第五章 特殊平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第五章特殊平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．菱形ABCD中，若對(duì)角線AC＝8cm，BD＝6cm，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．25 B．20 C．15 D．102．（2024?重慶模擬）下列說(shuō)法不正確的是（）A．矩形的對(duì)角線相等且互相平分B．菱形的對(duì)角線互相垂直平分C．正方形的對(duì)角線相等且互相平分D．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形3．（2023?南開(kāi)區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)（）A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）4．（2024?鄞州區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，連結(jié)AE，BD，DF，若已知五邊形ABDFE的面積，則一定能求出的線段為（）A．CG B．BC C．AE D．DF5．（2024?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O，M分別是AC，AD的中點(diǎn)，OM＝3，OB＝5，則AD的長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．9 D．86．如圖，在矩形ABCD中，R，P分別是AB，AD上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是RP，PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)，而點(diǎn)R保持不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)不變 D．線段EF的長(zhǎng)先增大后減小7．（2024?驛城區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.58．小明用正方形制作了一個(gè)七巧板如圖1所示，又用這副七巧板拼成了一個(gè)平行四邊形ABCD如圖2，若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是2，則該平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．已知AB＝4，△AOE的面積為5，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．310．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，分別以△ABC的三邊AB，BC，AC為邊向外側(cè)作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，連接EF，GH，DL，再過(guò)A作AK⊥BC于K，延長(zhǎng)KA交EF于點(diǎn)M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLG；②EM＝MF；③2AM＝BC；④當(dāng)AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°時(shí)，S陰影部分＝20，其中正確的結(jié)論共有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（2023秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．12．（2024?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖所示的地面由正六邊形和菱形（所有菱形地磚都全等）兩種地磚鑲嵌而成，則∠BCD的度數(shù)為°．13．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，且DE＝4，CE的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)H，連接EF交AB于點(diǎn)G．若G是AB的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是．14．（2024?禹州市一模）在矩形ABCD中，CD＝10，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AD上，且2AF＝DF．連接EF，F(xiàn)C和EC，若△CEF為直角三角形，則AD的長(zhǎng)為．15．（2023秋?同安區(qū)期末）邊長(zhǎng)分別為3a和2a的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，記圖中陰影部分的面積為S1，沒(méi)有陰影部分的面積為S2，則＝．16．（2024?市南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成了一個(gè)邊長(zhǎng)為9的大正方形ABCD，連接AF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，交DH于點(diǎn)K，作MN⊥FC于點(diǎn)N．若AH＝GH，則CM的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共8小題，共66分）17．（6分）（2023秋?吉林期末）如圖，某舞臺(tái)的地面是由兩個(gè)并排的正方形組成的，其中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a米，正方形ECGF的邊長(zhǎng)8米，現(xiàn)要求將圖中陰影部分涂上油漆．（1）求出涂油漆部分的面積；（結(jié)果要求化簡(jiǎn)）（2）若所涂油漆的價(jià)格是每平方米60元，求當(dāng)a＝4米時(shí)，所涂油漆的費(fèi)用是多少元？18．（6分）（2024?槐蔭區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖，矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：△BOF≌△DOE．19．（6分）如圖，AC是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)B在射線AE上．（1）請(qǐng)用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面積．20．（8分）（2024?大慶一模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC邊于點(diǎn)E、F，AF＝AE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的長(zhǎng)．21．（8分）（2023秋?合川區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，以AE為邊在AB右側(cè)作正方形AEFH，連接AF，交CD于點(diǎn)N，連接EN．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝CG；（2）求證：BE+DN＝EN．22．（10分）（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，AC，且AD＝AF．（1）證明四邊形ABFC為矩形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，則EF的長(zhǎng)為．23．（10分）（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAF＝45°時(shí)，試探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中0≤t≤10．（1）若G，H分別是AD，BC中點(diǎn)，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形（E、F相遇時(shí)除外）？答：；（直接填空，不用說(shuō)理）（2）在（1）條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值；（3）在（1）條件下，若G向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，H向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E，F(xiàn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．

第五章特殊平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．菱形ABCD中，若對(duì)角線AC＝8cm，BD＝6cm，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．25 B．20 C．15 D．10【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，進(jìn)而得到AO和BO的長(zhǎng)，然后再利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再計(jì)算菱形的周長(zhǎng)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，∴AB＝＝5cm，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：5cm×4＝20cm，故選：B．2．（2024?重慶模擬）下列說(shuō)法不正確的是（）A．矩形的對(duì)角線相等且互相平分B．菱形的對(duì)角線互相垂直平分C．正方形的對(duì)角線相等且互相平分D．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，即可逐一判斷．【解答】解：A．矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故A正確，不符合題意；B．菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故B正確，不符合題意；C．正方形的對(duì)角線相等且互相平分，故C正確，不符合題意；D．平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，矩形、菱形、正方形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故D不正確確，符合題意．故選：D．3．（2023?南開(kāi)區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)（）A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（﹣5，4）．故選：C．4．（2024?鄞州區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，連結(jié)AE，BD，DF，若已知五邊形ABDFE的面積，則一定能求出的線段為（）A．CG B．BC C．AE D．DF【分析】連接CF，DE，過(guò)E作ET⊥AD于T，過(guò)D作DR⊥CG于R，作DP⊥CE于P，過(guò)B作BQ⊥DR于Q，交CE于S，根據(jù)正方形的性質(zhì)和AAS證明△BCS與△DCR全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，連接CF，DE，過(guò)E作ET⊥AD于T，過(guò)D作DR⊥CG于R，作DP⊥CE于P，過(guò)B作BQ⊥DR于Q，交CE于S，設(shè)CB＝CD＝AD＝a，CG＝CE＝EF＝b，CS＝x，∵正方形ABCD，正方形CEFG，∴∠BCD＝90°＝∠ECG，∴∠BCS＝∠DCR，在△BCS與△DCR中，，∴△BCS≌△DCR（AAS），∴CR＝CS＝x，∴CP＝，∵cos∠NCD＝，∴CN＝，∴EN＝CE﹣CN＝b﹣，同理可得：，∴ET＝＝，∴PE＝CE﹣CP＝b﹣，∴五邊形ABDFE的面積為：S△ABD+S△AED+S△FED＝＝，∵五邊形ABDFE的面積是定值，∴b可以求解，即CG可以求解，故選：A．5．（2024?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O，M分別是AC，AD的中點(diǎn)，OM＝3，OB＝5，則AD的長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．9 D．8【分析】依據(jù)題意，可得OM是△ADC的中位線，從而CD＝2OM＝6，又OB是Rt△ABC的斜邊AC邊上的中線，可得AC＝2OB＝10，進(jìn)而在Rt△ABC中，AB＝CD＝6，再利用勾股定理可以得解．【解答】解：由題意，∵點(diǎn)O、M分別是AC、AD的中點(diǎn)，∴OM是△ADC的中位線．∴CD＝2OM＝6．又OB是Rt△ABC的斜邊AC邊上的中線，∴AC＝2OB＝10．在Rt△ABC中，AB＝CD＝6，∴由勾股定理可得：BC＝＝8，∴AD＝BC＝8，故選：D．6．如圖，在矩形ABCD中，R，P分別是AB，AD上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是RP，PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)，而點(diǎn)R保持不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)不變 D．線段EF的長(zhǎng)先增大后減小【分析】如圖，連接CR，先說(shuō)明明CR的長(zhǎng)度是定值，再證明EF＝CR，可得EF的長(zhǎng)度是定值，從而可得答案．【解答】解：如圖，連接CR，∵在矩形ABCD中，R，P分別是AB，AD上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)，而點(diǎn)R保持不動(dòng)時(shí)，∴CR的長(zhǎng)度是定值，∵E，F(xiàn)分別是RP，PC的中點(diǎn)，∴EF＝CR，∴EF的長(zhǎng)度是定值．故選：C．7．（2024?驛城區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD＝12，由菱形的面積得出AC＝9，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故選：B．8．小明用正方形制作了一個(gè)七巧板如圖1所示，又用這副七巧板拼成了一個(gè)平行四邊形ABCD如圖2，若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是2，則該平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【分析】過(guò)C作CF⊥AB交AB延長(zhǎng)線于F，根據(jù)圖1正方形的對(duì)角線為2，知圖1正方形的邊長(zhǎng)為，可求出BF＝CF＝＝1，AF＝AB+BF＝3，再用勾股定理可得答案．【解答】解：過(guò)C作CF⊥AB交AB延長(zhǎng)線于F，如圖：∵圖1正方形的對(duì)角線為2，∴圖1正方形的邊長(zhǎng)為，∴圖2中，AD＝BC＝，根據(jù)圖1知，圖2中∠DBC＝90°，∠DBA＝45°，∴∠CBF＝45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴BF＝CF＝＝1，∵AB＝2，∴AF＝AB+BF＝3，∴AC＝＝＝；故選：B．9．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．已知AB＝4，△AOE的面積為5，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．3【分析】連接CE，由題意可得OE為對(duì)角線BD的垂直平分線，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面積則可求得DE的長(zhǎng)，得出AE的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：如圖，連接CE，由題意可得，OE為對(duì)角線AC的垂直平分線，∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，∴S△ACE＝2S△COE＝10．∴AE?CD＝10，∵CD＝4，∴AE＝EC＝5，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3．故選：D．10．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，分別以△ABC的三邊AB，BC，AC為邊向外側(cè)作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，連接EF，GH，DL，再過(guò)A作AK⊥BC于K，延長(zhǎng)KA交EF于點(diǎn)M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLG；②EM＝MF；③2AM＝BC；④當(dāng)AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°時(shí)，S陰影部分＝20，其中正確的結(jié)論共有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①運(yùn)用正方形性質(zhì)和勾股定理即可判斷結(jié)論①不正確；②過(guò)點(diǎn)E作ER⊥AK于R，過(guò)點(diǎn)F作FT⊥AK于T，可證得△AER≌△CAK（AAS），△EMR≌△FMT（AAS），即可判斷結(jié)論②正確；③過(guò)點(diǎn)E作EJ∥AF交AM的延長(zhǎng)線于J，可證得△MEJ≌△MFA（AAS），△AEJ≌△CAB（SAS），即可判斷結(jié)論③正確；④分別過(guò)點(diǎn)A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)可證得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，再運(yùn)用面積法可得AK＝＝＝，再利用S陰影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL，即可判斷結(jié)論④錯(cuò)誤．【解答】解：①由正方形的性質(zhì)可得：S正方形AFGB+S正方形ACDE＝AB2+AC2，S正方形BHLC＝BC2，∵∠BAC不一定是直角，∴AB2+AC2＝BC2不一定成立，故結(jié)論①不正確；②如圖，過(guò)點(diǎn)E作ER⊥AK于R，過(guò)點(diǎn)F作FT⊥AK于T，則∠ERA＝∠ATF＝90°，∴∠EAR+∠AER＝90°，∵四邊形ACDE是正方形，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠EAR+∠CAK＝90°，∴∠AER＝∠CAK，在△AER和△CAK中，，∴△AER≌△CAK（AAS），∴ER＝AK，同理可得：FT＝AK，∴ER＝FT，在△EMR和△FMT中，，∴△EMR≌△FMT（AAS），∴EM＝MF，故結(jié)論②正確；③如圖，過(guò)點(diǎn)E作EJ∥AF交AM的延長(zhǎng)線于J，則∠AEJ+∠EAF＝180°，∠MEJ＝∠MFA，在△MEJ和△MFA中，，∴△MEJ≌△MFA（AAS），∴EJ＝AF＝AB，MJ＝MA，∴AJ＝2AM，∵∠BAF＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠AEJ＝∠BAC，在△AEJ和△CAB中，，∴△AEJ≌△CAB（SAS），∴AJ＝BC，∴2AM＝BC，故結(jié)論③正確；④∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，同理可得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，∵BC?AK＝AB?AC，∴AK＝＝＝，∴S陰影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL＝×3×4+×5×+×5×＝18，故結(jié)論④錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（2023秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，CF⊥y軸，證明△AOD≌△DFC即可求出CE，CF，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，CF⊥y軸，如圖：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，1+）．故答案為：（，1+）．12．（2024?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖所示的地面由正六邊形和菱形（所有菱形地磚都全等）兩種地磚鑲嵌而成，則∠BCD的度數(shù)為°．【分析】根據(jù)正六邊形內(nèi)角和定理，求出每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角求出答案．【解答】解：正六邊形內(nèi)角和（6﹣2）×180°＝720°，所以每個(gè)內(nèi)角度數(shù)720°÷6＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°．故答案為：60．13．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，且DE＝4，CE的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)H，連接EF交AB于點(diǎn)G．若G是AB的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是．【分析】證明△AEG≌△BFG（ASA），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝BF，EG＝FG，設(shè)AE＝x，表示出CF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CF＝EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC＝AD．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中點(diǎn)，AB＝8，∴AG＝BG＝×8＝4，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（ASA），∴AE＝BF，EG＝FG，設(shè)AE＝x，則CF＝BC+BF＝AD+BF＝4+x+x＝4+2x，在Rt△AEG中，EG＝＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分CE，∴CF＝EF，∴4+2x＝2，解得：x＝3，∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，∴BC＝AD＝7．故答案為：7．14．（2024?禹州市一模）在矩形ABCD中，CD＝10，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AD上，且2AF＝DF．連接EF，F(xiàn)C和EC，若△CEF為直角三角形，則AD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A＝∠B＝∠D＝90°，進(jìn)而利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：如圖，∵矩形ABCD，∴AB＝CD＝10，∠A＝∠B＝∠D＝90°，設(shè)DF＝2x，AF＝x，則AD＝BC＝3x，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝EB＝5，由勾股定理可得，EF2＝AF2+AE2＝x2+52，CE2＝BC2+BE2＝（3x）2+52，CF2＝CD2+DF2＝102+（2x）2，∵△CEF為直角三角形，∴EF2+CE2＝CF2，即x2+52+（3x）2+52＝102+（2x）2，解得：，（舍去），∴AD＝3x＝5，故答案為：5．15．（2023秋?同安區(qū)期末）邊長(zhǎng)分別為3a和2a的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，記圖中陰影部分的面積為S1，沒(méi)有陰影部分的面積為S2，則＝．【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積＝正方形的面積﹣沒(méi)有陰影部分的面積，沒(méi)有陰影部分的面積＝直角三角形的面積，代入求值即可．【解答】解：根據(jù)圖形可知：沒(méi)有陰影部分的面積為S2＝?3a?（3a+2a）＝a2，陰影部分的面積為S1＝3a?3a+2a?2a﹣S2＝13a2﹣a2＝a2，∴＝＝．故答案為：．16．（2024?市南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成了一個(gè)邊長(zhǎng)為9的大正方形ABCD，連接AF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，交DH于點(diǎn)K，作MN⊥FC于點(diǎn)N．若AH＝GH，則CM的長(zhǎng)為．【分析】利用正方形的性質(zhì)及四個(gè)全等的直角三角形得到AE∥CG，進(jìn)而得到MF＝MC；設(shè)MF＝MC＝x，在Rt△ADM中利用勾股定理建立方程求得x的值即可．【解答】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，∵AH＝GH，∴AH＝HE＝GF＝EF，由題意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG，∴BE＝EF＝GF＝FC＝，∵AE⊥BF，∴AB＝AF＝9，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE，∵AB2＝AE2+BE2∴AE＝CG，∵AE∥CG，∴∠FAE＝∠GFK，∵∠GFK＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG∴MF＝MC，又∵M(jìn)N⊥FC于點(diǎn)N，∴Rt△MFN≌Rt△MCN，∴CN＝FN＝CF，設(shè)MF＝MC＝x，則AM＝9+x，DM＝9﹣x，由勾股定理得：92+（9﹣x）2＝（9+x）2，解得x＝，則CM＝，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共66分）17．（6分）（2023秋?吉林期末）如圖，某舞臺(tái)的地面是由兩個(gè)并排的正方形組成的，其中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a米，正方形ECGF的邊長(zhǎng)8米，現(xiàn)要求將圖中陰影部分涂上油漆．（1）求出涂油漆部分的面積；（結(jié)果要求化簡(jiǎn)）（2）若所涂油漆的價(jià)格是每平方米60元，求當(dāng)a＝4米時(shí)，所涂油漆的費(fèi)用是多少元？【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可；（2）求出圖形的面積，乘以60元，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）陰影部分的面積為a2+82﹣[a2+×8×（a+8）]＝a2+64﹣[a2+4a+32]＝a2+64﹣a2﹣4a﹣32＝a2﹣4a+32；（2）當(dāng)a＝4時(shí)，a2﹣4a+32＝×42﹣4×4+32＝24，則所涂油漆費(fèi)用＝24×60＝1440（元）．18．（6分）（2024?槐蔭區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖，矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：△BOF≌△DOE．【分析】根據(jù)ABCD是矩形推出AD∥BC，得到∠EDO＝∠FBO，根據(jù)O是BD的中點(diǎn)推出OB＝OD，結(jié)合∠EOD＝∠FOB＝90°，用ASA判定△BOF≌△DOE即可得證．【解答】證明：∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O是BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，又∵∠EOD＝∠FOB＝90°，∴△BOF≌△DOE（ASA）．19．（6分）如圖，AC是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)B在射線AE上．（1）請(qǐng)用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)作出圖形即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示；（2）設(shè)BD，AC交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，∵∠CAB＝30°，∴BO＝AO＝3，∴BD＝2BO＝6，∴菱形ABCD的面積＝＝＝18．20．（8分）（2024?大慶一模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC邊于點(diǎn)E、F，AF＝AE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用ASA證明△AOE≌△COF，得到AE＝CF，得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)AF＝AE，即可得證；（2）勾股定理求出AC的長(zhǎng)，設(shè)CF＝AF＝x，則BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出x的值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥CF，∴∠DAC＝∠BCA，∵O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵AF＝AE，∴?AFCE是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∴，∴．∵四邊形AFCE是菱形，∴CF＝AF，EF⊥AC，EF＝2OF，∴∠COF＝90°，令CF＝AF＝x，則BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，∵AB2+BF2＝AF2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得，即，∴，∴．21．（8分）（2023秋?合川區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，以AE為邊在AB右側(cè)作正方形AEFH，連接AF，交CD于點(diǎn)N，連接EN．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝CG；（2）求證：BE+DN＝EN．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)先證明△ABE≌△EGF，得出AB＝EG＝BC即可得證；（2）延長(zhǎng)EB至點(diǎn)M，使得BM＝DN，連接AM，先證明△ABM≌△ADN，再證明△MAE≌△NAE即可求解．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFH是正方形，∴AE＝EF，∠B＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠GEF，∴∠BAE＝∠GEF，∵FG⊥BC，∴∠G＝90°＝∠B，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG；（2）延長(zhǎng)EB至點(diǎn)M，使得BM＝DN，連接AM，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAD，∵四邊形AEFH是正方形，∴∠EAN＝45°，∴∠BAE+∠NAD＝45°＝∠MAB+∠BAE＝∠MAE，∴∠MAE＝∠EAN，∵AE＝AE，∴△MAE≌△NAE（SAS），∴ME＝NE，∵M(jìn)E＝MB+BE，∴EN＝MB+BE＝DN+BE．22．（10分）（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，AC，且AD＝AF．（1）證明四邊形ABFC為矩形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，則EF的長(zhǎng)為．【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，從而得到AB＝CF；由已知可得四邊形ABFC是平行四邊形，BC＝AF，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形ABFC是矩形；（2）先證△ABE是等邊三角形，可得AB＝AE＝EF＝4．【解答】解：（1）四邊形ABFC是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E為BC的中點(diǎn)，∴EB＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四邊形ABFC是矩形．（2）∵四邊形ABFC是矩形，∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，∴AE＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝4，∴EF＝4．故答案為：4．23．（10分）（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAF＝45°時(shí)，試探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由正方形性質(zhì)可得AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，可證得△ADF≌△ABG（SAS），△AGE≌△AFE（SAS），即可證得結(jié)論；（2）在BC上截取BG＝DF，連接AG．可證得△ADF≌△ABG（SAS），△AGE≌△AFE（SAS），即可證得結(jié)論．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△A