第四章 因式分解（9類題型突破）

第4章因式分解（9類題型突破）題型一判定是否屬于因式分解【例題】1．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：2．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()A． B．C． D．3．下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（

）A． B．C． D．題型二公因式【例題】4．單項(xiàng)式與的公因式是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：5．下列各組中的兩個代數(shù)式，沒有公因式的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．多項(xiàng)式的公因式是（

）A． B． C． D．7．把多項(xiàng)式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．8．（1）多項(xiàng)式的公因式是；（2）多項(xiàng)式的公因式是；（3）多項(xiàng)式的公因式是；（4）多項(xiàng)式的公因式是．題型三提取公因式法分解因式【例題】9．因式分解：(1)． (2)鞏固訓(xùn)練：10．把下列各式分解因式：(1)； (2)．11．將下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)．12．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應(yīng)用了_________次；(2)將下列多項(xiàng)式分解因式：；(3)若分解，則需應(yīng)用上述方法________次，結(jié)果是_________．題型四判斷是否能用公式法分解因式【例題】．13．下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：14．下列多項(xiàng)式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．下列各個多項(xiàng)式中，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．題型五用公式法分解因式【例題】．18．分解因式：(1)； (2)．鞏固訓(xùn)練：19．因式分解：(1)； (2)．20．分解因式：(1) (2)．題型六十字相乘法分解因式【例題】．21．如果多項(xiàng)式可分解為，則m，n的值分別為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：22．用十字相乘法分解因式：(1)； (2)；(3)．23．因式分解：題型七分組分解法分解因式【例題】．24．因式分解：(1)； (2)；(3)．鞏固訓(xùn)練：25．26．因式分解：；27．因式分解：題型八因式分解的應(yīng)用【例題】．28．已知，，那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定鞏固訓(xùn)練：29．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為xm的正方形場地上，修建兩條寬度相等的甬道，其余部分種草，若該場地種草部分的面積為m2，則甬道的寬度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m30．已知a，b，c為三邊，且滿足，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能確定31．如果能被整除，則（

）．A． B．8 C．7 D．32．已知，則的值（

）．A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定33．已知，，那么的值為.34．已知，則的值為．題型九材料信息題【例題】．35．觀察下面因式分解的過程：上面因式分解過程的第一步把拆成了，這種因式分解的方法稱為拆項(xiàng)法．請用上面的方法完成下列題目：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練：36．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．37．閱讀材料，解決問題：對形如的整式稱為完全平方式，我們可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解，例如；而對于這樣無法直接運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解的整式，我們可以先適當(dāng)變形，再運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解，例如：(1)若是一個完全平方式，則k的值為______．(2)分解因式：．(3)我們還可以仿照上面的方法解決求整式的最大（或最?。┲祮栴}，例如：．∵，∴，則當(dāng)時(shí)，整式有最小值，其值為．求當(dāng)x的值為多少時(shí)，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．38．閱讀：證明命題“一個三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個數(shù)就可以被3整除”．設(shè)表示一個三位數(shù)，則因?yàn)槟鼙?整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一個四位數(shù)，如果能被9整除，證明能被9整除；②若一個五位數(shù)能被9整除，則______；(2)若一個三位數(shù)的各位數(shù)字是任意三個連續(xù)的正整數(shù)，則的最小正因數(shù)一定是______（數(shù)字“1”除外）；(3)由數(shù)字1至9組成的一個九位數(shù)，這個數(shù)的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類推，一直到整個九位數(shù)能被9整除，寫出這個九位數(shù)是______．

第4章因式分解（9類題型突破）題型一判定是否屬于因式分解【例題】1．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用因式分解的意義分析得出答案．【解析】解：A、，從左到右是整式的乘法運(yùn)算，不合題意；B、，右邊不是乘積形式，不合題意；C、，從左到右是整式的乘法運(yùn)算，，不合題意；D、，從左到右是因式分解，符合題意．故選：D．鞏固訓(xùn)練：2．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義；運(yùn)用因式分解的定義進(jìn)行辨別、求解．【解析】解：A.∵不是表示整式的乘積，∴選項(xiàng)A不符合題意；B.，∴選項(xiàng)B不符合題意；C.不是整式乘積的形式，∴選項(xiàng)C不符合題意；D.，是因式分解，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．3．下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解的含義，根據(jù)分解因式的概念求解即可．解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為整式乘積的形式．【解析】解A、是整式的乘法，故A不符合題意；B、的右邊不是整式，故B不符合題意；C、，符合因式分解的定義，故C符合題意；D、的右邊不是整式的積的形式，故D不符合題意．故選：C．題型二公因式【例題】4．單項(xiàng)式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念分別求得系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的次數(shù)的最低次數(shù)即可．【解析】解：單項(xiàng)式與的公因式是．故選：C．鞏固訓(xùn)練：5．下列各組中的兩個代數(shù)式，沒有公因式的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查了公因式的概念，正確理解公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念逐一判斷選項(xiàng)即可．【解析】A、和的公因式是，不符合題意；B、和，沒有公因式，符合題意；

C、和的公因式是，不符合題意；D、和的公因式是5，不符合題意；故選B．6．多項(xiàng)式的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查找公因式，找數(shù)字的最大公因式，字母找相同字母最低指數(shù)即可得到答案；【解析】解：由題意可得，的公因式是：，故選：B．7．把多項(xiàng)式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求結(jié)果．熟練掌握提公因式是解決問題的關(guān)鍵．【解析】，則余下的部分是x．故選：C．8．（1）多項(xiàng)式的公因式是；（2）多項(xiàng)式的公因式是；（3）多項(xiàng)式的公因式是；（4）多項(xiàng)式的公因式是．【答案】；；；．【分析】本題主要考查了公因式，根據(jù)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的，進(jìn)而得出答案，掌握公因式的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；故答案為：（）；（）；（）；（）題型三提取公因式法分解因式【例題】9．因式分解：(1)．(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了因式分解，掌握和靈活運(yùn)用分解因式的方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）首先進(jìn)行多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后提取公因式，即可分解因式；（2）首先提取公因式，再化簡即可．【解析】（1）解：原式．（2）解：原式鞏固訓(xùn)練：10．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，需把“-”號提出來；（2）利用提公因式法解答，注意符號的變化．【解析】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，找準(zhǔn)多項(xiàng)式的公因式是解題的關(guān)鍵．11．將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提取公因式因式分解解題即可；（2）提取公因式分解因式即可；（3）把看成整體提取公因式分解因式即可；（4）把看成整體提取公因式分解因式即可．【解析】（1）；（2）；（3））；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式因式分解，掌握提取公因式的方法是解題的關(guān)鍵．12．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應(yīng)用了_________次；(2)將下列多項(xiàng)式分解因式：；(3)若分解，則需應(yīng)用上述方法________次，結(jié)果是_________．【答案】(1)提取公因式法；2(2)(3)2023；【分析】（1）根據(jù)題意可知題干的因式分解方法是提公因式法，一共應(yīng)用了2次；（2）仿照題意進(jìn)行提取公因式進(jìn)行分解因式即可得到答案；（3）根據(jù)題意可得規(guī)律，提n次公因式，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：由題意得，題干的因式分解方法是提公因式法，一共應(yīng)用了2次，故答案為：提公因式法；2；（2）解：原式；（3）解：，提1次公因式，提2次公因式，提3次公因式……∴依次類推，，提n次公因式，∴，提2023次公因式，故答案為：2023；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．題型四判斷是否能用公式法分解因式【例題】．13．下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查用完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練運(yùn)用完全平方公式.是解題的關(guān)鍵利用完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可解答．【解析】解：A、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；B、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；C、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；D、，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；故選：D．鞏固訓(xùn)練：14．下列多項(xiàng)式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式，屬于基本題目，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式逐一判斷即可．【解析】解：①，不符合題意；②，不符合題意；③不能用完全平方公式分解，符合題意；④，不符合題意；⑤不能用完全平方公式分解，符合題意．故選：B．16．下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，據(jù)此逐項(xiàng)分析，即可作答．【解析】解：，故（1）符合題意；不能運(yùn)用公式法分解因式，故（2）不符合題意；，故（3）符合題意；，不能運(yùn)用公式法分解因式，故（4）不符合題意；所以能運(yùn)用公式法分解因式的有（1）和（3），故選：B17．下列各個多項(xiàng)式中，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式因式分解逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【解析】解：A、，能用平方差公式進(jìn)行因式分解，該選項(xiàng)不符合題意；B、，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，該選項(xiàng)符合題意；C、，能用平方差公式進(jìn)行因式分解，該選項(xiàng)不符合題意；D、，能用平方差公式進(jìn)行因式分解，該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查公式法因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．題型五用公式法分解因式【例題】．18．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；（1）先提取公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．鞏固訓(xùn)練：19．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【解析】（1）解：（2）20．分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵﹒（1）直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進(jìn)而得出答案；（2）直接提負(fù)號，再利用公式法分解因式即可﹒【解析】（1）解：原式（2）原式題型六十字相乘法分解因式【例題】．21．如果多項(xiàng)式可分解為，則m，n的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：由題意得：，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：22．用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．23．因式分解：【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式及十字相乘法可進(jìn)行因式分解．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型七分組分解法分解因式【例題】．24．因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分組法變形為后用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解因式即可．（2）利用十字相乘法分解因式即可．（3）變形為后用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解因式即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了常見的幾種因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分組分解法，十字相乘法，熟練掌握以上分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：25．【答案】【分析】首先把一二項(xiàng)分為一組、三四五項(xiàng)分為一組，然后再利用公式法和提公因式法分解．【解析】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，綜合利用分組分解、公式法和提公因式法分解是解題關(guān)鍵．26．因式分解：；【答案】【分析】本題租用考查了分解因式，先分組得到，進(jìn)而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．【解析】解：．27．因式分解：【答案】【分析】本題考查的是多項(xiàng)式的因式分解，掌握分組分解因式是解本題的關(guān)鍵；本題先分成2組分別提公因式x，再進(jìn)一步的提公因式分解因式即可．【解析】解：；題型八因式分解的應(yīng)用【例題】．28．已知，，那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，以及積的乘方逆用，根據(jù)作差法比較兩個數(shù)的大小即可．【解析】解：，．故選：B．鞏固訓(xùn)練：29．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為xm的正方形場地上，修建兩條寬度相等的甬道，其余部分種草，若該場地種草部分的面積為m2，則甬道的寬度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m【答案】A【分析】本題考查因式分解的實(shí)際應(yīng)用，將進(jìn)行因式分解后，即可得出結(jié)果．【解析】解：，∴甬道的寬度是3m，故選A．30．已知a，b，c為三邊，且滿足，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】將已知式子因式分解為，則有或，即可判斷三角形的形狀．本題主要考查等腰三角形的判定和因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．【解析】，，，，或，或，∴是等腰三角形，故選：C．31．如果能被整除，則（

）．A． B．8 C．7 D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解，整式的除法，根據(jù)題意設(shè)商為，則，整理得，，則，進(jìn)行計(jì)算可得a，b的值，即可得答案，正確求出m的值，掌握因式分解，整式的除法是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)商為，則，整理得，，∴解得，則，，∴，故選：D．32．已知，則的值（

）．A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式．此題可直接用多項(xiàng)式M減去多項(xiàng)式N，然后化簡，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負(fù)．【解析】解：∵，∴．故選：B33．已知，，那么的值為.【答案】【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．原式提取公因式，再利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解析】解：，，原式．故答案為：34．已知，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了求代數(shù)式的的值，因式分解的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)．把變形為，然后把代入計(jì)算即可．【解析】解：∵，∴．故答案為：．題型九材料信息題【例題】．35．觀察下面因式分解的過程：上面因式分解過程的第一步把拆成了，這種因式分解的方法稱為拆項(xiàng)法．請用上面的方法完成下列題目：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解，理解題中拆項(xiàng)法是解答的關(guān)鍵．（1）將拆成，然后重新組合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將拆成，然后重新組合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【解析】（1）解：；（2）解：．鞏固訓(xùn)練：36．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解運(yùn)用公式法：靈活運(yùn)用平方差公式、完全平方公式和整體思想是解決問題的關(guān)鍵．（1）把原式看作關(guān)于的二次三項(xiàng)式，然后利用完全平方公式分解因式；（2）把原式看作關(guān)于的二次三項(xiàng)式，然后利用完全平方公式分解因式．【解析】（1）將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式；故答案為：；（2）將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．37．閱讀材料，解決問題：對形如的整式稱為完全平方式，我們可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解，例如；而對于這樣無法直接運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解的整式，我們可以先適當(dāng)變形，再運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解，例如：(1)若是一個完全平方式，則k的值為______．(2)分解因式：．(3)我們還可以仿照上面的方法解決求整式的最大（或最?。┲祮栴}，例如：．∵，∴，則當(dāng)時(shí)，整式有最小值，其值為．求當(dāng)x的值為多少時(shí)，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，整式有最大值，最大值為31【分析】本題主要考查了完全平方式．熟練掌握完全平方式，配方法，公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵．（1）由，得，求解即可；（2）將通過配方變形為，再用平方差公式分解因式即可；（3）將通過配方變形為，再根據(jù)，得到，即可求解．【解析】（