2024秋高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.4全稱(chēng)量詞與存在量詞課堂演練含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-第一章常用邏輯用語(yǔ)1.4全稱(chēng)量詞與存在量詞A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．以下四個(gè)命題既是特稱(chēng)命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)＞2解析：A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱(chēng)命題；B中x＝0時(shí)，x2＝0，所以B既是特稱(chēng)命題又是真命題；C中因?yàn)閑q\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對(duì)于任一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)＜0，所以D是假命題．答案：B2．下列命題中，是全稱(chēng)命題且是真命題的是()A．對(duì)隨意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對(duì)角線相等C．?x∈R，eq\r(x2)＝xD．對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)解析：A中的命題是全稱(chēng)命題，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命題；B中的命題是全稱(chēng)命題，但是假命題；C中的命題是全稱(chēng)命題，但eq\r(x2)＝|x|，故是假命題；很明顯D中的命題是全稱(chēng)命題且是真命題，故選D.答案：D3．命題“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0?R，xeq\o\al(2,0)≠x0 D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0解析：全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題“?x∈R，x2≠x”的否定是“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0”．答案：D4．下列命題中是假命題的是()A．?x0∈R，lgx0＝0 B．?x0∈R，tanx0＝1C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R，2x>0解析：對(duì)于A，當(dāng)x＝1時(shí)，lgx＝0，正確；對(duì)于B，當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，tanx＝1，正確；對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，x3<0，錯(cuò)誤；對(duì)于D，?x∈R，2x>0，正確．答案：C5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2－2ax)＜33x＋a2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＞eq\f(3,4)C．0＜a＜eq\f(3,4) D．a(chǎn)＜eq\f(3,4)解析：由題意，得－x2＋2ax＜3x＋a2，即x2＋(3－2a)x＋a2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞eq\f(3,4).答案：B二、填空題6．已知命題p：?x>2，x3－8>0，那么?p是________．解析：命題p為全稱(chēng)命題，其否定為特稱(chēng)命題，則?p：?x>2，x3－8≤0.答案：?x>2，x3－8≤07．下列命題中，是全稱(chēng)命題的是________；是特稱(chēng)命題的是________．①正方形的四條邊相等；②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①可表述為“每一個(gè)正方形的四條邊相等”，是全稱(chēng)命題；②是全稱(chēng)命題，即“凡是有兩個(gè)角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“全部正數(shù)的平方根不等于0”是全稱(chēng)命題；④是特稱(chēng)命題．答案：①②③④8．下面四個(gè)命題：①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝2；③?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＝0；④?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以當(dāng)x＞2或x＜1時(shí)，x2－3x＋2＞0才成立，所以①為假命題．當(dāng)且僅當(dāng)x＝±eq\r(2)時(shí)，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②為假命題．對(duì)?x∈R，x2＋1≠0，所以③為假命題.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當(dāng)x＝1時(shí)，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④為假命題．所以①②③④均為假命題．答案：0三、解答題9．推斷下列各命題的真假，并寫(xiě)出命題的否定．(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；(2)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，不等式|x＋2|≤0恒成立；(3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無(wú)解．解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判別式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，則不存在實(shí)數(shù)a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命題為假命題．它的否定：對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．(2)當(dāng)x＝1時(shí)，|x＋2|＞0，所以原命題是假命題．它的否定：存在實(shí)數(shù)x，使不等式|x＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的狀況，知該命題為真命題．它的否定：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，全部的一元二次方程都有解．10．對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：令y＝sinx＋cosx，則y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．因?yàn)?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，所以只要m<－eq\r(2)即可，所以所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．B級(jí)實(shí)力提升1．已知命題p：?b∈[0，＋∞]，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞]上為增函數(shù)，命題q：?x0∈Z，使log2x0>0，則下列命題為真命題的是()A．(?p)∨(?q) B．(?p)∧(?q)C．p∧(?q) D．p∨(?q)解析：f(x)＝x2＋bx＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2)))eq\s\up12(2)＋c－eq\f(b2,4)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－eq\f(b,2)≤0，所以f(x)在[0，＋∞]上為增函數(shù)，命題p為真命題，?p為假命題，令x0＝4∈Z，則log2x0＝2>0，所以命題q是真命題，?q為假命題，p∨(?q)為真命題．故選D.答案：D2．已知命題“?x0∈R，2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意可得“對(duì)?x∈R，2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)＞0恒成立”是真命題，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.答案：(－1，3)3．若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：①當(dāng)m＋1＝0即m＝－1時(shí)，原不等式為2x－6<0，不恒成立．②當(dāng)m＋1≠0時(shí)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al