第9章《中心對(duì)稱圖形-平行四邊形》（解析）

2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第9章《中心對(duì)稱圖形—平行四邊形》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?東臺(tái)市月考）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；成立的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正確；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB?AC，故②正確；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③錯(cuò)誤，故選：C．2．（2分）（2023?新城區(qū)一模）如圖所示，增加下列一個(gè)條件可以使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）A．∠BAD＝∠BCD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC解：A∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．3．（2分）（2022秋?增城區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．4 D．2解：連接AC、CF，如圖：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中點(diǎn)，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故選：B．4．（2分）（2022春?新泰市期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，過(guò)菱形ABCD的對(duì)稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．解：如圖，連接BD，AC．∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF，∵OB＝OB，∴Rt△BEO≌Rt△BFO（HL），∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵S△ABO＝?OA?OB＝?AB?OE，∴1×＝2OE，∴OE＝，Rt△BEO中，∠OBE＝30°，∴OB＝2OE＝，∴EF＝BE＝，同法可證，△DGH，△OEH，△OFG都是等邊三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝OE＝，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)＝3+．故選：C．5．（2分）（2022春?荊門期末）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC，CD的中點(diǎn)，AF，DE交于點(diǎn)P，連接BP，CP．則下列結(jié)論中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③∠BPE＝∠CDE；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵正方形ABCD中，E、F分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠DCE＝90°，DF＝CE，∴△ADF≌△DCE（SAS）．∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADP＝∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠DAF＝90°，∴∠APD＝90°，∴①正確．如上圖，設(shè)H是AD的中點(diǎn)，連接BH交AF于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，∴HD∥BE，HD＝BE，∴四邊形BEDH是平行四邊形，∴HD∥DE，∵AF⊥DE，∴∠AKB＝∠APE＝90°，∵H是AD的中點(diǎn)，∴K是AP的中點(diǎn)，∴BP＝AB＝AD，∴②正確．由①知：∠DAF＝∠EDC，由②知：BP＝BA，∴∠BPA＝∠BAP，∴∠BPE＝∠APE﹣∠BPA＝90°﹣∠BAP＝∠DAF＝∠CDE．∴③正確．如上圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)N，使EN＝PF，∵△ADF≌△DCE，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFD，∵E、F分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴CE＝CF，∴△CEN≌△CFP（SAS）．∴PC＝NC，∠PCF＝∠NCE，∴∠PCN＝∠DCB＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形．∴PN＝PC，∵PN＝PE+EN，＝PE+PF，∴PE+PF＝PC．∴④正確．故選：D．6．（2分）（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．故選：D．7．（2分）（2022?寧波模擬）如圖，O是?ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)O作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，GH∥AB交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，連結(jié)GE，GF，HE，HF，若已知下列圖形的面積，不能求出?ABCD面積的是（）A．四邊形EHFG B．△AEG和△CHF C．四邊形EBHO和四邊形GOFD D．△AEO和四邊形GOFD解：A、在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四邊形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四邊形，∴S△EOG＝S?AEOG，S△EOH＝S?BEOH，S△FOH＝S?OHCF，S△FOG＝S?OGDF，∴四邊形EHFG的面積＝×?ABCD的面積，∴已知四邊形EHFG的面積，可求出?ABCD的面積，故A不符合題意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S?BEOH＝S?GOFD，∵＝，∴S?BEOH＝S?OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面積，可求出?ABCD的面積，故B不符合題意；C、已知四邊形EBHO和四邊形GOFD的面積，不能求出?ABCD面積，故C符合題意；D、∵＝，∴＝，∴S?OHCF＝S2?OGDF?，∴已知△AEO和四邊形GOFD的面積，能求出?ABCD面積；故D不符合題意；故選：C．8．（2分）（2022春?嵐山區(qū)期末）如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，在BD上截取DE＝DC，在CB延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接EF，AF，且EF＝EC．下列四個(gè)結(jié)論：①BF＝BE；②∠BAF＝∠BCE；③∠AFE＝45°；④連接AE，則S四邊形AECD＝2S四邊形AFBE．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∴∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，∵∠CBE＝∠EFC+∠BEF，∴∠BEF＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠BEF＝∠CFE，∴BF＝BE；故①正確；③連接AE，∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝67.5°，∵∠EFC＝∠ECF＝22.5°，∴∠FEC＝180°﹣2×22.5°＝135°，∴∠AEF＝90°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF為等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，故③正確；②由③得：∠BAF＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°，∵∠BCE＝22.5°，∴∠BAF＝∠BCE；故②正確；④如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于N，作EM⊥CD于M，設(shè)BN＝EN＝y(tǒng)，則BF＝BE＝y(tǒng)，∵EF＝EC，EN⊥BC，∴FN＝CN＝EM＝DM＝y(tǒng)+y，∴S四邊形AECD＝2S△CDE＝2××CD×EM＝（y+y）（y+y+y）＝（4+3）y2，2S四邊形AFBE＝2（S△AEF+S△BEF）＝2×（EF2+?y?y）＝EF2+y2＝y(tǒng)2+（y+y）2+y2＝（4+3）y2，∴S四邊形AECD＝2S四邊形AFBE，故④正確；本題正確的結(jié)論有4個(gè)．故選：D．9．（2分）（2022春?龍華區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD＝60°，將?ABCD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至?AEFG，此時(shí)點(diǎn)D在AE上，連接AC、AF、CF、EB，線段EB分別交CD、AC于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①∠CAF＝60°；②△DEH是等邊三角形；③2AD＝3HK；④當(dāng)AB＝2AD時(shí)，4S△ACF＝7S?ABCD；正確的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③解：①∵?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至?AEFG，∴△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAF＝∠EAF+∠CAD＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝60°．故①正確；②∵AB∥DC，∴∠EDH＝∠DAB＝60°，∵∠AEF＝∠ABC＝120°，∴∠DEH＝180°﹣∠AEF＝60°，∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，∴△DEH是等邊三角形，故②正確；③過(guò)點(diǎn)H作HM∥AD交AB于點(diǎn)M，連接DM，∵△EDH是等邊三角形，∴∠BHC＝∠EDH＝60°，∴△BHC是等邊三角形，∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，∴△DMH≌△BHM≌△CBH（AAS），∴DH＝CH，∴點(diǎn)H為CD中點(diǎn)，∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，∠HCK＝BAK∴△CKH∽△AKB，∴HK：BK＝CH：AB＝CH：CD＝1：2，∴HK＝BK＝BH＝AD，∴AD＝3HK，∴2AD＝3HK．故③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠BCD＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝AD，CN＝AD，∴AC＝AD，∴△ACF的高為AD，∴S△ACF＝AD×AD＝AD2．∴?ABCD的高為AD，∴S?ABCD＝2AD×AD＝AD2，∴4S△ACF＝7S?ABCD，故④正確．故選：A．10．（2分）（2022春?綦江區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE和等邊△ADF，延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)G在點(diǎn)A、E之間，連接CE、CF、EF，則以下四個(gè)結(jié)論，正確的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等邊三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正確；在等邊三角形ABE中，∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段，∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點(diǎn)，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，題目缺少這個(gè)條件，CG⊥AE不能求證，故③錯(cuò)誤；同理①②可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等邊三角形，故④正確．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?鄂州期中）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，則BC2+EG2的值為20．解：如圖，連接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案為：20．12．（2分）（2022春?開江縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥DF交AC于點(diǎn)F，E是AF的中點(diǎn)，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，則∠DFE的度數(shù)為72°．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AE＝ED，∴∠DAC＝∠ADE，∵∠DEC是△ADE的一個(gè)外角，∴∠DEC＝∠DAC+∠ADE，∴∠DEC＝2∠DAC＝2∠ACB，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠DCE＝2∠ACB，∵∠BCD＝54°，∴∠ACB+∠BCD＝54°，∴3∠ACB＝54°，∴∠ACB＝18°，∴∠DAE＝∠ACB＝18°，∵AD⊥DF，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠DAE＝72°，故答案為：72°．13．（2分）（2023?南開區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB＝45°，延長(zhǎng)FC、AE交點(diǎn)M，連接BM，若C為FM中點(diǎn)，BM＝10，則FD的長(zhǎng)為．證明：過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BK⊥CM于K，過(guò)D作DQ⊥MF交MF延長(zhǎng)線于Q，連接DF．∵∠CFB＝45°，∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C為FM的中點(diǎn)，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝10，∴BG＝2，GM＝4，∴AG＝4，AB＝10，∴HF＝2，∴CF＝，∴CM＝2，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝3，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝3，DQ＝CK＝，∴QF＝3﹣2＝，∴DF＝＝．故答案為2．14．（2分）（2022春?門頭溝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO是矩形，且B（8，4），動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以同樣每秒1個(gè)單位的速度沿折線BC→CO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果AE＝3CF，那么t＝3或6秒．解：當(dāng)F在BC邊上，如圖：由題意得：AE＝t，BF＝t，CF＝4﹣t，∵AE＝3CF，∴t＝3（4﹣t），∴t＝3．當(dāng)F在OC上時(shí)，如圖：AE＝t，CF＝t﹣4，∵AE＝3CF，∴t＝3（t﹣4），∴t＝6，∵當(dāng)E，F(xiàn)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤8，∴t＝6符合題意．故答案為：3或615．（2分）（2022春?江漢區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD中，E為其外面一點(diǎn)，且∠AEB＝45°，AE，BE分別交CD于F，G，若CG＝3，F(xiàn)G＝1，則AF＝．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于N，交BC于H，連接HF，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠E＝45°，∠ANE＝90°，∴∠EAN＝45°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠BAH＝45°，∵AD＝AB，∠D＝∠ABM，DF＝BM，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴∠DAF＝∠BAM，AF＝AM，∴∠BAH+∠BAM＝45°＝∠EAN，∵AH＝AH，∴△MAH≌△FAH（SAS），∴FH＝MH，∵∠CBG+∠CGB＝∠CBG+∠BHN＝90°，∴∠CGB＝∠BHN，∵AB＝BC，∠ABH＝∠C，∴△ABH≌△BCG（AAS），∴CG＝BH＝3，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BM＝DF＝x﹣4，F(xiàn)H＝MH＝3+x﹣4＝x﹣1，在Rt△CHF中，F(xiàn)H2＝CH2+CF2，∴（x﹣1）2＝42+（x﹣3）2，∴x＝6，∴AD＝6，DF＝6﹣4＝2，由勾股定理得：AF＝＝2，故答案為：2．16．（2分）（2022春?樂(lè)山期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)，AB＝2點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)（不與小B重合），過(guò)點(diǎn)P、B在正方形內(nèi)部作正方形PBEF，交邊BC于點(diǎn)E，連結(jié)DF、CF，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，PB的長(zhǎng)為2﹣或1．解：連接BF，如圖：∵四邊形ABCD、PBEF是正方形，AB＝2，∴B、F、D共線，CD＝AB＝2，①當(dāng)FD＝CD＝2時(shí)，BF＝BD﹣FC＝2﹣2，∴PB＝BF＝2﹣；②當(dāng)FD＝FC時(shí)，∠DFC＝90°，∠FDC＝∠FCD＝45°，F(xiàn)D＝CD＝，∴BF＝BD﹣FD＝2﹣＝，∴PB＝BF＝1．∴當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，PB＝2﹣或1．故答案為：2﹣或1．17．（2分）（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，4），過(guò)點(diǎn)A分別作AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3）的直線y＝kx+b將矩形OBAC分成的兩部分面積比為3：5時(shí)，則k的值為﹣4或﹣．解：將點(diǎn)P（2，3）代入直線y＝kx+b，得3＝2k+b，∴b＝﹣2k+3，∴直線y＝kx++3﹣2k，當(dāng)直線與線段AC、OB相交時(shí)，如圖，設(shè)直線y＝kx+3﹣2k與x軸交于F，與AC交于E，則E（2+，4），F(xiàn)（2﹣，0），∴CE＝2+，OF＝2﹣，直線將矩形OBAC分成的兩部分面積比為3：5，①當(dāng)S四邊形OFEC＝S矩形OBAC時(shí)，（CE+OF）?OC＝OB?AB，∴×（2++2﹣）×4＝×6×4，解得k＝﹣4；②當(dāng)S四邊形OFEC＝S矩形OBAC時(shí)，（CE+OF）?OC＝OB?AB，∴×（2++2﹣）×4＝×6×4，解得k＝﹣（此時(shí)直線y＝kx+3﹣2k與邊OB無(wú)交點(diǎn)，舍去），當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，如圖：由P（2，3）、C（0，4）可得直線解析式為y＝﹣x+4，令x＝6得y＝1，∴Q（6，1），∴S梯形COBQ＝（1+4）×6＝15，S△ACQ＝×6×（4﹣1）＝9，∴S△ACQ：S梯形COBQ＝3：5，此時(shí)k＝﹣，綜上所述，k＝﹣4或﹣．故答案為：﹣4或﹣．18．（2分）（2022春?福田區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC繞BC邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)E恰好落在AC邊上，且DF邊交AC邊于點(diǎn)G，則△FCG的面積為．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵點(diǎn)O是BC邊的中點(diǎn)，∴OC＝OB＝BC＝2，∵把△ABC繞BC邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)E恰好落在AC邊上，∴CO＝FO＝BO＝OE＝2，∠DFE＝∠ACB，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，∴CO＝OE，∴∠ACB＝∠OEC，∴∠DFE＝∠CEF，∴FG＝EG，如圖，連接BE，∵∠DFE+∠D＝∠FEG+∠GED＝90°，∠COF＝∠BOE，∴∠D＝∠DEG，△COF≌△BOE（SAS），∴EG＝DG，BE＝CF，∠FCO＝∠OBE，∴EG＝DF＝，∵CO＝BO＝OE＝BC，∴∠BEC＝90°，∴BE＝＝，∴CE＝，CF＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣＝，∵∠BEC＝90°，∴∠OBE+∠BCE＝90°，∴∠FCO+∠ACB＝90°，即∠FCG＝90°．∴S△FCG＝?FC?CG＝××＝．故答案為：．19．（2分）（2022春?南京期末）如圖，在?ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q在BC邊上以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB之間往返運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)5＜t＜10時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝秒或8秒時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，則PD＝BQ．當(dāng)5＜t≤時(shí)，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；當(dāng)＜t≤10時(shí)，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或8秒時(shí)，以P、D、Q、B四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形．故答案為：秒或8秒．20．（2分）（2021春?安順期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③AB＝HF．其中正確的有①②．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正確；∵AB＝AH，∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正確；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故③錯(cuò)誤．∴其中正確的有①②．故答案為：①②．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?新泰市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形：（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四邊形DEFB的面積．（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形；（2）解：由（1）得：DE＝BF＝2，∵D是AC的中點(diǎn)，AC＝6，∴CD＝AC＝3，∵∠ACB＝90°，∴四邊形DEFB的面積＝BF?CD＝2×3＝6（cm2）．22．（6分）（2022春?鄂城區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，點(diǎn)G，H在對(duì)角線AC上，且AE＝CF，AG＝CH．（1）求證：四邊形FGEH是平行四邊形；（2）若EG＝EH，AB＝2，BC＝4，求線段AE的長(zhǎng)．（1）證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：如圖，連接EF，CE，AC與EF交于點(diǎn)O，∵EG＝EH，四邊形EGFH是平行四邊形，∴四邊形GFHE為菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AE＝CE，設(shè)AE＝x，則CE＝x，DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝2.5，∴AE＝2.5．23．（8分）（2021秋?建安區(qū)期中）數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決方法：延長(zhǎng)AD到E．使得DE＝AD．再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．遷移應(yīng)用：請(qǐng)參考上述解題方法，證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索線段BE，CF，EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．（1）證明：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．證明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．24．（10分）（2022春?東?？h期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中0≤t≤10．（1）若G，H分別是AD，BC中點(diǎn)，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形（E、F相遇時(shí)除外）？答：四邊形EGFH是平行四邊形；（直接填空，不用說(shuō)理）（2）在（1）條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值；（3）在（1）條件下，若G向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，H向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E，F(xiàn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．解：（1）∵四邊形EGFH是平行四邊形，理由如下：由題意得：AE＝CF＝t，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GAE＝∠HCF，∵G，H分別是AD，BC中點(diǎn)，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，∴∠FEG＝∠EFH，∴EG∥HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；故答案為：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖1，連接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如圖1，當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如圖2，當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；綜上，四邊形EGFH為矩形時(shí)t＝2或t＝8；（3）如圖3，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，連接AH，CG，GH，AC與GH交于O，∵四邊形EGFH為菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，∴OA＝OC，AG＝AH，∴四邊形AGCH為菱形，∴AG＝CG，設(shè)AG＝CG＝x，則DG＝8﹣x，由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴MG＝﹣4＝，即t＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形EGFH為菱形．25．（10分）（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝2FC，點(diǎn)P在線段CD上，連接PE、EF、PF．（1）若△PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)度；（2）若EF平分∠BEP，求PC的長(zhǎng)度．解：（1）正方形ABCD中，∵AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝3，∵BF＝2FC，∴BF＝4，F(xiàn)C＝2，∴EF＝＝5，設(shè)PC＝x，∴PF＝＝，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，∴AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∵△PEF為等腰三角形，∴分3種情況：①EF＝PF，∴5＝，解得x＝（負(fù)值舍去）；②EF＝PE，∴5＝，解得此方程無(wú)解；③PE＝PF，∴＝，解得x＝，＞6，點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，不符合題意，舍去．綜上所述：PC的長(zhǎng)度為；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥