第五章 四邊形（測試）

第五章四邊形（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形數(shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題2．如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°3．如圖，在?ABCD中，一定正確的是（

）A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（

）A．6 B．12 C．24 D．485．下列說法錯誤的是（

）A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形 B．同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形6．如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac

A．?1 B．?2 C．?3 D．?4梯子模型7．如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6，AB兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，連接OC．則OC的最大值為（）A．6+35 B．8 C．3+35半角模型8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，則∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°?2α C．45°?α D．90°?α9．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，移動到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形10．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN、OM.以下四個結(jié)論正確的是（

）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN=18SA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為.12．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們在AB外選擇一點(diǎn)C，測得AC,BC兩邊中點(diǎn)的距離DE為10m（如圖），則A，B兩點(diǎn)的距離是m．13．邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．

十字架模型14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE=5，CN=8，則線段AN的長為15．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，APPC的值是

對角互補(bǔ)模型16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S三．解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23題9分，24題10分，25題13分）17．連接多邊形任意兩個不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數(shù)分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．18．學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交DC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，EF垂直平分AC，垂足為點(diǎn)O．求證：OE=OF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO=①．∵EF垂直平分AC，∴②．又∠EOC=___________③．∴ΔCOE?∴OE=OF．小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線④．19．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度數(shù)．中點(diǎn)四邊形模型20．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）折疊模型21．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．22．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作∠ABC的角平分線；(2)在圖2中過點(diǎn)C作一條直線l，使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．23．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點(diǎn)E為BC邊上的動點(diǎn)（不與B、C重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長；(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,23，點(diǎn)D是邊OC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF．設(shè)OD=x,△DEF的面積為S(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請求出最大值．25．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,3，對稱軸為直線(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC=∠BCO；(3)如圖②，延長DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1=2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點(diǎn)N．如果在y1的對稱軸和y1上分別取點(diǎn)P，Q，使以MN

第五章四邊形（解析版）（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【答案】C【分析】設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．【詳解】解：∵一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，∴設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（邊），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題2．如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【答案】A【分析】由正八邊形的外角和為360°，結(jié)合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正八邊形的外角和為360°，∴∠1=360°故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為360°是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，在?ABCD中，一定正確的是（

）A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得BC=2OE=6，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．5．下列說法錯誤的是（

）A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形 B．同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角定理，分別分析得出答案．【詳解】解：A．對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)說法正確，故A選項(xiàng)不符合題意；B．同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)說法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C．對角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項(xiàng)說法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說法正確，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識，熟練掌握圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定方法等進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac

A．?1 B．?2 C．?3 D．?4【答案】B【分析】連接AC，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC=OB=2AD=2OD，然后可得點(diǎn)Ac【詳解】解：連接AC，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：

當(dāng)x=0時(shí)，則y=c，即OB=c，∵四邊形OABC是正方形，∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，∴點(diǎn)Ac∴c2解得：ac=?2，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．梯子模型7．如圖，已知∠MON=90°，線段AB長為6，AB兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，連接OC．則OC的最大值為（）A．6+35 B．8 C．3+35【答案】C【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得OE=BE=12AB，再根據(jù)勾股定理求得CE=BE2+C【詳解】解：取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE，∵∠AOB=90°，線段AB長為6，∴OE=BE=1∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBE=90°，CB=AB=6，∴CE=B∵OC≤OE+CE，∴OC≤3+35∴OC的最大值為3+35故選：C．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．半角模型8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，則∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°?2α C．45°?α D．90°?α【答案】A【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】將△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH，∴∠ABH+∠ABC=180°，∴點(diǎn)H，B，C三點(diǎn)共線，∵∠BAE=α，∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°，∴∠DAF=∠BAH=45°?α，∠EAF=∠EAH=45°，∵∠AHB+∠BAH=90°，∴∠AHB=45°+α，在△AEF和△AEH中AF=AH∠FAE=∠HAE∴△AFE≌△AHE(SAS∴∠AHE=∠AFE=45°+α，∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α，∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α，∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°，∴∠FEC=2α，故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．9．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，移動到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【答案】B【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECF形狀的變化情況．【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)EF與AC的位置關(guān)系即可求解．10．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN、OM.以下四個結(jié)論正確的是（

）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN=18SA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出∠MAC=∠DAN，然后證△CAM≌△DAN(ASA)，AM=②當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM值最小，利用勾股定理求出AM=AB2③當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到AC⊥MN，用勾股定理求出CE=CN2?EN2=④當(dāng)OM⊥BC時(shí)，可證△OCM∽△BCO，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得OC【詳解】解：如圖：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，AC⊥BD，OA=OC，∵∠BAC=∠MAN=60°，∴∠ACB=∠ADC=60°，△ABC與△ADC為等邊三角形，又∠MAC=∠MAN?∠CAN=60°?∠CAN，∠DAN=∠DAC?∠CAN=60°?∠CAN，∴∠MAC=∠DAN，在△CAM與△DAN中∠CAM=∠DAN∴△CAM∴AM=AN，即△AMN為等邊三角形，故①正確；∵AC⊥BD，當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM值最小，∵AB=2,BM=1∴AM=即MN=3故②正確；當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，∴MN∥∴AC⊥MN，在△CMN中，CE=C∴S△CMN而菱形ABCD的面積為：2×3∴18故③正確，當(dāng)OM⊥BC時(shí)，∠BOC=∠OMC=90°∴△OCM∽△BCO∴OC∴O∴O故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為.【答案】5【分析】本題需先根據(jù)已知條件以及多邊形的外角和是360°，解出內(nèi)角和的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)算公式即可求出邊數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為900°，多邊形的外角和是360°，∴多邊形的內(nèi)角和是900?360＝540°，∴多邊形的邊數(shù)是：540°÷180°＋2＝3＋2＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，在解題時(shí)要根據(jù)外角和的度數(shù)以及內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)算公式解出本題即可．12．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們在AB外選擇一點(diǎn)C，測得AC,BC兩邊中點(diǎn)的距離DE為10m（如圖），則A，B兩點(diǎn)的距離是m．【答案】20【分析】根據(jù)題意得出DE為?ABC的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D、E為AC，BC的中點(diǎn)，∴DE為?ABC的中位線，∵DE=10，∴AB=2DE=20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．

【答案】15【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，

由題意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,∠CEF=∠EFG=90°，GH=4，∴CH=10=AD，∵∠D=∠DCH=90°,∠AJD=∠HJC，∴△ADJ≌△HCJAAS∴CJ=DJ=5，∴EJ=1，∵GI∥CJ，∴△HGI∽△HCJ，∴GICJ∴GI=2，∴FI=4，∴S梯形故答案為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．十字架模型14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE=5，CN=8，則線段AN的長為【答案】4【分析】連接AE、AF、EN，首先可證得△ABE≌△ADFSAS，AE=AF，可證得AN垂直平分EF，可得EN=【詳解】解：如圖：連接AE、AF、EN，∵四邊形ABCD是正方形∴設(shè)AB=BC=CD=AD=a，∠B=在△ABE與△AB=∴△∴AE=∴△又∵AM⊥EF，∴AN垂直平分EF，∴EN=又∵BE=∴EC=在Rt△ECN中，∴a?3解得a=20，∴AD=20，在Rt△ADN中，∴AN=故答案為：434【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，證得AN垂直平分EF是解決本題的關(guān)鍵．15．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，APPC的值是

【答案】2【分析】作點(diǎn)F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F'，連接EF'交AC于點(diǎn)P'，此時(shí)PE+PF取得最小值，過點(diǎn)F'作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K，根據(jù)題意可知點(diǎn)F'落在AD上，設(shè)正方形的邊長為a，求得【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F'，連接EF'交AC于點(diǎn)P'，過點(diǎn)F'作AD

由題意得：此時(shí)F'落在AD上，且根據(jù)對稱的性質(zhì)，當(dāng)P點(diǎn)與P'重合時(shí)設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則AF∵四邊形ABCD是正方形，∴∠F'AK=45°，∵F∴∠F∴AK=2∵∠F∴△E∴F∴AP∴CP'∴A∴當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，APPC的值是為2故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．對角互補(bǔ)模型16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S【答案】10【分析】過點(diǎn)B作BF⊥CD交DC的延長線交于點(diǎn)F，證明△AEB≌△CFBAAS推出BE【詳解】解：過點(diǎn)B作BF⊥∵BF⊥CD∴∠BFC∵∠ABC∴∠ABE+∠EBC∴∠ABE∵AB∴△AEB≌△∴BE=BF∴S∴BE即BE2∴BE故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23題9分，24題10分，25題13分）17．連接多邊形任意兩個不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數(shù)分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．【答案】（1）2；5；9；n(n?3)2【詳解】分析：（1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；（2）假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論．詳解：（1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an，則a4=4×4?32=2，a5=5×5?32=5，a6=6×6?3（2）假設(shè)可以，根據(jù)題意得：nn?3解得：n=8或n=-5（舍去），∴n邊形可以有20條對角線，此時(shí)邊數(shù)n為八．（3）∵一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，∴180°×（n-2）=1800°，解得：n=12，∴nn?32=答：這個多邊形有54條對角線．點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式求出多邊形的對角線條數(shù)；（2）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n．18．學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交DC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，EF垂直平分AC，垂足為點(diǎn)O．求證：OE=OF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO=①．∵EF垂直平分AC，∴②．又∠EOC=___________③．∴ΔCOE?∴OE=OF．小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線④．【答案】作圖：見解析；∠FAO；AO=CO；∠FOA；被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，即為所求；

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO=∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO．又∠EOC=∠FOA．∴△COE?△AOFASA∴OE=OF．故答案為：∠FAO；AO=CO；∠FOA；由此得到命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分，故答案為：被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．19．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠CAB=25°【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，從而可得結(jié)論；（2）先證明∠DAF=∠ECF=40°，再求解∠EAB=∠DAB?∠DAF=90°?40°=50°，結(jié)合對折的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°．在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，∴△DAF≌△ECF．（2）解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF=∠ECF=40°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°．∴∠EAB=∠DAB?∠DAF=90°?40°=50°，∵∠FAC=∠CAB，∴∠CAB=25°．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．中點(diǎn)四邊形模型20．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFGH是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=12BD∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=12BD∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．證明：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=12AC，F(xiàn)G=12∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．（3）四邊形EFGH是正方形．證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．折疊模型21．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由見解析(3)AP=4011【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=12BM，結(jié)合矩形的性質(zhì)得∠BME=30°（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtΔBQM?（3）由（2）可得QM=QC，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，設(shè)AP=PM=x，分別表示出PD，DQ，PQ【詳解】（1）解：∵AE=BE=∴BE=∵∠BEM=90°，sin∠BME=BE∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC∴RtΔ∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC∴∴∠MBQ=∠CBQ（3）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，∵FQ=1∴QC=CD?DF?FQ=8?4?1=3(cm)，DQ=DF+FQ由（2）可知，QM=QC設(shè)AP=PM=x∴PD即8?x解得：x=∴AP=40當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，∵FQ=1∴QC=5cm，DQ=3cm，由（2）可知，QM=QC設(shè)AP=PM=x∴PD即8?x解得：x=∴AP=24【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．22．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作∠ABC的角平分線；(2)在圖2中過點(diǎn)C作一條直線l，使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．【答案】(1)作圖見解析部分(2)作圖見解析部分【分析】（1）連接AC，HG，AC與HG交于點(diǎn)P，作射線BP即可；（2）取格點(diǎn)D，過點(diǎn)C和點(diǎn)D作直線l即可．【詳解】（1）解：如圖1，連接AC、HG，AC與HG交于點(diǎn)P，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，∵線段AC和HG是矩形的兩條對角線且交于點(diǎn)P，∴AP=CP，又∵AB=22+∴AB=BC，∴BP平分∠ABC，∴射線BP即為所作；（2）如圖2，連接AD、AB、BC、CD，直線l經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，∴AB=22+BC=22+∴AB=AD=CD=BC，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AE=DF=1，BE=AF=2，∠AEB=∠DFA=90°，在△AEB和△DFA中，AE=DF∴△AEB≌△DFASAS∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠DAF+∠BAE=90°，∴∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥l，BC⊥l，且AD=BC，∴直線l即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．23．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點(diǎn)E為BC邊上的動點(diǎn)（不與B、C重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長；(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？【答案】(1)證明見解析(2)DE=4(3)解析式為y=?625x?5562【分析】（1）利用AA證明△ABM∽△EBF，即可；（2）過點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N，可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE=AM=4,AN=ME，再由勾股定理求出BM=3，從而得到ME=AN=2，進(jìn)而得到DN=8，再由勾股定理，即可求解；（3）延長FE交DC的延長線于點(diǎn)G．根據(jù)sin∠B=AMAB=EFBE，可得EF=4【詳解】（1）證明：∵EF⊥AB,AM是BC邊上的高，∴∠AMB=∠EFB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：過點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC邊上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME=∠MAN=∠ANE=90°，∴四邊形AMEN為矩形，∴NE=AM=4,AN=ME，在Rt△ABM中，BM=A又∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1∴ME=AN=2，∴DN=8，在Rt△DNE中，DE=D；（3）解：延長FE交DC的延長線于點(diǎn)G．∵sin∠B=∴45∴EF=4∵AB∥CD，∴∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°，又∵∠AMB=∠EGC=90°，∴△ABM∽△ECG，∴CGBM∴CG3∴GC=3∴DG=DC+CG=3∴y=12EF?DG=∴當(dāng)x=556時(shí)，y有最大值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行