高三開(kāi)學(xué)收心考試模擬卷(測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容)(解析版)

高三開(kāi)學(xué)收心考試模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：高中數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，所以,故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】設(shè)，，因?yàn)?，所以，，所以，又，所以，解得，所以故選：C.3．已知向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，知，即.故選：A4．在平面直角坐標(biāo)系中，以下方程對(duì)應(yīng)的曲線，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度之后，可以成為函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以方程?duì)應(yīng)的曲線為橢圓，所以當(dāng)橢圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故A項(xiàng)不成立；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以方程?duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，其漸進(jìn)線為，所以當(dāng)其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定是函數(shù)圖象，故B項(xiàng)成立；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以方程?duì)應(yīng)的曲線為圓，所以當(dāng)圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故C項(xiàng)不成立；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以方程?duì)應(yīng)的曲線為圓，所以當(dāng)圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其一定不會(huì)成為函數(shù)圖象，故D項(xiàng)不成立.故選：B.5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢(qián)，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢(qián)？則下列說(shuō)法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文【答案】A【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢(qián)數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.6．已知，則（

）A．－1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，則，得，則，所以．故選：A．7．已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則經(jīng)過(guò)函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為（

）A．10 B．5 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由已知可得函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，故，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于中心對(duì)稱，因?yàn)閯t點(diǎn)在圓的內(nèi)部，因?yàn)辄c(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以所求最短弦長(zhǎng)為.故選：D.8．如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)對(duì)稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．某市為響應(yīng)教育部《切實(shí)保證中小學(xué)每天一小時(shí)校園體育活動(dòng)的規(guī)定》號(hào)召，提出“保證中小學(xué)生每天一小時(shí)校園體育活動(dòng)”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表：學(xué)校人數(shù)平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間方差甲校2000103乙校300082記這兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周運(yùn)動(dòng)的總平均時(shí)間為，方差為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題意，總平均時(shí)間為，方差為.故選：BC10．如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長(zhǎng)度的是（

）A．a(chǎn)，b， B．，，C．a(chǎn)，， D．，，b【答案】ACD【解析】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項(xiàng)正確，它們都可以唯一確定三角形；法二、對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知，可求得，即A正確；對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理可知，即C正確；對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得，即D正確；故選：ACD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.，，當(dāng)時(shí)，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．為偶函數(shù)C． D．不等式的解集為【答案】BCD【解析】由可得，故可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，由可得，所以，又為偶函數(shù)，所以，即，故C正確，由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減故結(jié)合的性質(zhì)可畫(huà)出符合條件的的大致圖象：

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)，時(shí)，，故D正確，故選：BCD12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離的取值范圍為D．對(duì)于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題知，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，即，所以，顯然方程組無(wú)解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)Q到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開(kāi)式中的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則的系數(shù)是【答案】112【解析】依題意得：解得則由，解得從而.故答案為：14．陀螺又稱陀羅，是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)健身玩具之一，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，圓錐與圓柱的高均為1，若該陀螺由一個(gè)球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為.【答案】/【解析】依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點(diǎn)及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時(shí)，球形材料體積的最小，設(shè)此時(shí)球形材料的半徑為，如圖所示：

由題意得，解得，所以球形材料的體積最小值為.故答案為：15．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，，其中，解得，所以，，解得，因?yàn)椋?，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.16．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)闉榈膬?nèi)切圓圓心，則，顯然是銳角，當(dāng)且僅當(dāng)最大時(shí)，最大，且最大，又，即有最小，在橢圓中，，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)，即為正三角形時(shí)，取得最大值，取最大值，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的周長(zhǎng).【解析】（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負(fù)值舍去）.

（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負(fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長(zhǎng).18．（12分）如圖所示，在多面體中，底面為矩形，且底面∥.

(1)證明：∥平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，且，所以且因?yàn)榍仪?，所以且，所以且所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?）因?yàn)榈酌嫫矫?，所以，因?yàn)樗砸詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，由，取，則，故平面的一個(gè)法向量，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.19．（12分）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(1)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【解析】（1）依題意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．∴．∴，故（）．∴．經(jīng)檢驗(yàn)對(duì)于n=1也成立；（2）依題意設(shè)，由于，∴，故，經(jīng)檢驗(yàn)對(duì)于n=1也成立，∴．由于，∴，∴，即．20．（12分）已知，曲線與直線相切于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【解析】（1）．由題設(shè)得，故．（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，下面證明：當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以，使得,所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以．故當(dāng)時(shí)，恒成立．21．（12分）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過(guò)使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過(guò)計(jì)算說(shuō)明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．【解析】（1）法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對(duì)任意，.（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過(guò)60人的概率不超過(guò)0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．22．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交該橢圓于，兩點(diǎn).(1)求面積的最大值，