重難點(diǎn)04 全等三角形與相似三角形

重難點(diǎn)突破04全等三角形與相似三角形重難點(diǎn)題型突破題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型類型一對(duì)角互補(bǔ)模型1．（20-21八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF=_________°，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則CQBM剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4．（4）求證：BM3．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．類型二對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的半角模型4．（2022·遼寧朝陽·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫出完整的證明過程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫出線段OD的長．5．（20-21九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）問題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點(diǎn)．若∠BAD=2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．童威同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．

（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在線段BC上、F在線段CD延長線上．若∠BAD=2∠EAF，上述結(jié)論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明．（3）拓展應(yīng)用．如圖3，在四邊形ABDC中，∠BDC=45°，連接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．則△ACD的面積為．6．（2020·河南南陽·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊AD、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），①求證：△ABE≌△CBF；②求證：AE+CF=EF；（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，AE≠CF，此時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否還成立？請(qǐng)直接回答．類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型7．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．8．（2020·遼寧丹東·中考真題）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)B在A'B'所在直線上，點(diǎn)B（1）如圖1，若點(diǎn)A與A'重合，且∠BAD=∠B'（2）若點(diǎn)A與A'不重合，M是A'C'上一點(diǎn)，當(dāng)MA'=MA時(shí)，連接BM和A①如圖2，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=90°②如圖3，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=60°③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4，AB=29．（2022·河南駐馬店·三模）如圖1，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=9cm．點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE．連接BE，DE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BD、BE、BC之間的數(shù)量關(guān)系是____________，直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是____________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB（不與A點(diǎn)重合）上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說明理由；(3)如圖3，將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6，其它條件不變，以CD為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，請(qǐng)問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由．類型四中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG．【猜想論證】(1)猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【拓展探究】(2)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG.你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．11．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為___________________．(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2，AD=4．探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積．類型五通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等13．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為23、2、4，則正方形ABCD的面積為（

A．28+83 B．14+43 C．1214．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②_____________________________可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④______點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km15．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問題背景】：如圖1，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD,BD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，連接DE，觀察發(fā)現(xiàn)：BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_____________，直線BD與CE所夾的銳角為________度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點(diǎn)D是等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠ADB=60°,ADBD=3題型02構(gòu)造相似三角形解題類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似16．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，連接BC，過點(diǎn)C的直線垂直于BE的延長線于點(diǎn)D，交BA的延長線于點(diǎn)P．(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)若PC=22BO，PB=10，求17．（2018·湖北黃石·中考真題）在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)（不與A、B、C重合）．（1）如圖1，若EF∥BC，求證：S（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若EF上一點(diǎn)G恰為△ABC的重心，AEAB=3類型二做平行線構(gòu)造“X”型相似18．（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，過G點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，當(dāng)EF∥BC時(shí)，求證：BEAE(2)如圖2，當(dāng)EF和BC不平行，且點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上或點(diǎn)F在AC的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．19．（2023·湖北孝感·三模）【問題情境】小睿遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的長．【問題探究】小睿發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)(1)①∠ACE的度數(shù)為________；②求AC的長；【問題拓展】(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC與BD交于點(diǎn)E,AE=2m,BE=2ED，求BC的長．20．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，①若BE=BC，過C作CF⊥BE交BE于點(diǎn)F，求證：△ABE≌②若S矩形ABCD=20（2）如圖，在菱形ABCD中，cosA=13，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，過E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F，若S（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點(diǎn)E在CD上，且CE=2，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點(diǎn)G，若EF?EG=73時(shí)，請(qǐng)直接寫出AG類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似21．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠B=∠MDB時(shí)，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長．22．（2020·江蘇南通·中考真題）【了解概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線．【理解運(yùn)用】（1）如圖①，對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形．證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設(shè)AEBE類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似23．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，則BD的長為24．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，25．（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與A．23 B．11 C．3214題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題類型一運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求點(diǎn)的坐標(biāo)26．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，OA=OB=35，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=32，連接AC，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:MA=1:2．當(dāng)線段OMA．35,65 B．35527．（2021·湖南婁底·中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙A與直線l:y=512xA．(?12,0) B．(?13,0) C．(±12,0) D．(±13,0)28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于A，B(1)m=_________，k=_________，點(diǎn)C的坐標(biāo)為____________．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．類型二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值29．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB～△DCA，若AD=3AP，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則A．72 B．62 C．5230．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為．31．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，APPC的值是32．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)如圖2，連接CF，過點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段DE的長．類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）33．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是34．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+135．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C1,0，交y軸于點(diǎn)B0,3，拋物線的對(duì)稱軸交x（1）求拋物線的解析式；（2）將線段OE繞著點(diǎn)О沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段OE'，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°，連接AE'，BE'，求BE'+（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；類型四相似中的“一線三等角”模型36．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，∠ABC=90°，分別過A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，點(diǎn)E、F、M分別在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，當(dāng)BE+BF=9時(shí)，求四邊形MEBF的面積．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=8，求37．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在綜合實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在射線AB上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為DE，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)F．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)F恰好落在矩形ABCD的邊BC上，直接寫出一個(gè)與△BEF相似的三角形；(2)深入探究：如圖2，若點(diǎn)F落在矩形ABCD的邊BC的下方時(shí)，EF、DF分別交BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)F作FG⊥BC，F(xiàn)H⊥DC，垂足分別為點(diǎn)G、H，當(dāng)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷△DEF與△DFH是否相似，并證明你的結(jié)論；(3)問題解決：在（2）的條件下，若AD=3，BE=33，求38．（2023·河南周口·三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，∠ABC=α，將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段CE，在射線BC上取點(diǎn)D，使得∠CDE=α．請(qǐng)求出線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他條件不變，則線段BC（3）拓展延伸：如圖3，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，把線段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF，直接寫出線段BF的長．類型五相似三角形與多邊形綜合39．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG(1)如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和DGBE(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時(shí)，求線段BE的長；(3)如圖3，當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足PE=EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．40．（2023·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α=90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α=120°時(shí)，若DGCG=141．（2021·山東日照·中考真題）問題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①AEDF=_____；②直線AE與（2）小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為____________．

重難點(diǎn)突破04全等三角形與相似三角形重難點(diǎn)題型突破題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型類型一對(duì)角互補(bǔ)模型1．（20-21八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長．【答案】10【分析】過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM＝AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2＋NC2即MN2＝BM2＋NC2．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中{AB＝AC∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中{AM＝AE∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2．∴MN2＝BM2＋NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12＋32，∴MN＝10．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，掌握三角形的全等的判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF=_________°，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則CQBM剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4．（4）求證：BM【答案】（1）45，△ABC，△ADC；（2）BP+DQ=PQ；（3）2；（4）見解析【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：∠DAF=∠FAC,∠BAE=∠EAC，∠EAF=∠FAC+∠EAC，根據(jù)正方形的性質(zhì)：AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°=∠DAF+∠FAC+∠BAE+∠EAC，則∠EAF=12∠BAD=45°（2）如圖：將△ADQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，證明△APQ≌△APQ（3）證明△ACQ∽△ABM即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)半角模型，將△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接MN'，可得DN=BN'，通過△AMN≌△AMN【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可知：∠DAF=∠FAC,∠BAE=∠EAC∵ABCD為正方形∴∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD∴△ABC,△ADC為等腰三角形∵∠BAD=∠DAF+∠FAC+∠BAE+∠EAC∴∠BAD=2∵∠EAF=∠FAC+∠EAC∴∠EAF=（2）如圖：將△ADQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQ=AQ'，DQ=B由（1）中結(jié)論可得∠PAQ=45°∵ABCD為正方形，∠BAD=90°∴∠BAP+∠DAQ=45°∴∠BA∴∠PAQ=∠PA∴在△APQ和△APQAP=AP∴△APQ≌△AP∴PQ=P∵P∴PQ=DQ+BP（3）∵BD,AC為正方形ABCD對(duì)角線∴AC=∴∠ABM=∠ACQ=45°，∠BAC=45°∵∠PAQ=45°∴∠BAM=45°?∠PAC，∠CAQ=45°?∠PAC∴∠BAM=∠CAQ∴△ABM∽△ACQ∴（4）如圖：將△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接MN由（2）中的結(jié)論可證△AM∴MN=M∵∠D=45°,∠ABD=45°根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠D=∠ABN'∴∠MB∴在Rt△MBN'∴B【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，能夠綜合運(yùn)用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．實(shí)際應(yīng)用：210海里．【分析】延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；探究延伸1：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；探究延伸2：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再證明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，將AE和CF的長代入即可．【詳解】解：EF=AE+CF理由：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．理由：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=12∠∴∠CBG+∠CBF=12∠即∠GBF=12∠在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．理由：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=12∠∴∠CBG+∠CBF=12∠即∠GBF=12∠在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∠∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF=AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．類型二對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的半角模型4．（2022·遼寧朝陽·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫出完整的證明過程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫出線段OD的長．【答案】(1)AC=BC+CD；理由見詳解；(2)CB+CD=2AC；理由見詳解；(3)33?3【分析】（1）如圖1中，延長CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：CB+CD=2AC．如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)N．證明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，證明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．

∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE，在△ADE和△ABC中，DA=BA∠ADE=∠B∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等邊三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD；（2）解：結(jié)論：CB+CD=2AC．理由：如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)N．

∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN，∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=2CM，∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CN?BN+CM+DM=2CM=2AC；（3）解：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．

∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=3CB，∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴SΔCDO∴ODOB∵AB=AD=6，∠DAB=90°，∴BD=2AD=23，∴OD=31+如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，

同法可證ODOB=?綜上所述，滿足條件的OD的長為33?3或【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．5．（20-21九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）問題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點(diǎn)．若∠BAD=2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．童威同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．

（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在線段BC上、F在線段CD延長線上．若∠BAD=2∠EAF，上述結(jié)論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明．（3）拓展應(yīng)用．如圖3，在四邊形ABDC中，∠BDC=45°，連接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．則△ACD的面積為．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）不成立，EF=BE?DF．理由見解析；（3）8【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，即可證明△ABE≌△ADGSAS，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGFSAS，可得（2）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE?BG=BE?DF．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DH⊥AB交AB的延長線于H，DK⊥AC交AC的延長線于K，DJ⊥BC于J．證明四邊形AHDK是正方形即可解決問題．【詳解】解：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，∴∠ADG=∠B，在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為：EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE?FD．理由如下：證明：如圖2中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADFSAS∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF．∵∠BAD=2∠EAF，∴∠GAF=2∠EAF，∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEFSAS∴EG=EF．∵EG=BE?BG，∴EF=BE?FD．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DH⊥AB交AB的延長線于H，DK⊥AC交AC的延長線于K，DJ⊥BC于J．

∵AB:AC:BC=3:4:5，∴設(shè)AB=3k，AC=4k，BC=5k，∴AB∴∠BAC=90°，∵∠H=∠K=90°，∴四邊形AHDK是矩形，∴∠HDK=90°，∵∠BDC=45°，∴∠BDH+∠CDK=45°，∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBH=180°，∴∠DBH=∠DBC，∵∠H=∠DJB=90°，DB=DB，∴△BDH≌△BDJAAS∴DH=DJ，∠BDH=∠BDJ，BH=BJ，∵∠BDJ+∠CDJ=45°，∠BDH+∠CDK=∠BDJ+∠CDK=45°，∴∠CDJ=∠CDK，∵∠K=∠DJC=90°，CD=CD，∴△CDK≌△CDJAAS∴DJ=DK，CJ=CK，∴DH=DK，∴四邊形AHDK是正方形，∴BH+CK=BJ+CJ=5k，∴AH+AK=12k，∴AK=KD=6k，∵AD=4，∴AK=DK=22∴k=2∴AC=4∴S故答案為83【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理；本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．6．（2020·河南南陽·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊AD、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），①求證：△ABE≌△CBF；②求證：AE+CF=EF；（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，AE≠CF，此時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否還成立？請(qǐng)直接回答．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）①不成立，②成立．【分析】（1）①根據(jù)AB＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF即可得證；②先證△BEF為等邊三角形，進(jìn)而得到EF＝BE＝BF，再由∠ABE=∠CBF結(jié)合∠ABC=120°，∠MBN=60°可得∠ABE=∠CBF=30°，進(jìn)而可證得BE=2AE，再用等量代換即可得證；（2）延長FC至G，使AE＝CG，連接BG，先證△BAE≌△BCG，再證△GBF≌△EBF即可．【詳解】（1）①證明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠BAE=∠BCF=90°．在△ABE和△CBF中，AE=CF∴△ABE≌△CBF（SAS）．②證明：由①知△ABE≌△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF．∵∠MBN=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴EF=BE=BF．又∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠CBF=1∵∠BAE=90°，∴BE=2AE．∵AE=CF，∴AE+CF=2AE=BE=EF．（2）如圖2，延長FC至G，使CG＝AE，連接BG，在△BAE和△BCG中，BA=BC∠BAE=∠BCG∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，∵∠ABC＝120°，∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠CBG＋∠CBF＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，在△GBF和△EBF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE，∴①不成立，②成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．本題是典型的“大角夾半角模型”，其基本思路是“旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短”，從而構(gòu)造全等三角形．類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型7．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)BD=CE，理由見解析(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由見解析【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△ABD≌△ACESAS（2）①根據(jù)線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE得到△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，進(jìn)而得到△BAD∽△FAG，進(jìn)而求出∠ADB=90°，結(jié)合BD=CE，ED＝【詳解】（1）解：BD=CE．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；（2）解：①BE=AE+CE理由：∵線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，∴BE=DE+BD=AE+CE；②過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵△ADE是等邊三角形，AG⊥DE，∴∠DAG=1∴AGAD∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=1∴AFAB∴∠BAF=∠DAG，AGAD∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAD=∠FAG，∴△BAD∽△FAG，∴∠ADB=∠AGF=90°．∵BD=CE，ED＝∴BD=AD，即△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．8．（2020·遼寧丹東·中考真題）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)B在A'B'所在直線上，點(diǎn)B（1）如圖1，若點(diǎn)A與A'重合，且∠BAD=∠B'（2）若點(diǎn)A與A'不重合，M是A'C'上一點(diǎn)，當(dāng)MA'=MA時(shí)，連接BM和A①如圖2，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=90°②如圖3，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=60°③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4，AB=2【答案】（1）見詳解；（2）①A′C＝2BM，∠BPC＝45°；②A′C＝3BM，∠BPC＝30°；③1＋333【分析】（1）證明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得結(jié)論；（2）①證明△AA′C∽△MAB，可得結(jié)論；②證明方法類似①，即證明△AA′C∽△MAB即可得出結(jié)論；③求出A′C，利用②中結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖1，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，∴四邊形ABCD，四邊形A′B′CD′都是正方形，∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，∴∠DAD′＝∠BAB′，∵AD＝AB，AD′＝AB′，∴△ADD′≌△BAB′（SAS），∴DD′＝BB′；（2）①解：如圖2中，結(jié)論：A′C＝2BM，∠BPC＝45°；理由：設(shè)AC交BP于O，∵四邊形ABCD，四邊形A′B′CD′都是正方形，∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，∴∠A′AC＝∠MAB，∵M(jìn)A′＝MA，∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，∴∠AMA′＝90°，∴AA′＝2AM，∵△ABC是等腰直角三角形，∵AC＝2AB，∴AA'AM=AC∵∠A′AC＝∠MAB，∴△AA′C∽△MAB，∴A'CBM=AA'AM=2，∴A′C＝2BM，∵∠AOB＝∠COP，∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°；②解：如圖3中，設(shè)AC交BP于O，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，∴∠A′AC＝∠MAB，∵M(jìn)A′＝MA，∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，∴AA′＝3AM，在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，∴AC＝3AB，∴AA'AM=AC∵∠A′AC＝∠MAB，∴△A′AC∽△MAB，∴A'CBM=AA'AM=3，∴A′C＝3BM，∵∠AOB＝∠COP，∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°；③如圖4中，過點(diǎn)A作AH⊥A′C于H，由題意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝3AB＝23，在Rt△A′AH中，A′H＝12AA′＝1，A′H＝3AH＝3在Rt△AHC中，CH＝AC2?AH2∴A′C＝A′H＋CH＝3＋11，由②可知，A′C＝3BM，∴BM＝1＋333【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．9．（2022·河南駐馬店·三模）如圖1，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=9cm．點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE．連接BE，DE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BD、BE、BC之間的數(shù)量關(guān)系是____________，直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是____________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB（不與A點(diǎn)重合）上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論并說明理由；(3)如圖3，將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6，其它條件不變，以CD為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，請(qǐng)問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由．【答案】(1)BD=BE+BC,(2)（1）中結(jié)論BD=BE+BC不成立，應(yīng)為BD=BC?BE；直線AD與直線BE所夾銳角的度數(shù)為60°成立．理由見解析(3)存在，BE的最小值為3【分析】（1）結(jié)論為：BD=BE+BC；直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是60°；根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CD=CE，∠DCE=60°，再證∠DCA=∠ECB．然后證明△DCA≌△ECB（SAS）即可（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠CDE=60°，DC=EC．再證∠DCA=∠ECB．然后證明△DCA≌△ECB（SAS）即可；（3）如圖，作CF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，根據(jù)∠CED=90°，∠DFC=90°，得出C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．CD為直徑，根據(jù)等腰直角三角形三線合一性質(zhì)得出AF=BF=CF=3，根據(jù)勾股定理AC=BC=AF2+CF2=32，根據(jù)△DEC為等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CFE=45°進(jìn)而得出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡是∠CFB的平分線所在的直線的一部分，當(dāng)點(diǎn)E【詳解】（1）解：結(jié)論為：BD=BE+BC；直線AD和直線BE所夾銳角的度數(shù)是60°；∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE．∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCA+∠ACE=60°，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°，∴∠ACE+∠ECB=60°，∴∠DCA=∠ECB，在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°，∴BD=DA+AB=BE+BC，∴BD=BE+BC，∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°，故答案為BD=BE+BC；60°；（2）解：（1）中結(jié)論BD=BE+BC不成立，應(yīng)為BD=BC?BE；直線AD與直線BE所夾銳角的度數(shù)為60°成立．理由如下：∵線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CE，∴∠CDE=60°，DC=EC．∵在等邊三角形△ABC中，AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DCA=∠ECB．在△DCA和△ECB中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△DCA≌△ECB（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠DAC=60°．∴BD=AB?AD=BC?BE，∠EBM=180°?∠ABC?∠CBE=180°?60°?60°=60°．（3）解：存在，BE的最小值為32如圖，作CF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，∵∠CED=90°，∠DFC=90°，∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．CD為直徑，∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC，∴AF=BF=CF=3，AC=BC=AF∵△DEC為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CFE=45°，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡是∠CFB的平分線所在的直線的一部分，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．BE最短，∵DE平分∠CDB，CF=BF，∴BE=CE=12【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，三角形全等判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)，三角形全等判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題是解題關(guān)鍵．類型四中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG．【猜想論證】(1)猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【拓展探究】(2)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG.你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．【答案】(1)EG=CG，理由見解析(2)（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG，理由見解析【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．（2）連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNGASA，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG【詳解】（1）EG=CG；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°，在Rt△FCD∵G為DF的中點(diǎn)，∴CG=1∵EF⊥BD，同理，在Rt△DEFGE=1∴CG=EG．（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)，

在△DAG與△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCGSAS∴AG=CG；在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，∠MDG=∠NFG，∵G為DF的中點(diǎn)，∴FG=DG，∴△DMG≌△FNGASA∴GM=GN；∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四邊形AENM是矩形，∴AM=EN，在△AMG與△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG∴AG=EG，∴EG=CG．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線本題的關(guān)鍵．11．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為___________________．(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2，AD=4．探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．【答案】(1)等腰直角三角形(2)探究一：52；探究二：線段DH長度的最大值為5+1【分析】（1）由AC=CF，可知△ACF是等腰三角形，再由△ABC≌△FGC(SAS)，推導(dǎo)出∠ACF=90°，即可判斷出（2）探究一：證明△CDM≌△FGM(AAS)，可得CM=MF，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AD=DF，在Rt△CDM中，勾股定理列出方程CM2=探究二：連接DE，取DE的中點(diǎn)P，連接HP，取AD、BC的中點(diǎn)為M、N，連接MN，MH，NH，分別得出四邊形MHPD是平行四邊形，四邊形HNCP是平行四邊形，則∠MHN=90°，可知H點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，DT=5，即可得出DH【詳解】（1）解：∵兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG，∴AC=CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB=GF，∠FGC=∠ABC=90°．BC=CG，∴△ABC≌△FGC(SAS∴∠BAC=∠GFC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACG，∴∠ACG=∠GFC，∵∠GCF+∠GFC=90°，∴∠ACG+∠GCF=90°，∴∠ACF=90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD=GF，∠FMG=∠DMC，∠G=∠CDF=90°，∴△CDM≌△FGM(AAS∴CM=MF，∵AC=CF，CD⊥AF，∴AD=DF，∵AB=CD=2，AD=DF=4，∴DM=4?CM，在Rt△CDM中，C∴CM解得CM=52∴MF=52∴△CMF的面積=12探究二：連接DE，取DE的中點(diǎn)P，連接HP，CP，取AD、BC的中點(diǎn)為M、N，連接MN，MH，NH，

∵H是AE的中點(diǎn)，∴MH∥DE，且MH=12∵CD=CE，∴CP⊥DE，DP=PE，∵M(jìn)H∥DP，且∴四邊形MHPD是平行四邊形，∴MD=HP，MD∥∵AD∥BC，∴HP∥CN，∴四邊形HNCP是平行四邊形，∴NH∥∴∠MHN=90°，∴H點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，∴DT=1∴DH的最大值為5+1，最小值為5【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定H點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積．【答案】（1）2；（2）MN⊥BE;MN=12【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接AF、AC，證明ΔCAF∽ΔBAG即可求解；（2）由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH，則可證ΔBMC≌ΔHMF即可得到HF=BC=BA，再由四邊形BEFC內(nèi)角和為360°可得∠BAC=∠HFE，則可證明ΔBAE≌ΔHFE，即ΔBHE是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．【詳解】解：（1）連接AF、AC∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形∴AB=BC,AG=FG,∠BAD=∠GAE=∠CBA=∠AGF=90°∵AF、AC分別平分∠EAG,∠BAD∴∠BAC=∠GAF=45°∴∠BAC+∠CAG=∠GAF+∠CAG即∠BAG=∠CAF且ΔABC,ΔAGF都是等腰直角三角形∴∴ΔCAF∽ΔBAG∴（2）連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH∵M(jìn)是CF的中點(diǎn)∴CM=MF又∠CMB=∠FMH∴ΔCMB≌ΔFMH∴BC=HF,∠BCM=∠HFM在四邊形BEFC中∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°又∠CBA=∠AEF=90°∴∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°?90°?90°=180°即∠HFM+∠EFC+∠ABE+∠AEB=180°即∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°∴∠HFE=∠BAE又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形∴BC=AB=FH,EA=EF∴ΔBAE≌ΔHFE∴BE=HE.∠BEA=∠HEF∵∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°∴∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH∴三角形BEH是等腰直角三角形∵M(jìn)、N分別是BH、BE的中點(diǎn)∴MN//HE,MN=∴∠MNB=∠HEB=90°,MN=∴MN⊥BE,MN=（3）取AB的中點(diǎn)O，連接OQ、ON，連接AF在ΔABF中，O、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)∴OQ=同理可得ON=∵AF=∴OQ=3所以QN掃過的面積是以O(shè)為圓心，32和3∴S=(3【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動(dòng)點(diǎn)問題，屬于幾何綜合題，難度較大．解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線．類型五通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等13．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為23、2、4，則正方形ABCD的面積為（

A．28+83 B．14+43 C．12【答案】B【分析】將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H，先證明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A、P、M共線，利用勾股定理求出AB2．【詳解】解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H，∵BP=BM=2，∠PBM=90°，∴PM=2PB=2，∵PC=4，PA=CM=23，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A、P、M共線，∵BH⊥PM，∴PH=HM，∴BH=PH=HM=1，∴AH=23∴AB2=AH2+BH2=(23+1)2+12=14+4∴正方形ABCD的面積為14+43故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線，本題具有一定的代表性，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．14．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②_____________________________可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④______點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC最小值為A'B，此時(shí)的∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°?∠APC?∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。帧咭阎?dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·∴當(dāng)PA+PB+2將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+P

過點(diǎn)A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本