福建省廈門海滄實驗中學2024屆高三綜合題（三）數學試題（文史類）試題

福建省廈門海滄實驗中學2023屆高三綜合題（三）數學試題（文史類）試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．定義在上的函數與其導函數的圖象如圖所示，設為坐標原點，、、、四點的橫坐標依次為、、、，則函數的單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．是邊長為的等邊三角形，、分別為、的中點，沿把折起，使點翻折到點的位置，連接、，當四棱錐的外接球的表面積最小時，四棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．復數滿足，則（）A． B． C． D．5．設為自然對數的底數，函數，若，則()A． B． C． D．6．已知復數，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．7．已知函數,則函數的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知f(x)=是定義在R上的奇函數，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)9．已知點、．若點在函數的圖象上，則使得的面積為的點的個數為（）A． B． C． D．10．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．11．已知函數，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．202012．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_________，該幾何體的表面積為_________．14．某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過個，則該外商不同的投資方案有____種．15．設復數滿足,則_________.16．曲線在點處的切線方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若時，解不等式；（2）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.18．（12分）已知，且的解集為.（1）求實數，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面積．21．（12分）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）若，，且數列前項和為，求的取值范圍．22．（10分）如圖，已知在三棱臺中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．2．B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數的圖象，虛線部分為其導函數的圖象，求出函數的導數為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數的圖象，則該函數只有一個極值點，但其導函數圖象（實線）與軸有三個交點，不合乎題意；若實線部分為函數的圖象，則該函數有兩個極值點，則其導函數圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個交點，合乎題意.對函數求導得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數的單調遞減區(qū)間為.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用圖象辨別函數與其導函數的圖象，考查推理能力，屬于中等題.3．D【解析】

首先由題意得，當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現，的中點即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進而可根據四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設為梯形的外接圓圓心，當也為四棱錐的外接球球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點，交于點，連接，點必在上，、分別為、的中點，則必有，，即為直角三角形.對于等腰梯形，如圖：因為是等邊三角形，、、分別為、、的中點，必有，所以點為等腰梯形的外接圓圓心，即點與點重合，如圖，，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關鍵是要找到外接球球心的位置，這個是一個難點，考查了學生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.4．C【解析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.5．D【解析】

利用與的關系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.6．A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.7．A【解析】

用排除法，通過函數圖像的性質逐個選項進行判斷，找出不符合函數解析式的圖像，最后剩下即為此函數的圖像.【詳解】設，由于，排除B選項；由于，所以，排除C選項；由于當時，，排除D選項.故A選項正確.故選：A【點睛】本題考查了函數圖像的性質，屬于中檔題.8．C【解析】

由奇函數的性質可得，進而可知在R上為增函數，轉化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數.又，所以，解得.故選：C.【點睛】本題考查了函數單調性和奇偶性的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.9．C【解析】

設出點的坐標，以為底結合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的方程，求出方程的解，即可得出結論.【詳解】設點的坐標為，直線的方程為，即，設點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題．10．B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題.11．C【解析】

首先，根據二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，根據所求函數的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點睛】本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．12．D【解析】

如圖所示，設依次構成等差數列，其公差為.根據橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．；【解析】試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐，底面是邊長為的正方形，平面平面，并且，，所以體積是，解得，四個側面都是直角三角形，所以計算出邊長，表面積是考點：1．三視圖；2．幾何體的表面積．14．60【解析】試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共種.考點：排列組合.15．.【解析】

利用復數的運算法則首先可得出，再根據共軛復數的概念可得結果.【詳解】∵復數滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點睛】本題考查了復數的運算法則，共軛復數的概念，屬于基礎題．16．【解析】

求導，得到和，利用點斜式即可求得結果.【詳解】由于，，所以，由點斜式可得切線方程為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）零點分段法，分，，討論即可；（2）當時，原問題可轉化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時，，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數，考查學生的運算能力，是一道容易題.18．（1），；（2）【解析】

（1）解絕對值不等式得，根據不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，，，.過點向引垂線，垂足為，則.化簡得：，（舍）或.故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求法，以及絕對值不等式在幾何中的應用，屬于中檔題.19．（1），；（2）或【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB＝1，結合sinB＞1，可求tanA＝，結合范圍A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．【詳解】（1）∵bcosA﹣asinB＝1．∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB＝1，∵sinB＞1，∴cosA＝sinA，∴tanA＝，∵A∈（1，π），∴A＝；（2）∵a＝2，B＝，A＝，∴C＝，根據正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝6．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．21．（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時，可得，根據等比數列的通項可求（2）由，而，利用裂項相消法可求.【詳解】（1）當時，，解得，當時，①②②①得，即，數列是以2為首項，2為公比的等比數列，；（2）∴，∴，，.【點睛】本題考查遞推公式在數列的通項求解中的應用，等比數列的通項公式、裂項求和方法，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．22．（1）證明見解析；（2）2【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設條件，得到，利用線面垂直的判