2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性訓(xùn)練含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE8-第五章5.35.3.5請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成[練案21]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)是(D)A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]由P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))得P(A)P(eq\x\to(B))＝P(B)·P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)．∴P(A)＝eq\f(2,3)．故選D．2．投擲一枚勻稱硬幣和一枚勻稱骰子各一次，記“硬幣正面對(duì)上”為事務(wù)A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事務(wù)B，則事務(wù)A、B中至少有一件發(fā)生的概率是(C)A．eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12) D．eq\f(3,4)[解析]由題意P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，事務(wù)A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率P＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12)．3．甲、乙兩人獨(dú)立地解決同一個(gè)問題，甲能解決這個(gè)問題的概率是P1，乙能解決這個(gè)問題的概率是P2，那么至少有一人能解決這個(gè)問題的概率是(D)A．P1＋P2 B．P1P2C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)[解析]甲能解決這個(gè)問題的概率是P1，乙能解決這個(gè)問題的概率是P2，則甲不能解決這個(gè)問題的概率是1－P1，乙不能解決這個(gè)問題的概率是1－P2，則甲、乙都不能解決這個(gè)問題的概率是(1－P1)(1－P2)，則至少有一人能解決這個(gè)問題的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故選D．4．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]所求概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)或P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12)．5．三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，且是相互獨(dú)立的．將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是(A)A．eq\f(15,32) B．eq\f(9,32)C．eq\f(7,32) D．eq\f(17,32)[解析]記“三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作”分別為事務(wù)A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4)．不發(fā)生故障的事務(wù)為(A2∪A3)∩A1，∴不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝[1－P(eq\x\to(A2))·P(eq\x\to(A3))]·P(A1)＝(1－eq\f(1,4)×eq\f(1,4))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32)．故選A．二、填空題6．一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為eq\f(1,2)，乙生解出它的概率為eq\f(1,3)，丙生解出它的概率為eq\f(1,4).由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為__eq\f(11,24)__．[解析]甲生解出，而乙、丙不能解出為事務(wù)A1，則P(A1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，乙生解出，而甲、丙不能解出為事務(wù)A2，則P(A2)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,8)，丙生解出，而甲、乙不能解出為事務(wù)A3，則P(A3)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,12)．甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24)．7．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)，有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為__eq\f(5,16)__．[解析]由題意得，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4)．設(shè)甲，乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，即甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為eq\f(5,16)．8．某次學(xué)問競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于__0.128__．[解析]此選手恰好回答4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪，說明此選手第2個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第3、第4個(gè)問題均回答正確，第1個(gè)問題答對(duì)答錯(cuò)都可以．因?yàn)槊總€(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，故所求的概率為1×0.2×0.82＝0.128．三、解答題9．某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，依據(jù)平常訓(xùn)練狀況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成果在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100米跑的成果進(jìn)行一次測(cè)試，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大．[解析]記甲、乙、丙三人100米跑成果合格分別為事務(wù)A，B，C，明顯事務(wù)A，B，C相互獨(dú)立，P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3)．設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)．(2)三人都不合格的概率P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10)．(3)恰有兩人合格的概率P2＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60)．恰有一人合格的概率P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12)．綜合(1)(2)可知P1最大．所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大．10．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事務(wù)是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(1,3).求：(1)這名學(xué)生在途中遇到4次紅燈的概率；(2)這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過了3個(gè)路口的概率；(3)這名學(xué)生至少遇到一次紅燈的概率．[解析](1)設(shè)事務(wù)A為在途中遇到4次紅燈，P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×5＝eq\f(10,243)．(2)設(shè)首次停車前經(jīng)過3個(gè)路口為事務(wù)B，則P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81)．(3)設(shè)至少遇到一次紅燈為事務(wù)C，則其對(duì)立事務(wù)為全遇到綠燈，所以P(C)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))5＝eq\f(211,243)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動(dòng)時(shí)，均從一片荷葉跳到另一個(gè)荷葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,27)[解析]由已知逆時(shí)針跳一次的概率為eq\f(2,3)，順時(shí)針跳一次的概率為eq\f(1,3).則逆時(shí)針跳三次停在A上的概率為P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，順時(shí)針跳三次停在A上的概率為P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3)．2．從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率為eq\f(1,3)，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是eq\f(1,2)，從兩個(gè)袋內(nèi)各摸1個(gè)球，那么概率為eq\f(5,6)的事務(wù)是(C)A．2個(gè)球都是白球 B．2個(gè)球都不是白球C．2個(gè)球不都是白球 D．2個(gè)球中恰好有1個(gè)白球[解析]從甲袋內(nèi)摸出白球與從乙袋內(nèi)摸出白球兩事務(wù)相互獨(dú)立，故兩個(gè)球都是白球的概率為P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，∴兩個(gè)球不都是白球的概率為P＝1－P1＝eq\f(5,6)．3．(多選題)擲一枚硬幣兩次，記事務(wù)A＝“第一次出現(xiàn)正面”，B＝“其次次出現(xiàn)反面”，下列結(jié)論錯(cuò)誤的為(BCD)A．A與B相互獨(dú)立 B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．A與B互斥 D．P(AB)＝eq\f(1,2)[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得事務(wù)A的發(fā)生與否對(duì)事務(wù)B發(fā)生的概率沒有影響，所以A與B相互獨(dú)立，所以A中結(jié)論正確．對(duì)于選項(xiàng)B，C，由于事務(wù)A與B可以同時(shí)發(fā)生，所以事務(wù)A與B不互斥，故選項(xiàng)B，C中結(jié)論不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，由于A與B相互獨(dú)立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,4)，所以D中結(jié)論不正確．4．體育課上定點(diǎn)投籃項(xiàng)目測(cè)試規(guī)則：每位同學(xué)有3次投籃機(jī)會(huì)，一旦投中，則停止投籃，視為合格，否則始終投3次為止．每次投中與否相互獨(dú)立，某同學(xué)一次投籃投中的概率為p，若該同學(xué)本次測(cè)試合格的概率為0.784，則p＝(A)A．0.4 B．0.6C．0.1 D．0.2[解析]由題意可得p＋p(1－p)＋p(1－p)2＝0.784，整理可得p(2－p＋1－2p＋p2)＝p(p2－3p＋3)＝0.784，將各選項(xiàng)中的數(shù)分別代入方程可知A項(xiàng)正確．二、填空題5．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，則取得同色球的概率為__eq\f(1,2)__．[解析]設(shè)“從甲袋中取白球”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).設(shè)“從乙袋中取白球”為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).取得同色球?yàn)锳B＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))．P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．6．甲、乙、丙三人將參與某項(xiàng)測(cè)試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是__0.24__，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是__0.96__．[解析]三人都達(dá)標(biāo)的概率為0.8×0.6×0.5＝0.24．三人都不達(dá)標(biāo)的概率為(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－0.04＝0.96．三、解答題7．計(jì)算機(jī)考試分理論考試和上機(jī)操作考試兩部分，每部分考試成果只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”則計(jì)算機(jī)考試合格并頒布合格證書．甲、乙、丙三人在理論考試中合格的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)；在上機(jī)操作考試中合格的概率分別為eq\f(9,10)，eq\f(5,6)，eq\f(7,8)，全部考試是否合格相互之間沒有影響．(1)甲、乙、丙三人在同一計(jì)算機(jī)考試中誰獲得合格證書的可能性最大？(2)求這三人計(jì)算機(jī)考試都獲得合格證書的概率．[解析]記“甲理論考試合格”為事務(wù)A1，“乙理論考試合格”為事務(wù)A2，“丙理論考試合格”為事務(wù)A3；記“甲上機(jī)考試合格”為事務(wù)B1，“乙上機(jī)考試合格”為事務(wù)B2，“丙上機(jī)考試合格”為事務(wù)B3．(1)記“甲計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”為事務(wù)A，“乙計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”為事務(wù)B，“丙計(jì)算機(jī)考試獲得合格證書”為事務(wù)C，則P(A)＝P(A1)P(B1)＝eq\f(3,5)×eq\f(9,10)＝eq\f(27,50)，P(B)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(3,4)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,8)，P(C)＝P(A3)P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,12)，因?yàn)镻(B)＞P(C)＞P(A)，故乙獲得合格證書的可能性最大．(2)記“三人計(jì)算機(jī)考試都獲得合格證書”為事務(wù)D．P(D)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(27,50)×eq\f(5,8)×eq\f(7,12)＝eq\f(63,320)．所以，三人計(jì)算機(jī)考試都獲得合格證書的概率是eq\f(63,320)．8．甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,4)，乙機(jī)床加工的