2025屆湖南衡陽(yáng)縣四中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試卷附答案解析

屆湖南衡陽(yáng)縣四中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試卷2025.01第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A．2 B．1 C． D．3．“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知平面向量滿足，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．6．將甲、乙等6位身高各不相同的同學(xué)平均分為兩組，甲、乙在這六位同學(xué)中身高（從高到低）分別排在第4、3位，則分成的兩組中甲不是所在組最矮的且乙不是所在組最高的分組方式共有（

）種.A． B． C． D．7．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是10．若數(shù)列滿足，，設(shè)，則（

）A．B．C．D．若數(shù)列的前項(xiàng)和為30，則或11．如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．若，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段C．若，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為D．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的體積最大第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)，則.13．關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值為.14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且的最小值為，則橢圓的離心率是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，外接圓半徑為2，的角平分線與交于點(diǎn).求的長(zhǎng).16．（15分）已知數(shù)列滿足，且，其前項(xiàng)和記為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是斜邊為AD的等腰直角三角形，

(1)求證：平面(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（17分）已知.(1)若，證明：存在唯一零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．（17分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線交直線于點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

數(shù)學(xué)答案1．【答案】C解析：，A?BA錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確，D錯(cuò)誤．故選：C.2．【答案】B解析：，故選：B3．【答案】B解析：依題意，函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以且，即．時(shí)不能得到，時(shí)一定滿足，所以“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的必要不充分條件．故選：B.4．【答案】D解析：由，得，因?yàn)椋?，解得，所以，因此，向量與向量的夾角為.故選：D.5．【答案】B解析：由題意可知，則，，點(diǎn)在橢圓上，則，結(jié)合，解得，故，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，即的最大值為，故選：B6．【答案】B解析：將6人身高從高到低依次標(biāo)號(hào)為：1、2、3、4、5、6法一：用間接法求解：此事件的反面是“甲是本組的最矮的或乙是本組最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一組：只有124、356一種排法；②甲、乙在同一組：以上命題不可能同時(shí)成立，注意到剩下四人任取一人與甲乙同組均符合題意，所以由種選法，共有種選法.而平均分組共有種方式，所以共有種選法.法二：用直接法求解：①甲、乙在同一組：容易發(fā)現(xiàn)這是不可能的；②甲、乙不在同一組：那么1、2中至少有一位與乙一組，5、6中至少有一位與甲一組，取該事件的反面，即：1、2均不與乙一組且5、6均不與甲一組，4人均分兩組共有種分法，符合事件反面的只有356、124一種，所以共有=5種分法.故選：B.7．【答案】A解析：解法1：如圖，設(shè)正三棱柱外接球的球心為，半徑為.記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，由正弦定理得：.而為的中點(diǎn)，所以則故選:A.解法2：設(shè)正三棱柱外接球的半徑為因正三棱柱的高為，由對(duì)稱性知其外接球球心必在高線的中點(diǎn)，故此時(shí).故選:A.8．【答案】D解析：由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，則，可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓C:，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉殁g角，可知圓C在以為直徑的圓內(nèi)，可得，因?yàn)榈街本€的距離，可知，可得，所以，所以的取值范圍是.故選：D.9．【答案】AB解析：由函數(shù)圖象可得，由，解得，故A正確；所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即，所以，，即，，又，所以，∴，對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，又，，，故方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，則的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10．【答案】BC解析：對(duì)于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榈那皟身?xiàng)為奇數(shù)，奇數(shù)與奇數(shù)的和為偶數(shù)，偶數(shù)與奇數(shù)的和為奇數(shù)，所以的各項(xiàng)為奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，所以為奇偶偶，奇偶偶，奇偶偶，因?yàn)?，所以各?xiàng)為，周期為3，其中，，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楦黜?xiàng)為，周期為3，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楦黜?xiàng)為，周期為3，所以，，，則每組和值為1，若數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為30，即，所以，或，故D錯(cuò)誤，故選：BC.11．【答案】ABD解析：對(duì)于A，將正方體的下面和右面展開(kāi)可得如下圖形，連接，

則，因此A到點(diǎn)P的最短路程為，對(duì)；對(duì)于B，建系如圖，設(shè)，

所以，，即，又是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)和靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)的連線段，對(duì)；對(duì)于C，由B選項(xiàng)過(guò)程可得，整理得，所以M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑是以為圓心，為半徑的圓，而點(diǎn)到的距離等于，所以要保持，則點(diǎn)M在側(cè)面外，所以點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為0，錯(cuò)；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離等于，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，當(dāng)，即M與D點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的高最大，又的面積為定值，所以M與D重合時(shí)，三棱錐的體積最大，對(duì).故選：ABD12．【答案】解析：因?yàn)?，所以，得到，解得，故答案為?13．【答案】解析：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以且方程的解為，則，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.14．【答案】/解析：如下圖所示：易知，又的最小值為可得的最小值為，根據(jù)焦半徑公式可得的最小值為，即可知,所以，又，所以，整理可得，即，可得，即，解得.故答案為：15．解析：（1）因?yàn)椋?即,即,因?yàn)?，所?（2）.所以，從而，所以，因?yàn)橥饨訄A半徑為，所以外接圓直徑為，由正弦定理得，所以因?yàn)榈慕瞧椒志€為，所以，所以在中，由正弦定理得，即，解得16．解析：（1）因?yàn)?，所以，所以是公差為的等差?shù)列．又，所以，從而公差為1，所以．（2），，所以，因?yàn)椋?，不等式得證.17．解析：（1）平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，，平面PAD，平面，又且，PA、平面平面PAB；（2）取AD中點(diǎn)為O，連接PO、CO，又，則，，則，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)為平面PCD的一個(gè)法向量，由，得，令，則，設(shè)PB與平面PCD所成角的角為，（3）假設(shè)在棱PB上存在點(diǎn)M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為，由可知，，，設(shè)設(shè)為平面ADM的一個(gè)法向量，由得，則，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ADM與平面ABCD的夾角為，，

18．解析：（1）由題意，，則，由于，所以，則，又，所以，進(jìn)而，所以在上單調(diào)遞減，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).（2），，則，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)單調(diào)遞減，，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，，故，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，而，，所以當(dāng)時(shí)