解題研究：中點(diǎn)四大模型-6.1

中點(diǎn)四大模型與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．中位線判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊．直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形模型1倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形換個(gè)馬甲也要認(rèn)識(shí)哦，如下情形讀者自證。模型闡述如圖①，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）．如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E使DE＝FD，易證：△FDB≌△EDC（SAS）當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移．點(diǎn)評(píng)：倍長(zhǎng)中線：即延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍．其目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂?shù)娜热切危黄浔举|(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角．難點(diǎn)：有些幾何題在利用“倍長(zhǎng)中線”證完一次全等三角形后，還需要再證一次全等三角形，即“二次全等”。在證明第二次全等時(shí)，難點(diǎn)通常體現(xiàn)在倒角上，常見(jiàn)的倒角方法有：=1\*GB3①“8”字型；=2\*GB3②平行線；=3\*GB3③180°（平角、三角形內(nèi)角和）；=4\*GB3④360°（周角、四邊形內(nèi)角和）；=5\*GB3⑤小旗子（三角形外角）；=6\*GB3⑥90°（互余角）例題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝(AB2＋AC2)．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交ND的延長(zhǎng)線于E，連ME．∵BD＝DC，∴ED＝DN．在△BED與△CND中，∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE＝NC．∵∠MDN＝90°，∴MD為EN的中垂線．∴EM＝MN．∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，∴△BEM為直角三角形，∠MBE＝90°．∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．∴∠BAC＝90°．∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．拔高：⑴如圖，已知中，，是邊上的中線，延長(zhǎng)到，使．給出下列結(jié)論：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，則以上結(jié)論正確的是．解析：①正確．∵，，∴AD=2AC．②、④正確．延長(zhǎng)到，使，連接．∵是的中線，∴．在和中，，∴∴，∴在和中，∴∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③錯(cuò)誤．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB邊上中線而不是∠ACB的角平分線故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊BC的三等分點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，則以上結(jié)論正確的是．解析：點(diǎn)D、E為邊BC的三等分點(diǎn)，∴BD=DE=CE延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，AE至點(diǎn)N，使得DM=AD，EN=AE，連接EM、CN，則可證明△ABD≌△MED，進(jìn)而可得AB+AE＞2AD，再證明△ADE≌△NCE，進(jìn)而可得AD+AC＞2AE，將兩式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正確．模型2已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可與頂點(diǎn)連接用“三線合一”換個(gè)馬甲也要認(rèn)識(shí)哦，如下情形讀者自證。模型闡述等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見(jiàn)等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”．例題：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求證：∠EDB＝∠FDC．證明：連結(jié)AD，∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ADB＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC．拔高：已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．（1）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DF⊥AC于E時(shí)（如圖①），求證：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；（2）當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需要證明．解：（1）連接CD；如圖2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；（2）不成立；S△DEF?S△CEF＝S△ABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE＋S△DBC，＝S△CFE＋S△ABC，∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC．模型3已知三角形一邊的中點(diǎn)，可考慮中位線定理?yè)Q個(gè)馬甲也要認(rèn)識(shí)哦，如下情形讀者自證。模型闡述在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC，且DE＝BC來(lái)解題．中位線定理中既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決角問(wèn)題，線段之間的倍半、相等及平行問(wèn)題．題型1、如果已知三角形兩邊中點(diǎn)，就直接連接構(gòu)成三角形的中位線例1：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F、G分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，試說(shuō)明線段GH與線段EF的位置關(guān)系；解析：在△ABC中，E、G分別是AD、BD的中點(diǎn)，可連接EG，則有；在△BCD中，G、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，可連接GF，則有,而AB=CD，所以,即△EFG是等腰三角形，又H是底邊EF的中點(diǎn)，由等腰三角形的三線合一定理可知GH⊥EF.題型2、如果已知三角形一邊中點(diǎn)，則可取另一邊的中點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成三角形的中位線例2：如圖1所示，在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD是三角形的高，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，求證：DM=AB。解析：看到結(jié)論的表達(dá)形式，我們就想到，三角形的中位線定理，有這樣的特點(diǎn)，因此，我們就可以構(gòu)造AB上的中位線。如圖2，再證明這條中位線與DM是相等的。題型3、利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理例3：自△ABC的頂點(diǎn)A，向∠B和∠C的平分線作垂線，重足分別為D、E。求證：DE∥BC解析：欲證ED//BC我們可想到有關(guān)平行的判定，但要找到有關(guān)角的關(guān)系很難，這時(shí)只要通過(guò)延長(zhǎng)AD、AE，交BC與CB的延長(zhǎng)線于G與H，通過(guò)證明△ABD與△GBD全等易證D是AG中點(diǎn)，同理E為AH的中點(diǎn)，故，ED是△AEG的中位線，當(dāng)然有DE∥BC。小結(jié)：由此題我們可以知道證明直線或線段平行除了平行判定等，還可以用中位線定理來(lái)證明直線或線段平行。題型4、利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理例4：如圖5所示，AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著B(niǎo)A、AD、DF的方向運(yùn)動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著B(niǎo)C、CE、EF的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從B出發(fā)，則誰(shuí)先到達(dá)？解析：要想知道誰(shuí)先到達(dá)，因?yàn)?，他們的速度相等，所以，誰(shuí)走的路程短，就是誰(shuí)先到達(dá)，所以，關(guān)鍵是比較BA+AD+DF與BC+CE+EF的大小。拔高：（1）如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分別為D，E，連接DE，求證：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；（2）如圖2，BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立？（3）如圖3，BD是△ABC的內(nèi)角平分線，CE是△ABC的外角平分線，其他條件不變，DE與BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中一種情況進(jìn)行證明.1.解答（1）如圖①，分別延長(zhǎng)AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.∴DE=（AB+AC+BC）.（2）猜想結(jié)果：圖②結(jié)論為DE=（AB+AC-BC）證明：分別延長(zhǎng)AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC∴DE=（AB+AC-BC）（3）圖③的結(jié)論為DE=（BC+AC-AB）證明：分別延長(zhǎng)AE，AD交BC或延長(zhǎng)線于H，K.在△BAD和△BKD中，，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可證，AE=HE，AC=HC.∴DE=KH.又∵HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-AB∴DE=（BC+AC-AB）.模型4已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線換個(gè)馬甲也要認(rèn)識(shí)哦，如下情形讀者自證。模型闡述在直角三角形中，當(dāng)遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即CD=AB，來(lái)證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ACD和△BCD，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用.題型1、證明線段相等例題1：在△ABC中，∠BAC=90°，延長(zhǎng)BA到D點(diǎn)，使，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AC的中點(diǎn)。（1）求證：DF=BE；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交DF于G，求證：AG=DG題型2、證明角相等例題2：在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分別為AC、AB上的高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：∠FED=∠FDE。題型3、證明線段的倍分及和差關(guān)系例題3：在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連AE。求證：（1）∠AEC=∠C；（2）求證：BD=2AC。題型4、證明線段垂直例4：在四邊形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分別是AB、DC邊上的中點(diǎn)。求證：MN⊥DC。題型5、證明特殊的幾何圖形例5：將Rt△ACB沿直角邊AC所在直線翻折180°得到Rt△ACE，點(diǎn)D與點(diǎn)F分別是斜邊AB、AE的中點(diǎn)，連CD、CF，則四邊形ADCF為菱形．請(qǐng)給予證明．拔高.問(wèn)題1：如圖①，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).AE、BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF，若DE=kDF，則k的值為.問(wèn)題2：如圖②，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過(guò)點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF，求證：DE=DF.問(wèn)題3：如圖③，若將上面問(wèn)題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解答（1）AE⊥BC，BF⊥AC，∴△AEB和△AFB都是直角三角形，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE=AB，DF=AB.∴DE=DF.∵DE=KDF，∴k=1.（2）∵CB=CA，∴∠CBA=∠CAB.∵∠MAC=∠MBC，∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，∴∠MEB=∠MFA=90°.又∵∠MBE=∠MAF，∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF.∵D是AB的中點(diǎn)，即BD=AD，又∵∠DBE=∠DAF，∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE=DF.（3）DE=DF.如圖，作AM的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H，連DG，F(xiàn)G，DH，EH.∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴DG∥BM，DG=BM.