2第二節(jié)根軌跡繪制的基本準則教學教案

Friday,January24,20251第二節(jié)根軌跡繪制的基本準則Friday,January24,202522、根軌跡的對稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數是實數，其根必為實根或共軛復根。即位于復平面的實軸上或對稱于實軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關系，根軌跡的特殊點，漸近線和其他性質將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數的180度根軌跡的性質。根軌跡的連續(xù)性和對稱性1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數是增益的函數。當從0到無窮變化時，這些系數是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。Friday,January24,202534、根軌跡的起點和終點：

根軌跡方程為：

時為起點，時為終點。根軌跡的支數和起始點3、根軌跡的支數：

n階特征方程有n個根。當從0到無窮大變化時，n個根在復平面內連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數等于系統(tǒng)階數。當時，只有時，上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。Friday,January24,20255根軌跡的漸近線5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點數m小于開環(huán)極點數n，則當系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，Friday,January24,20256根軌跡的漸近線當Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當時，，令，Friday,January24,20257根軌跡的漸近線設s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據德莫弗(DeMoive)代數定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為Friday,January24,20258根軌跡的漸近線這是與實軸交點為－s，斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為Friday,January24,202595.根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個內容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。

傾角：設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時針為正，順時針為負。根軌跡漸近線的傾角Friday,January24,202510

漸近線與實軸的交點假設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J為：對無限遠閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。幅值條件：根軌跡漸進線與實軸的交點Friday,January24,202511根軌跡漸進線與實軸的交點Friday,January24,202512[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：，試確定根軌跡支數，起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的傾角：零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。Friday,January24,2025136、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數和極點數的總和為奇數。[證明]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復平面上有一對共軛極點p3、

p4和一對共軛零點z1、z2

。先看試驗點s1點：所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡②成對出現的共軛零點z1、

z2對實軸上任意試探點構成的兩個向量的相角之和為0°；③試探點左邊的極點p2對試探點構成的向量的相角為0°；④試探點右邊的極點p1對試探點構成的向量的相角為180°；再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。①成對出現的共軛極點p3、

p4對實軸上任意試探點構成的兩個向量的相角之和為0°；同樣s3點也不是根軌跡上的點。Friday,January24,202514[例4-3]設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：試求實軸上的根軌跡。[解]：零極點分布如下：

紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。實軸上的根軌跡例題Friday,January24,2025157、根軌跡的會合點和分離點：

若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。實軸上的會合點和分離點如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實軸上A點相遇再分離進入復平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當時，一支根軌跡終止于另一支走向。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。Friday,January24,2025167、根軌跡的會合點和分離點：

若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。

一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。實軸上的會合點和分離點Friday,January24,202517[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：即[分離角]：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數k有關：。實軸上的會合點和分離點的求法因閉環(huán)特征方程為：設時，特征方程有重根，則必同時滿足Friday,January24,202518由此得：即：實軸上的會合點和分離點的求法注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應的增益，若增益為大于零的實數，則所求出的點為分離會合點。Friday,January24,202519②極值法：參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標，以實軸為橫坐標，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。實軸上的會合點和分離點的求法即Friday,January24,202520③求分離回合點的另一個公式實軸上的會合點和分離點的求法設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為：重根時還滿足Friday,January24,202521實軸上的會合點和分離點的求法Friday,January24,202522[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點和會合點也可能出現在復平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。顯然，分離回合點為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點。[解]：閉環(huán)特征方程為：Friday,January24,2025238、根軌跡的出射角和入射角：當開環(huán)零、極點處于復平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復零點的終止角成為入射角。如圖：圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。 為共軛極點，現計算的出射角。設為。在離開附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應滿足相角條件：當時，即為離開根軌跡上的出射角，，則：根軌跡的出射角和入射角Friday,January24,202524式中：為除了以外的開環(huán)極點到的矢量的相角；為開環(huán)零點到的矢量的相角。同樣，進入復零點的根軌跡入射角為：式中：為除了以外的開環(huán)零點到的矢量相角；為各開環(huán)極點到的矢量相角。

的出射角應與的出射角關于實軸對稱。根軌跡的出射角和入射角Friday,January24,202525[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復數共軛極點的出射角。[解]：根據對稱性，可知點的出射角為：請根據相角條件自行計算。

相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負；注意矢量的方向。[注意]：Friday,January24,2025269、根軌跡和虛軸的交點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出

和

。

由勞斯穩(wěn)定判據求解。根軌跡和虛軸的交點Friday,January24,202527方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數為：

，試求根軌跡與虛軸的交點和。當時，為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當

時，

，即根軌跡與虛軸的交點為

。Friday,January24,202528方法二：用勞斯穩(wěn)定判據確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點）。Friday,January24,20252910、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：開環(huán)傳遞函數為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：(1)設閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：

，則(2)閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積Friday,January24,202530比較（1）、（2）式得：

當n-m>=2時，

，即：對于任意的

，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數。表明：當

變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變?。?。

閉環(huán)極點之積為：

根據上述10個性質（或準則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準確起見，可以用相角條件試探之。閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積當有為零的開環(huán)極點：Friday,January24,202531根軌跡作圖步驟一、標注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點；結合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質畫出根軌跡。Friday,January24,202532⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：Friday,January24,202533⒍求分離會合點：由特征方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將代入得為復數。Friday,January24,20