)生有1200-380-420=400；

由分層抽樣原理，應(yīng)抽取名．

故答案為：40

根據(jù)全校的人數(shù)和A；B兩個專業(yè)的人數(shù)，得到C專業(yè)的人數(shù)，根據(jù)總體個數(shù)和要抽取的樣本容量，得到每個個體被抽到的概率，用C專業(yè)的人數(shù)乘以每個個體被抽到的概率，得到結(jié)果．

本題考查分層抽樣，分層抽樣過程中，每個個體被抽到的概率相等，在總體個數(shù)，樣本容量和每個個體被抽到的概率這三個量中，可以知二求一．【解析】4014、略

【分析】解：隆脽

將全體職工隨機(jī)按1隆蘆200

編號；并按編號順序平均分為40

組；

由分組可知；抽號的間隔為5

隆脽

第5

組抽出的號碼為22

隆脿

第6

組抽出的號碼為27

第7

組抽出的號碼為32

第8

組抽出的號碼為37

．

40

歲以下的年齡段的職工數(shù)為200隆脕0.5=100

則應(yīng)抽取的人數(shù)為40200隆脕100=20(

人)

．

故答案為：3720

由分組可知；抽號的間隔為5

第5

組抽出的號碼為22

第6

組抽出的號碼為27

第7

組抽出的號碼為32

第8

組抽出的號碼為37.

可以一次加上5

得到下一組的編號，根據(jù)圖中40

歲以下的所占的比例，得到結(jié)果．

本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號，注意要能從一系列樣本中選擇出來.

本題還考查分層抽樣，是一個抽樣的綜合題目．【解析】3720

三、解答題(共6題，共12分)15、略

【分析】

（1）∵f（-x）=-f（x），即=-+=0?（a+1）（2x+1）=0?a=-1．

（2）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2；

f（x1）-f（x2）=-=

∵x1＜x2，∴2X1＜

又∵2X1+1＞0，+1＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（-∞；+∞）上為增函數(shù)．

【解析】【答案】（1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x）；建立關(guān)于x的恒等式，利用系數(shù)為0即可得a的范圍．

（2）先設(shè)自變量值，任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，然后通過作差比較f（x1）與f（x2）的大小；即得函數(shù)的單調(diào)性．

16、略

【分析】【解析】試題分析：(1)=(2)由與平行，則有：得：從而有與是反向的考點(diǎn)：向量共線【解析】【答案】（1）-14（2）反向的17、略

【分析】

設(shè)x2＞x1＞0，∵函數(shù)f（x）=-2x2+1；

∴f（x2）-f（x1）=-2（-）=2（-）=2（x1+x2）（x1-x2）．

由題設(shè)可得x1+x2＞0，x1-x2＜0，∴f（x2）-f（x1）＜0；

∴f（x2）＜f（x1）；

故函數(shù)f（x）=-2x2+1在（0；+∞）上是減函數(shù)．

【解析】【答案】設(shè)x2＞x1＞0，計(jì)算f（x2）-f（x1）=2（x1+x2）（x1-x2）＜0，故有f（x2）＜f（x1）；由函數(shù)的單調(diào)性的定義得出結(jié)論．

18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

19、略

【分析】【解析】(Ⅰ)證明：因?yàn)?/p>

所以為等腰直角三角形，所以．

因?yàn)槭且粋€長方體，所以而所以所以．

因?yàn)榇怪庇谄矫鎯?nèi)的兩條相交直線和

由線面垂直的判定定理，可得

(Ⅱ)解：當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，四邊形是一個正方形，所以而

所以所以．

而與在同一個平面內(nèi)，所以．

而所以所以．【解析】【答案】（1）由線面垂直的判定定理，可得

（2）當(dāng)時(shí)，．20、略

【分析】

(1)(2)

利用向量共線定理即可得出．

本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：(1)隆脽a鈫?+婁脣b鈫?=(1鈭?3婁脣,2+2婁脣)隆脽(a鈫?+婁脣b鈫?)//c鈫?隆脿4(1鈭?3婁脣)鈭?3(2+2婁脣)=0

解得婁脣=鈭?19

．

(2)隆脽ke1鈫?+e2鈫?

和e1鈫?+ke2鈫?

共線，隆脿

存在實(shí)數(shù)m

使得ke1鈫?+e2鈫?=m(e1鈫?+ke2鈫?)

非零向量e1鈫?

和e2鈫?

不共線；

隆脿k=m1=mk

解得k=1

或k=鈭?1

．四、綜合題(共4題，共12分)21、略

【分析】【分析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-3；0），B（1，0），得出c與a的關(guān)系，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；進(jìn)而求出OC的長度，即可得出a的取值范圍；

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長DC交x軸于點(diǎn)H，得出拋物線的對稱軸為x=-1，進(jìn)而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，根據(jù)h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）連接CE，過點(diǎn)N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據(jù)三角形的面積公式求出S△CAEF=S四邊形EFCB，根據(jù)NP∥CE，求出，設(shè)過N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點(diǎn)的直線的解析式，組成方程組求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0；-3a）；

答：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0；-3a）．

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO?OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范圍為0＜a≤；

答：系數(shù)a的取值范圍是0＜a≤．

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G；延長DC交x軸于點(diǎn)H，如圖．

∵拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（-3；0），B（1，0）．

∴拋物線的對稱軸為x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴拋物線方程為y=ax2+2ax-3a，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直線DC過定點(diǎn)H（3，0）．

過B作BM⊥DH；垂足為M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值為1；

答：△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，，；

設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連接CN，則N（-1，0），CN將△ABC的面積平分，

連接CE；過點(diǎn)N作NP∥CE交y軸于P，顯然點(diǎn)P在OC的延長線上，從而NP必與AC相交，設(shè)其交點(diǎn)為F，連接EF；

因?yàn)镹P∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

設(shè)過N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，則；

解得：；

即；①

同理可得過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)為；②

解由①②組成的方程組得，；

故在線段AC上存在點(diǎn)滿足要求．

答：當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-，-）．22、略

【分析】【分析】（1）由∠B=∠B；∠C=∠BMP=90°證明；

（2）勾股定理求出AB的長；相似三角形求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出取值范圍；

（3）根據(jù)內(nèi)切圓的特點(diǎn)，求出x，y的值．【解析】【解答】（1）證明：∵AB切⊙P于點(diǎn)M；

∴∠PMB=∠C=90°．

又∵∠B=∠B；

∴△BPM∽△BAC．

（2）解：∵AC=3；BC=4，∠C=90°；

∴AB=5．

∵；

∴；

∴（0≤x＜4）．

當(dāng)x＞y時(shí)；⊙P與AC所在的直線相離．

即x＞；

得x＞；

∴當(dāng)＜x＜4時(shí)；⊙P與AC所在的直線相離．

（3）解：設(shè)存在符合條件的⊙P．

得OP=2.5-y，而BM=；

∴OM=；

有；

得

∴y1=0（不合題意舍去），y2=．

∴時(shí)，x=．23、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系；列出方程組解答；

（2）根據(jù)（1）中k的值解方程，求出AD和BC的長，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意列方程組得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分別代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

當(dāng)k=12