2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形2.3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE7課時(shí)作業(yè)15解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°與60°，而且兩條船與炮臺底部的兩條連線成30°夾角，則兩條船之間的距離為(C)A．10m B．100mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(2)m解析：設(shè)炮臺頂部為A，炮臺底部為D，兩條船分別為B，C，∠BAD＝45°，則∠CAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30.在Rt△ABD，Rt△ACD中分別可得DB＝30，DC＝10eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°＝300，所以BC＝10eq\r(3)，即兩條船之間的距離為10eq\r(3)m.2．如圖，兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站南偏西40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(D)A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.3．甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(B)A．d1>d2 B．d1<d2C．d1>20m D．d2<20m解析：由tan50°＝eq\f(20,d1)，tan40°＝eq\f(20,d2)及tan50°>tan40°可知，d1<d2.4．一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過eq\r(3)h，則船實(shí)際航程為(B)A．2eq\r(15)kmB．6kmC．2eq\r(21)kmD．8km解析：如圖所示，在△ACD中，AC＝2eq\r(3)，CD＝4eq\r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝36.∴AD＝6.即該船實(shí)際航程為6km.5．在一幢20m高的樓頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°(如圖所示)，那么這座塔的高是(B)A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))mB．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析：由題意知CE＝AE·tan60°＝20eq\r(3).∴CD＝DE＋CE＝20＋20eq\r(3)＝20(1＋eq\r(3))．6．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(B)A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－eq\f(1,2))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a(km)．7．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(A)A.eq\f(17\r(6),2)海里/時(shí) B．34eq\r(6)海里/時(shí)C.eq\f(17\r(2),2)海里/時(shí) D．34eq\r(2)海里/時(shí)解析：如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/時(shí))．8．線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)起先________h后，兩車的距離最?。?C)A.eq\f(69,43)B．1C.eq\f(70,43)D．2解析：如圖所示，設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因?yàn)锳B＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時(shí)t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.當(dāng)t＝eq\f(70,43)時(shí)，DE最小．二、填空題9．如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B和對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，則河的寬度為60(eq\r(3)－1)米．解析：如圖，過C點(diǎn)作CD⊥AB于D，設(shè)BD＝x，則CD＝x，AD＝120－x，又∵∠CAB＝30°，∴eq\f(x,120－x)＝eq\f(\r(3),3)，解之得，x＝60(eq\r(3)－1)．10．某海疆上有A、B、C三個(gè)小島，已知A，B之間相距8nmile，A，C之間相距5nmile，在A島測得∠BAC為60°，則B島與C島相距7nmile.解析：由題意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49，則B島與C島相距7nmile.11．如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)覺張角∠ABC＝120°；從B處攀登400m到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)覺張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800m到達(dá)C處，則索道AC的長為400eq\r(13)m.解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°.∵∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD＝400，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB×BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，AC＝400eq\r(13).三、解答題12.如圖，A、B是一條河岸邊兩點(diǎn)，相距800m，河對岸有一鐵塔，在A點(diǎn)測得塔頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求塔高CD.解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．13．現(xiàn)有一個(gè)雷達(dá)觀測站A，某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40eq\r(2)海里的B處，經(jīng)過40分鐘，又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東(45°＋θ)(其中sinθ＝eq\f(\r(26),26)，0°<θ<90°)且與點(diǎn)A相距10eq\r(13)海里的C處．求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí))．解：如圖所示，AB＝40eq\r(2)，AC＝10eq\r(13)，∠BAC＝θ，sinθ＝eq\f(\r(26),26).由于0°<θ<90°，所以cosθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)))2)＝eq\f(5\r(26),26).由余弦定理得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ)＝10eq\r(5)，所以船的行駛速度為eq\f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq\r(5)(海里/時(shí))．——實(shí)力提升類——14．如圖，一艘海輪從A處動(dòng)身，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(A)A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：由題意AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°，由正弦定理，得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，所以BC＝10eq\r(2)海里，故選A.15．某市電力部門在一次救災(zāi)過程中，須要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能干脆測量A，B兩地距離．現(xiàn)測量人員在相距eq\r(3)km的C，D兩地(假設(shè)A，B，C，D在同一平面上)，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等緣由，實(shí)際所需電線長度大約是A，B距離的eq\f(4,3)倍，問施工單位至少應(yīng)打算多長的電線？解：在△ACD中，由已知可得，∠CAD＝30°，所以AC＝eq\r(3)km，在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).cos75°＝cos(45°＋30°)＝eq