人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示-第一課時(shí)【課件】

6.3.5

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1）主講人：宋群霞

學(xué)

校：北京市第八十中學(xué)學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教版） 年 級(jí)：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過(guò)程教，重并點(diǎn)能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行運(yùn)算；會(huì)利用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模；教能難利點(diǎn)用兩個(gè)向量的坐標(biāo)求向量的夾角．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：1. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;教重2點(diǎn).

向量的模和夾角的坐標(biāo)表示.難點(diǎn):運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示, 向教難量點(diǎn)的模和夾角的坐標(biāo)表示解決一些相關(guān)的問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)6.3

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量基本定理本節(jié)的內(nèi)容在第六章第三節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的位置.高中數(shù)學(xué)知識(shí)回顧設(shè)

a,

b

是非零向量，它們的夾角為

θ，則a· b＝

,cosθ＝

,a· a＝

或|a|＝

,a⊥b ?

.現(xiàn)在，請(qǐng)你按下暫停鍵，用 2

分鐘的時(shí)間做一下知識(shí)回顧.高中數(shù)學(xué)知識(shí)回顧若

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則

a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

．高中數(shù)學(xué)|a||b|cosθ＝

a·b

,a

a

,a· a＝|a|2 或|a|＝a⊥b ?

a· b＝0.知識(shí)回顧設(shè)

a,

b是非零向量，它們的夾角為

θ，則a· b＝|a||b|cosθ

,高中數(shù)學(xué)知識(shí)回顧若

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．高中數(shù)學(xué)探索新知一.

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;二.

向量的模和夾角的坐標(biāo)表示.高中數(shù)學(xué)探索新知一. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用

a

與

b

的坐標(biāo)表示

a· b呢？高中數(shù)學(xué)探索新知∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2

j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2

j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2

j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j(luò)·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.高中數(shù)學(xué)探索新知a·b＝x1x2＋y1y2兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．高中數(shù)學(xué)探索新知二.

向量的模和夾角的坐標(biāo)表示.若

a＝(x，y)，如何計(jì)算向量

a的模|a|?∵a＝xi＋yj，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝ x2＋y2.a2＝|a|2高中數(shù)學(xué)探索新知另一種方法：已知

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則

a·b＝x1x2＋y1y2.

令

b＝a，則

a·a＝x1

x1＋y1

y1，∴a2＝x1＋y1

，2 2∴|a|2＝x1＋y1

，2 2∴

|a|＝211x2y .高中數(shù)學(xué)探索新知如果表示向量

a

的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計(jì)算向量

a

的模？高中數(shù)學(xué)探索新知

a＝

AB

＝

(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，

∴|a|＝|

AB

|＝

x2－x1

2＋

y2－y1

2.高中數(shù)學(xué)探索新知設(shè)

a，b

都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ

是a

與b

的夾角，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋y2· x2＋y21 1 2 2.高中數(shù)學(xué)a·b＝x1x2＋y1y2|a|＝x2

y21 1|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋y2· x2＋y21 1 2 2探索新知已知

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果表示向量

a

的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |a|＝|

|＝

x2－x1

2＋

y2－y1

2.AB高中數(shù)學(xué)例題講解例

1. 設(shè)

a ＝

(5，

7)，b＝(

6，

4)，求

a·b及

a，b

間的夾角θ(精確到

1o)

.現(xiàn)在，請(qǐng)你按下暫停鍵，用

2

分鐘的完成.高中數(shù)學(xué)例題講解例

1. 設(shè)

a ＝

(5，

7)，b＝(

6，

4)，求

a·b及

a，b

間的夾角θ(精確到

1o)

.解：a·b＝5×(－6) ＋(

7)×(

4)＝

－30＋28=－2.52因?yàn)閨a|＝

(

7)2＝74

，|b|＝(

6)2

(

4)2＝52

，高中數(shù)學(xué)|a||b|cosθ＝

a·b

＝

274

52

0.03.

利用計(jì)算器的“ cos

1”鍵,得

θ

92°.例題講解所以用計(jì)算器計(jì)算可得高中數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)：已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a

與

b

的夾角.現(xiàn)在，請(qǐng)你按下暫停鍵，用

2

分鐘的完成.高中數(shù)學(xué)5，a·b＝5.解: ∵|a|＝ 10，|b|＝設(shè)

a

與

b

的夾角為

θ，10×

5|a||b|

2∴cosθ＝

a·b

＝

5 ＝

2.又∵a，b

的夾角范圍為[0，π]．4∴a

與

b

的夾角為π.高中數(shù)學(xué)例題講解例2

用向量方法證明兩角差的余弦公式cos(

)

cos

cos

sin

sin

.此公式是必修一

5.5

三角恒等變換這節(jié)我們學(xué)習(xí)的第一個(gè)公式,你還記得是怎么證明的嗎?高中數(shù)學(xué)第一步第二步高中數(shù)學(xué)第三步高中數(shù)學(xué)例題講解證明:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系

xOy內(nèi)作單位圓

O，以x

軸的非負(fù)半軸為始邊作角

,

,它們的終邊與單位圓

O

的交點(diǎn)分別為

A,B.則A(cos

,sin

)，B(cos

,sin

).

OA

(cos

,sin

)

，OB

(cos

,sin

).

高中數(shù)學(xué)

例題講解由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有OA

OB

cos

cos

sin

sin

.設(shè)

與

的夾角為

θ，則OA OBOA

OBOA OB

|

|· |

|cosθ＝cos

θ.所以

cos

θ＝cos

cos

sin

sin

.高中數(shù)學(xué)例題講解另一方面，θ 是向量

與

的夾角，OA OB那么

θ

與

,

又有什么關(guān)系呢？高中數(shù)學(xué)例題講解由圖(1)可知

2k

,

2k

；

由圖(2)可知

2k

,

2k

.

高中數(shù)學(xué)例題講解運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索，過(guò)程多么簡(jiǎn)潔啊！于是

2k

,k

Z

.所以 cos(

)

cos

.∴

cos(

)

cos

cos

sin

sin

.高中數(shù)學(xué)a·b＝x1x2＋y1y2|a|＝x2

y21 1|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋