第20講 奇數(shù)和偶數(shù) （教師版）

第20講奇數(shù)和偶數(shù)（教師版）一、第20講奇數(shù)和偶數(shù)1.一只小渡船往返于一條小河的左右兩岸之間.問：（1）如果最初小船在左岸，過河若干次后，又回到左岸，那么這只小船過河的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?如果最后到了右岸，情況又是怎樣呢?（2）如果小船最初在左岸，過河99次后，停在左岸還是右岸?【答案】（1）解：小船最初在左岸，過1次河就到了右岸，再過一次河就由右岸回到左岸；即每次由左岸出發(fā)到右岸后再回到左岸，都過了二次河.

因此，若小船由左岸開始，過河多次后又回到左岸，則過河的次數(shù)必為2的倍數(shù)，即偶數(shù).

同樣的道理，不難得出，若小船最后停在右岸，則過河的次數(shù)必為奇數(shù).

（2）解：在(1)中，我們發(fā)現(xiàn)，若小船最初在左岸，過偶數(shù)次河后，就回到左岸；過奇數(shù)次河后，就停在右岸.

∵現(xiàn)在小船過河99次，是奇數(shù)次.

∴最后小船應(yīng)該停在右岸.

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知：若小船最初在左岸，過偶數(shù)次河后，就回到左岸；過奇數(shù)次河后，就停在右岸.

（2）由（1）中規(guī)律可知小船停在右岸.2.9999和99！(注：99！=1×2×3×4×...×99，讀作99的階乘)能否表示成為99個連續(xù)的奇數(shù)的和?

【答案】解：(1)9999能表示成99個連續(xù)奇數(shù)的和.∵9999=(9998-98)+(9998-96)+…+(9998-2)+9998+(9998+2)+…+(9998+96)+(9998+98).∴9999能表示為99個連續(xù)奇數(shù)的和.(2)99！不能表示成99個連續(xù)奇數(shù)的和.∵99！=1×2×3×…×99是偶數(shù)，而99個奇數(shù)的和是奇數(shù)，

∴99！不能表示為99個奇數(shù)的和.【解析】【分析】9999=99×9998.先寫下9998，然后寫出9998后面的49個連續(xù)的奇數(shù)，又寫出9998前面的49個連續(xù)的奇數(shù)，這99個連續(xù)的奇數(shù)和正好是99×9998=9999；另一方面，99！是偶數(shù)，而99個奇數(shù)的和是奇數(shù).如果答案是肯定的，我們常常將滿足題意的例子舉出來或造出來，這稱為構(gòu)造法.如果答案是否定的，常常采用反證法，找出其中的矛盾.3.圖是一所房子的示意圖，每一個房間與相鄰的房間都有門相通.小明在某一房間中，他想從這個房間開始不重復(fù)地走遍每一個房間.能做到嗎?若能，他開始時應(yīng)在哪一個房間?又應(yīng)該怎樣走?若不能.請說明理由。

【答案】解：不能做到.將題圖的房間黑白相間地涂，如下圖，

這樣，不論小明從哪一間房間出發(fā)，他總是從白房間走進(jìn)黑房間，或者從黑房間走進(jìn)白房間.

因此，走法必為：白黑白黑……或者為：黑白黑白……不管哪一種走法，黑房間的數(shù)目與白房間的數(shù)目相等或者相差一.

而圖中白房間5間，黑房間3間，相差2間.

因此不能走遍每一個房間而不重復(fù).【解析】【分析】說明與整數(shù)可以分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類一樣，我們把房間涂上黑白兩色，分成兩類.幾個連續(xù)的整數(shù)，必然是奇偶相間，而且奇數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)相差至多為一個.類似地，房間的走法也是黑白相間。因此，黑、白房間的數(shù)目至多相差一.這一點正是我們解決本例的關(guān)鍵.因此，從本質(zhì)上說，我們還是利用奇偶性來解決問題的。事實上，如果我們不用黑白兩色來涂房間，而是將房間相間地貼上奇偶兩字，問題一樣得到解決.4.把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色，問有沒有可能”使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)?請說明理由.【答案】解：如果每條線上紅圈都是奇數(shù)個，那么5條線上的紅圈數(shù)相加仍是奇數(shù)；但另一方面，5條線上的紅圈數(shù)相加時，由于每個圈都在兩條直線上，因而都被計算了兩次，從而相加的總和應(yīng)該是偶數(shù).兩方面的結(jié)果是矛盾的.

因此，不可能使同一條線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù).【解析】【分析】根據(jù)奇偶的性質(zhì)：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，假設(shè)每條線上紅圈都是奇數(shù)個，由此計算可得奇數(shù)；但是線線交匯處的點被計算了兩次，可得相加為偶數(shù)；故矛盾，假設(shè)不成立.5.圍棋盤上有19×19個交叉點，在交叉點上已經(jīng)放滿了黑子與白子，并且黑子與白子相間地放，即黑子(或自子)的上、下、左、右都放著白子(或黑子).問能否把這些黑子全部移到原來白子的位置上，而白子也全移到原來的黑子的位置上?.【答案】解：不能.∵19×19=361，是奇數(shù)，

∴必有奇數(shù)個白子，偶數(shù)個黑子；或者奇數(shù)個黑子，偶數(shù)個白子；

即黑、白子數(shù)必然一奇一偶.

∴奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，

∴無法使黑子與白子的位置對調(diào).【解析】【分析】根據(jù)題意可得奇數(shù)個白子，偶數(shù)個黑子；或者奇數(shù)個黑子，偶數(shù)個白子；即黑、白子數(shù)必然一奇一偶；故無法使黑子與白子的位置對調(diào).6.參加會議的人，有不少互相握過手.握手的次數(shù)是奇數(shù)的那部分人，人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么?【答案】解：由于每握一次手，握手的兩個人，每一個都握了一次手.

因此每握一次手，兩個人握手次數(shù)的和就是2次.

所以，全部與會的人握手的總次數(shù)必定是偶數(shù).我們把參加會議的人分成兩類，甲類握手次數(shù)是偶數(shù)，乙類握手次數(shù)是奇數(shù)，甲類人握手的總次數(shù)顯然是偶數(shù)；注意甲類人握手的總次數(shù)加上乙類人握手的總次數(shù)等于全部與會的人握手的總次數(shù)，所以乙類人握手的總次數(shù)也應(yīng)當(dāng)是偶數(shù).由于乙類人每人握手的次數(shù)都是奇數(shù)，而偶數(shù)個奇數(shù)相加，和才能為偶數(shù)，因此，乙類人必為偶數(shù)個，即握手次數(shù)是奇數(shù)的那部分人，人數(shù)是偶數(shù).【解析】【分析】根據(jù)題意可得全部與會的人握手的總次數(shù)必定是偶數(shù)；把參加會議的人分成兩類，甲類握手次數(shù)是偶數(shù)，乙類握手次數(shù)是奇數(shù)，根據(jù)奇偶性質(zhì)：

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，由此即可得出答案.7.設(shè)標(biāo)有A、B、C、D、E、F、G記號的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關(guān).現(xiàn)在A、C、E、G四盞燈開著，其余三盞燈是關(guān)的.小剛從燈A開始，順次拉動開關(guān)..即從A到G，再從A到G……這樣拉動1999次開關(guān)后，哪幾盞燈是開的?【答案】解：一盞燈的開關(guān)被拉動奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關(guān)的，關(guān)的變成開的.一盞燈的開關(guān)被拉動偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關(guān)的仍為關(guān)的.因此本題的關(guān)鍵是計算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.∵1999=7×285+4，∴A、B、C、D四盞燈的開關(guān)各被拉動了286次，而E、F、G三盞燈的開關(guān)各被拉動了285次；

∴A、B、C、D四盞燈不改變狀態(tài)，E、F、G三盞燈改變狀態(tài)；

∵開始時A、C、E、G四盞燈是開著的，B、D、F三盞燈是關(guān)著的，

∴最后A、C、F燈是開著的.【解析】【分析】一盞燈的開關(guān)被拉動奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關(guān)的，關(guān)的變成開的.一盞燈的開關(guān)被拉動偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關(guān)的仍為關(guān)的.因此本題的關(guān)鍵是計算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.8.桌上放著七只杯子，杯口全朝上，每次翻轉(zhuǎn)四個杯子.問能否經(jīng)過若干次這樣的翻動，使全部的杯子口都朝下?【答案】解：不可能.我們將口向上的杯子記為0，口向下的杯子記為1.

開始時，由于七個杯子全朝上，所以這七個數(shù)的和為0，是個偶數(shù).一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)四個杯子，因此這七個數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同.

所以，不論翻動多少次，這七個數(shù)的和與原來一樣，仍為偶數(shù).當(dāng)杯子全部朝下時，這七個數(shù)的和為7，是奇數(shù).

因此，不論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，都不可能使所有的杯子口都朝下.【解析】【分析】將口向上的杯子記為0，口向下的杯子記為1；根據(jù)題意一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉(zhuǎn)四個杯子，因此這七個數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初七個杯子全朝上，和為0，是個偶數(shù)；當(dāng)杯子全部朝下時，和為7，是奇數(shù)；故不可能.9.設(shè)，，…是1，2，…，2005的任意一個排列.試證明：(-1)(-2)…(-2005)必為偶數(shù).【答案】證明：∵1，2，