2024秋高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE5-章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提示]1．正確區(qū)分“分類(lèi)”與“分步”，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類(lèi)，使分類(lèi)后不重、不漏．2．正確區(qū)分是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，要把“定序”和“有序”區(qū)分開(kāi)來(lái)．3．正確區(qū)分分堆問(wèn)題和安排問(wèn)題．4．二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第(k＋1)項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)，留意其指數(shù)規(guī)律．5．求二項(xiàng)式綻開(kāi)式中的特定項(xiàng)(如：系數(shù)最大的項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、含某未知數(shù)的次數(shù)最高的項(xiàng)、有理項(xiàng)……)時(shí)，要留意n與k的取值范圍．6．留意區(qū)分“某項(xiàng)的系數(shù)”與“某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”，綻開(kāi)式中“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)的和”，“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和”與“奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)的和”．專(zhuān)題一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本章學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)，應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)主要考慮三方面的問(wèn)題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了．并留意計(jì)數(shù)原則：分類(lèi)用加法，分步用乘法．[例1]現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()高中數(shù)學(xué)A.144種 B．72種C．64種 D．84種解析：法一依據(jù)所用顏色的種數(shù)分類(lèi)第一類(lèi)：用4種顏色涂，方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(種)．其次類(lèi)：用3種顏色，必需有一條對(duì)角區(qū)域涂同色，方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48(種)．第三類(lèi)：用2種顏色，對(duì)角區(qū)域各涂一色，方法有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)．依據(jù)加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(種)．法二依據(jù)“高”“學(xué)”是否為同色分類(lèi)第一類(lèi)：區(qū)域“高”與“學(xué)”同色，從4色中選1色，有Ceq\o\al(1,4)種方法，其余區(qū)域“中”“數(shù)”各有3種方法，共有4×3×3＝36(種)．其次類(lèi)：區(qū)域“高”與“學(xué)”不同色，區(qū)域“高”有4種方法，區(qū)域“學(xué)”有3種方法，區(qū)域“中”“數(shù)”各有2種方法，共有4×3×2×2＝48(種)．依據(jù)加法原理，方法共有36＋48＝84(種)．答案：D歸納升華1.對(duì)于一些比較困難的既要運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、清楚．2．當(dāng)兩個(gè)原理混合運(yùn)用時(shí)，一般是先分類(lèi)，在每類(lèi)方法里再分步．[變式訓(xùn)練]甲與其四位同事各有一輛私家車(chē)，車(chē)牌尾數(shù)分別是0，0，2，1，5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為奇數(shù)的車(chē)通行，偶數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為偶數(shù)的車(chē)通行)，五人協(xié)商拼車(chē)出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車(chē)，但甲的車(chē)最多只能用一天，則不同的用車(chē)方案種數(shù)為()A．5 B．24C．32 D．64解析：5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步支配奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，其次步支配偶數(shù)日出行分兩類(lèi)，第一類(lèi)，先選1天支配甲的車(chē)，另外一天支配其他車(chē)，有2×2＝4(種)．其次類(lèi)，擔(dān)心排甲的車(chē)，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計(jì)4＋4＝8(種)．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車(chē)方案種數(shù)共有8×8＝64(種)．答案：D專(zhuān)題二排列組合應(yīng)用題排列組合應(yīng)用題是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，常與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合進(jìn)行考查．要仔細(xì)閱讀題干，明確問(wèn)題本質(zhì)，利用排列組合的相關(guān)公式與方法解題．1．合理分類(lèi)，精確分步．[例2](1)將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則不同放法共有________種．()A．480 B．360C．240 D．120(2)一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有________種不同的坐法．解析：(1)將5個(gè)不同的球分成4組，其中有一組有2個(gè)球，其余各有1球，有Ceq\o\al(2,5)種分法．把分組的球放入4個(gè)不同的盒子中有Aeq\o\al(4,4)種放法．所以由分步乘法原理不同的放法共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240(種)．(2)先讓4人坐在4個(gè)位置上，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再讓2個(gè)元素(一個(gè)是兩個(gè)空位作為一個(gè)整體，另一個(gè)是單獨(dú)的空位)插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，有Aeq\o\al(2,5)種插法，所以所求的坐法數(shù)為Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)．答案：(1)C(2)480歸納升華解排列組合應(yīng)用題應(yīng)遵循三大原則，駕馭基本類(lèi)型，突出轉(zhuǎn)化思想．(1)三大原則：先特殊后一般的原則、先取后排的原則、先分類(lèi)后分步的原則．(2)基本類(lèi)型主要包括：排列中的“在”與“不在”問(wèn)題、組合中的“含”與“不含”問(wèn)題、“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題、分組問(wèn)題等．(3)轉(zhuǎn)化思想：把一些排列組合問(wèn)題與基本類(lèi)型相聯(lián)系，從而把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本類(lèi)型，然后加以解決．[變式訓(xùn)練](1)某班班會(huì)打算從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名進(jìn)行發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參與．當(dāng)甲、乙同時(shí)參與時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰．那么不同的發(fā)言依次的種數(shù)為()A．360 B．520C．600 D．720(2)某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要支配到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班支配2名，則不同的支配方案種數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1)當(dāng)甲或乙只有一人參與時(shí)，不同的發(fā)言依次的種數(shù)為2Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝480；當(dāng)甲、乙同時(shí)參與時(shí)，不同的發(fā)言依次的種數(shù)為Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝120.所以不同的發(fā)言依次的種數(shù)為480＋120＝600.(2)把新轉(zhuǎn)來(lái)的4名學(xué)生平均分兩組，每組2人，分法有eq\f(Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))＝3(種)，把這兩組人支配到6個(gè)班中的某2個(gè)班中去，有Aeq\o\al(2,6)種方法，故不同的支配種數(shù)為3Aeq\o\al(2,6)＝90.答案：(1)C(2)90專(zhuān)題三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式定理是歷年高考中的必考內(nèi)容，解決二項(xiàng)式定理問(wèn)題，特殊是涉及求二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)的問(wèn)題，關(guān)鍵在于抓住通項(xiàng)公式，還要留意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與“綻開(kāi)式系數(shù)”．[例8](1)(2024·山東卷)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)的綻開(kāi)式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝________．(2)設(shè)(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0＝________．解析：(1)Tr＋1＝a5－rCeq\o\al(r,5)x10－eq\f(5,2)r，令10－eq\f(5,2)r＝5，解之得r＝2，所以a3Ceq\o\al(2,5)＝－80，a＝－2.(2)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝4096.兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.答案：(1)－2(2)2080歸納升華(1)區(qū)分“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”．項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)；二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正數(shù)．(2)切實(shí)理解“常數(shù)項(xiàng)”“有理項(xiàng)(字母指數(shù)為整數(shù))”“系數(shù)最大的項(xiàng)”等概念．(3)求綻開(kāi)式中的指定項(xiàng)，要把該項(xiàng)完整寫(xiě)出，不能僅僅說(shuō)明是第幾項(xiàng)．(4)賦值法求綻開(kāi)式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1等．[變式訓(xùn)練]已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，對(duì)隨意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，則b＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：因?yàn)閎xn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1，所以b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝Ceq\o\al(n－1,n)·b＝n·b＝9，,a2＝Ceq\o\al(n－2,n)·b＝\f(n（n－1）b,2)＝36.))所以n－1＝8，則n＝9，從而b＝1.答案：D專(zhuān)題四分類(lèi)探討思想分類(lèi)探討思想在解決排列組合問(wèn)題時(shí)常常應(yīng)用，此類(lèi)問(wèn)題一般狀況繁多，因此要對(duì)各種不同的狀況進(jìn)行合理的分類(lèi)與精確的分步，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避開(kāi)重復(fù)或遺漏的現(xiàn)象發(fā)生．[例9]形如45132的數(shù)稱(chēng)為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可構(gòu)成不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．20 B．18C．16 D．11解析：由題意可知，十位和千位數(shù)字只能是4，5或3，5，若十位和千位排4，5，則其他位置隨意排1，2，3，這樣的數(shù)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(個(gè))；若十位和千位排5，3，這時(shí)4只能排在5的一邊且不能和其他數(shù)字相鄰，1，2在其余位置上隨意排列，這樣的數(shù)有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(個(gè))，綜上，共有16個(gè)．答案：C歸納升華排列組合的綜合問(wèn)題一般比較困難，分類(lèi)方法也敏捷多變．一般有以下一些分類(lèi)方式：(1)依據(jù)元素分類(lèi)，又包括依據(jù)特殊元素分類(lèi)，依據(jù)元素特征分類(lèi)，依據(jù)特殊元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)；(2)依據(jù)特殊位置分類(lèi)；(3)依據(jù)圖形分類(lèi)，又包括依據(jù)圖形的特征分類(lèi)，依據(jù)圖形的種類(lèi)分類(lèi)；(4)依據(jù)題設(shè)條件分類(lèi)．[變式訓(xùn)練](2024·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作