2025年外研版高二數學上冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高二數學上冊月考試卷613考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖像大致是（）2、過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）．A.條B.條C.條D.條3、已知O是坐標原點，則等于A.B.C.D.4、函數的圖象大致是（）.5、下列命題：（1）若“則”的逆命題；（2）“全等三角形面積相等”的否命題；（3）“若則的解集為”的逆否命題；（4）“若為有理數，則為無理數”.其中正確的命題是（）A.（3）（4）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（4）6、在復平面內，復數＋(1＋i)2對應的點位于()A.第一象限B.第四象限C.第三象限D.第二象限7、否定“自然數m，n，k中恰有一個奇數”時正確的反設為（）A.m，n，k都是奇數B.m，n，k都是偶數C.m，n，k中至少有兩個偶數D.m，n，k都是偶數或至少有兩個奇數8、下列各點中與（2，）不表示極坐標系中同一個點的是（）A.（2，-π）B.（2，π）C.（2，π）D.（2，π）評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)9、已知函數對于下列命題：

①函數f（x）的最小值是0；

②函數f（x）在R上是單調遞減函數；

③若f（x）＞1；則x＜-1；

④若函數y=f（x）-a有三個零點；則a的取值范圍是0＜a＜1；

⑤函數y=|f（x）|關于直線x=1對稱．

其中正確命題的序號是____．（填上你認為所有正確命題的序號）．10、規(guī)定運算則=____．11、Rt△ABC的三個頂點在給定的拋物線y2=2px（p＞0）上，斜邊AB平行于y軸且|AB|＞4p，則AB邊上的高|CD|=____．12、【題文】若且則的最小值為____13、【題文】在中，已知為它的三邊，且三角形的面積為則角C=____14、【題文】sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________15、【題文】設（），若△的內角滿足

則____________．16、矩形ABCD中；AD=2，AB=4，E，F分別為邊AB，AD的中點，將△ADE沿DE折起，點A，F折起后分別為點A′，F′，得到四棱錐A′-BCDE．給出下列幾個結論：

①A′；B，C，F′四點共面；

②EF'∥平面A′BC；

③若平面A′DE⊥平面BCDE；則CE⊥A′D；

④四棱錐A′-BCDE體積的最大值為．

其中正確的是______（填上所有正確的序號）．17、200

輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[50,60]

的汽車大約有______輛.

評卷人得分三、作圖題(共8題，共16分)18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）20、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

22、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）23、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）24、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共1題，共10分)25、如圖；正八面體P-ABCD-Q由兩個棱長都為a的正四棱錐拼接而成．

（Ⅰ）求PQ的長；

（Ⅱ）證明：四邊形PAQC是正方形；

（Ⅲ）求三棱錐A-PBC的體積．評卷人得分五、計算題(共4題，共36分)26、如圖，已知正方形ABCD的邊長是8，點E在BC邊上，且CE=2，點P是對角線BD上的一個動點，求PE+PC的最小值．27、1.（本小題滿分12分）已知數列滿足且（）。（1）求的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明。28、已知a為實數，求導數29、解關于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．評卷人得分六、綜合題(共3題，共15分)30、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．31、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．32、已知Sn為等差數列{an}的前n項和，S6=51，a5=13．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、A【分析】試題分析：由可排除B、D，又所以是偶函數，故的圖象關于y軸對稱，排除C，故選A．考點：函數的圖象．【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】試題分析：過點斜率不存在的直線為滿足與只有一個公共點，當斜率存在時，設直線為與聯(lián)立整理得當時，方程是一次方程，有一個解，滿足一個交點，當時由可得值有一個，即有一個公共點，所以滿足題意的直線有3條考點：直線與拋物線的位置關系【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】試題分析：考點：向量加法的坐標運算及向量的模【解析】【答案】A4、B【分析】解;因為函數關于直線x=1對稱，因此排除D，A，然后看選項C中，由于當x>1時，單調遞增，因此排除C，只能選B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】（1）的逆命題是“若則”，易知是假命題，因為當時不成立；（2）的否命題是“若兩個三角形不全等，則這兩三角形面積不相等”，易知是假命題；命題（3）成立的條件是或解得原命題與逆否命題等價，所以（3）正確；（4）若為有理數，則必為無理數，故為無理數，則（4）正確；所以答案選D.6、D【分析】【分析】所以對應的點位于第二象限.選D。

【點評】復數是一個?？嫉目键c，但一般只考查復數的運算，難度較低.7、D【分析】解：由于命題：“自然數m；n，k中恰有一個奇數”的否定為：“m，n，k都是偶數或至少有兩個奇數”；

故否定“自然數m；n，k中恰有一個奇數”時正確的反設為：“m，n，k都是偶數或至少有兩個奇數”；

故選：D．

求得命題：“自然數m；n，k中恰有一個奇數”的否定，即可得出結論．

本題主要考查反證法，求一個命題的否定，屬于基礎題．【解析】【答案】D8、C【分析】解：與極坐標（2，）相同的點可以表示為（2，+2kπ）（k∈Z），只有（2，π）不適合．

故選：C．

與極坐標（2，）相同的點可以表示為（2，+2kπ）（k∈Z）；即可判斷出．

本題考查了極坐標的性質，屬于基礎題．【解析】【答案】C二、填空題(共9題，共18分)9、略

【分析】

由于函數

則當x≤0時，圖象是由下移1個單位得到的；

當x＞0時；圖象是開口向下，對稱軸為x=1且最大值為1的二次函數圖象．如圖示。

由圖知；顯然①②為假命題；

③由于x＞0時，y=-x2+2x≤1，故f（x）＞1，即是解得x＜-1，故③對；

④由于函數y=f（x）-a有三個零點，即是f（x）=a有三個根，故需使a滿足

由圖知，f（x）極小值=0，f（x）極大值=1；故實數a的范圍是0＜a＜1；

⑤由于函數顯然函數y=|f（x）|的圖象不為軸對稱圖形，故⑤為假命題．

故答案為③④．

【解析】【答案】①由于x＞0時，y=-x2+2x為開口向下的二次函數；故①錯；

②由于x＞0時，y=-x2+2x在（0；1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，故②錯；

③由于x＞0時，y=-x2+2x≤1，故f（x）＞1，即是解出即可判斷③的對錯；

④由于函數y=f（x）-a有三個零點；即是f（x）=a有三個根，故需使a在函數函數y=f（x）的極大值與極小值之間即可；

⑤由于函數顯然函數y=|f（x）|的圖象不為軸對稱圖形．

10、略

【分析】

根據題目的新規(guī)定知，=1×2-（-i）i=2+i2=2-1=1．

故答案為：1．

【解析】【答案】根據新運算可知該運算式表示了兩對角相乘的差，注意a、b；c、d的位置．再利用復數的運算法則計算即可．

11、略

【分析】

由題意可得：A，B，C均在拋物線y2=2px（p＞0）上；并且斜邊AB平行于y軸；

所以A；B兩點關于x軸對稱；

設斜邊AB交y軸于點E，并且設A（b），B（-b），C（a），E（0）；

所以斜邊上的高|CD|=-=．

因為△ABC是直角三角形；由其性質直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；

所以|CE|=b；

又由兩點之間的距離公式可得：|CE|=

所以=b，平方整理可得：

所以得到即|CD|=2p．

故答案為：2p．

【解析】【答案】結合拋物線的方程與性質設出A；B，C，E的坐標，即可表達出斜邊上的高|CD|，再由直角三角形的性質得到斜邊上中線的長度，然后利用兩點之間的距離公式表達出中線的長度，即可得到一個等式，進而求出斜邊上的高得到答案．

12、略

【分析】【解析】

試題分析：因為且那么當時等號成立，故可知最小值為

考點：均值不等式。

點評：解決的關鍵是根據和定則積有最大值來求解，屬于基礎題?！窘馕觥俊敬鸢浮?3、略

【分析】【解析】

試題分析：由題意可知三角形的面積為又三角形的面積可以寫成所以

考點：本小題主要考查正弦定理；余弦定理和三角形面積公式的應用.

點評：正弦定理、余弦定理及其推理是經?？疾榈膬热?，要牢固掌握，靈活應用.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin（180°-75°）=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin（15°+75°）=sin90°=1

考點：兩角和與差的正弦函數．【解析】【答案】115、略

【分析】【解析】

試題分析：由誘導公式可得即

即所以

考點：三角函數的周期性.【解析】【答案】16、略

【分析】解：由題意知，矩形ABCD折疊后的圖由圖可知，F'點不在平面A'BC上，因此四點不共面，①說法錯誤；去A'C中點為G，連接F'G，GB，F'E如圖所以F'G為三角形A'DC的中位線，∵DC=2EB=2F'G∴F'G平行且等于EB，四邊形F'EBG是平行四邊形，∴EF'∥GB，GB?面A'BC，②正確；∵AB=2AD，∴DE⊥CE，DE為垂線，由面面垂直結論，CE⊥面A'DE，③正確；當面A'DE旋轉到與底面垂直時體積最大，為2．

故答案為：②③．

根據折疊前后圖形的特點逐個分析即可．

該題主要考察了空間四棱錐線與面的位置關系，以及線面平行，面面垂直定理的應用，涉及計算，屬于易錯題．【解析】②③17、略

【分析】解：由已知可得樣本容量為200

又隆脽

數據落在區(qū)間的頻率為0.03隆脕10=0.3

隆脿

時速在[50,60]

的汽車大約有200隆脕0.3=60

故答案為60

由已知中的頻率分布直方圖為200

輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖；我們可得到樣本容量，再由圖中分析出時速在[50,60]

的頻率，即可得到該組數據的頻數，進而得到答案．

本題考查的知識點是頻率分布直方圖，其中根據已知中的頻率分布直方圖結合頻率=

矩形高隆脕

組距計算各組的頻率是解答此類問題的關鍵．【解析】60

三、作圖題(共8題，共16分)18、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．21、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

22、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．24、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共1題，共10分)25、略

【分析】

（Ⅰ）連結PQ；交平面ABCD于O，取BC的中點E，連結PE；OE，利用勾股定理能求出PQ的長．

（Ⅱ）連結AC；推導出PA=AQ=QC=CP，且四邊形PAQC是矩形，由此能證明四邊形PAQC是正方形．

（Ⅲ）三棱錐A-PBC的體積VA-PBC=VP-ABC；由此能求出結果．

本題考查線段長的求法，考查四邊形是正方形的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．【解析】解：（Ⅰ）連結PQ，交平面ABCD于O，

則O是正方形ABCD的中心；

取BC的中點E；連結PE；OE；

在直角△POE中，∵OE=AB=PE=a；

∴PO==

∴PQ=2PO=．

證明：（Ⅱ）連結AC；∵PA=AQ=QC=CP；

∴四邊形PAQC是菱形；

∵AC=a=PQ；

∴四邊形PAQC是矩形；

∴四邊形PAQC是正方形．

解：（Ⅲ）三棱錐A-PBC的體積：

VA-PBC=VP-ABC===．五、計算題(共4題，共36分)26、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如圖；連接AE；

因為點C關于BD的對稱點為點A；

所以PE+PC=PE+AP；

根據兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的邊長為8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．27、略

【分析】【解析】

（1）由題得又則3分（2）猜想5分證明：①當時，故命題成立。②假設當時命題成立，即7分則當時，故命題也成立。11分綜上，對一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。28、解：【分析】【分析】由原式得∴29、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；

因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0；

若a=0；不等式化為﹣2（x﹣2）＞0，則解集為{x|x＜2}；

若a≠0時，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的兩根分別為2；

①若a＜0，則＜2，此時解集為{x|＜x＜2}；

②若0＜a＜1，則＞2，此時解集為{x|x＜2或x＞}；

③若a=1，則不等式化為（x﹣2）2＞0；此時解集為{x|x≠2}；

④若a＞1，則＜2，此時解集為{x|x＞2或x＜}【分析】【分析】已知不等式左邊分解因式后，分a=0與a≠0兩種情況求出解集即可．六、綜合題(共3題，共15分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系數法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最??；點D的位置即為所求．（5分）

設直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數求點D的坐標也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接A