初一數(shù)學(xué)《一元一次方程應(yīng)用題》類型歸納及練習(xí)

一元一次方程應(yīng)用題歸類(典型例題、練習(xí))

一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟(解題思路)

(1)審題：認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示此題含義的相等關(guān)系(找出等量關(guān)系).

(2)設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù).

(3列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系，

列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢臉寫答：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，

檢驗(yàn)后寫出答案注意單位統(tǒng)一與書寫規(guī))

第一類：與數(shù)字、比例有關(guān)的問題：

例1.比例分配問題：比例分配問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x,利用的比，寫出

相應(yīng)的代數(shù)式。常用等量關(guān)系：各局部之和=總量。

甲、乙、丙三個(gè)人每天生產(chǎn)機(jī)器零件數(shù)為甲、乙之比為4：3；乙、丙之比為6:5,

又知甲與丙的和比乙的2倍多12件，求每個(gè)人每天生產(chǎn)多少件？

例2.數(shù)字問題：

1.要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)，一般可設(shè)百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,

個(gè)位數(shù)字為c［其中a、b、c均為整數(shù)，且lWaW9,0WbW9,0WcW9),那么

這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+10b+c.

2.數(shù)字問題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比擬小的大1；偶

數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示；奇數(shù)用2n+l或2n—1表示。

(1)有一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1,

假設(shè)將此數(shù)個(gè)位與百位順序?qū)φ{(diào)(個(gè)位變百位)所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49,求

原數(shù)。

(2)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,且個(gè)位上的數(shù)字與十位

上的數(shù)字的和比這個(gè)2位數(shù)*大6,求這個(gè)兩位數(shù)。

第二類：與日歷、調(diào)配有關(guān)的問題：

例3.日歷問題：探索日歷叵題中的條件和要求的結(jié)論，并找出等量關(guān)系，列出方程,

解決實(shí)際問題。

在日歷上，三個(gè)相鄰數(shù)(列)的和為54,求這三天分別是幾號？

變式：將連,續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7…排列成如下的數(shù)表用十字框框出5個(gè)數(shù)(如圖)

1357911

.131517192123

252729313335

373941434547

(1)假設(shè)將十字框上下左右平移，.但一定要框住數(shù)列中的5個(gè)數(shù)，假設(shè)設(shè)中間的數(shù)為a,

用a的代數(shù)式表示十字框框住的5個(gè)數(shù)字之和；

(2)十字框框住的5個(gè)數(shù)之和能等于2020嗎？假設(shè)能，分別寫出十字框框住的5個(gè)數(shù)；假

設(shè)不能，請說明理由；

(3)十字框框住的5個(gè)數(shù)之和能等于365嗎？假設(shè)能，分別寫出十宅框框住的5個(gè)數(shù)；假

設(shè)不能，請說明理由：

例4.勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：

(1)既有調(diào)入又有調(diào)出；

(2)只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入局部變化，其余不變；

(3)只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出局部變化，其余不變。

(1)某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二

車間人數(shù)的一半。間需從笫-車間調(diào)多少人到笫二車間？

(2)甲、乙兩車間各有工人假設(shè)干，如果從乙車間調(diào)100人到日車間，那么甲車間的

人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時(shí)兩車間的人數(shù)相等，

求原來甲乙車間的人數(shù)。

(3)有兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)有285人，乙隊(duì)有183人，假設(shè)要求乙隊(duì)人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的

2

應(yīng)從乙隊(duì)調(diào)多少人到甲隊(duì)？

第三類：配套問題：這類問題的關(guān)鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關(guān)系。

(1)某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時(shí)平均能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18

個(gè)，應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺

母)？

(2)機(jī)械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，2

個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加

工的大小齒輪剛好配套？

(3)學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個(gè)床位，如果每室住9人,

那么空出兩個(gè)房間。求房間的個(gè)數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。

第四類：行程問題一一畫圖分析法。利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的表

達(dá)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各局部具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)

系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系（可把未知數(shù)

看做量），填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的根底.

（一）.行程問題中的三個(gè)根本量與其關(guān)系：

路程=速度X時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路程+時(shí)間

（二）.行程問題根本類型

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追與問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）速度

水流速度二（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

抓住兩碼頭間距離不變、水流速和船速（靜速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系.即

順?biāo)嫠畣栴}常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?逆水路程.

常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。

（4）考慮車長的過橋或通過山洞隧道問題：將每輛車的車頭或車尾看作一個(gè)人的

行駛問題去分析，-切就一目了然。

（5）時(shí)鐘問題：（1）將時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的尖端看作一個(gè)點(diǎn)來研究

（2）通常將時(shí)鐘問題看作以整時(shí)整分為起點(diǎn)的同向追擊問題來分析。

常用數(shù)據(jù)：①時(shí)針的速度是0.5°/分或每分鐘12分之1格。

②分針的速度是6。/分或每分鐘1格。

③秒針的速度是6°/秒或360°/分或1格/秒或60格/分。

所以，關(guān)于時(shí)鐘問題，可從12開始轉(zhuǎn)過的角度或轉(zhuǎn)過的格數(shù)上找等量關(guān)系

建立方程。

1.一般行程問題（相遇與追與問題）

1.行程問題中的三個(gè)根本量與其關(guān)系：

路程=速度X時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路程+時(shí)間

2.行程問題根本類型

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追與問題：快行距一慢行距=原距

例4.1.1：從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時(shí)，步行速度為每小時(shí)8千米，

公交車的速度為每小時(shí)40千米，設(shè)甲、乙兩地相距*千米，那么列方程為。

例4.1.2：某人從家里騎自行車到學(xué)校。假設(shè)每小時(shí)行15千米，可比預(yù)定時(shí)間早到15分鐘；

假設(shè)每小時(shí)行9千米，可比預(yù)定時(shí)間晚到15分鐘；求從家里到學(xué)校的路程有多少千米？

例4.1.3:一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車

頭相遇到兩車車尾完全離開經(jīng)過16秒，客車與貨車的速度之比是3：2,問兩車每秒各

行駛多少米？

例4.1.4：與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時(shí)向南行進(jìn)。行人的速度是

每小時(shí)3.6km,騎自行車的人的速度是每小時(shí)10.8km。如果一列火車從他們背后開來，

它通過行人的時(shí)間是22秒，通過騎自行車的人的時(shí)間是26秒。⑴行人的速度為每秒

多少米？（2）這列火車的車長是多少米？

例4.1.5:一次遠(yuǎn)足活動(dòng)中，一局部人步行，另一局部乘一輛汽車，兩局部人同地出發(fā)。汽

車速度是60千米/時(shí)，步行的速度是5千米/時(shí)，步行者比汽車提前1小時(shí)出發(fā)，這輛

汽車到達(dá)目的地后，再回頭接步行的這局部人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。問：

步行者在出發(fā)后經(jīng)過多少時(shí)間與回頭接他們的汽車相遇（汽車掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)）

例4.1.6：某人計(jì)劃騎車以每小時(shí)12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時(shí)間到

達(dá)B地，但他因事將原計(jì)劃的時(shí)間推遲了20分，便只好以每小時(shí)15千米的速度前進(jìn)，

結(jié)果比規(guī)定時(shí)間早4分鐘到達(dá)B地，求A、B兩地間的距離。

例4.1.7：一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300m的隧道需要20s的時(shí)間。隧道的頂上有一

盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10s,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車

的長度？火車的長度是多少？假設(shè)不能，請說明理由。

例4.1.8：甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時(shí)，開通高速鐵

路后，車速平均每小時(shí)比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時(shí)即可到

達(dá)，列方程得。

例4.1.9：兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，

當(dāng)兩車相向而行時(shí)，快車駛過慢車某個(gè)窗口所用的時(shí)間為5秒。

（1）兩車的速度之和與兩車相向而行時(shí)慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時(shí)間各是多少？

（2）如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，那么從快車的車頭趕

上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時(shí)間至少是多少秒？

例4.1.10：甲、乙兩人同時(shí)從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的

速度比乙的速度的2倍還快2千米/時(shí)，甲先到達(dá)B地后，立即由B地返回，在途中遇

到乙，這時(shí)距他們出發(fā)時(shí)已過了3小時(shí)。求兩人的速度。

2.環(huán)行跑道與時(shí)鐘問題：

例4.2.1:在6點(diǎn)和7點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)鐘的分針和時(shí)針重合？

例4.2.2:甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，

二人同時(shí)同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇？假設(shè)背向跑，幾分鐘后相遇？

教師提醒：此題為環(huán)形跑道上，同時(shí)同地同向的追擊與相遇問題。

例4.2.3：在3時(shí)和4時(shí)之間的哪個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針：⑴重合；（2）成平角；⑶成

直角；

例4.2.4：某鐘表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。假設(shè)在清晨6時(shí)30分與準(zhǔn)確時(shí)間對準(zhǔn)，那

么當(dāng)天中午該鐘表指示時(shí)間為12時(shí)50分時(shí)，準(zhǔn)確時(shí)間是多少？

3.行船與飛機(jī)飛行問題:

航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）速度

水流速度=（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

例4.3.1：一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí),

逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭之間的距離。

例4.3.2：一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，順風(fēng)飛行需要2小時(shí)50

分鐘，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)，求兩城市間的距離。

例4.3.3:小明在靜水中劃船的速度為10千米/時(shí)，今往返于某條河，逆水用了9小時(shí)，順

水用了6小時(shí)，求該河的水流速度。

例4.3.4:某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時(shí)，船在

靜水中的速度為7.5千米/時(shí)，水流的速度為2.5千米/時(shí)，假設(shè)A與C的距離比A與B

的距離短40千米，求A與B的距離。

第五類：工程問題

1.工程問題中的三個(gè)量與其關(guān)系為:

工作總量=工作效率X工作時(shí)間

工作總量工作總量

工作效率=工作時(shí)間=

工作時(shí)間工作效率

2.經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，設(shè)工作總量為單位lo即完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作

量的和=總工作量=1.

例5.1:一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天完成，乙單獨(dú)做要15天完成，兩人合做4天后，剩下

的局部由乙單獨(dú)做，還需要幾天完成？

例5.2:某工作，甲單獨(dú)干需用15小時(shí)完成，乙單獨(dú)干需用12小時(shí)完成，假設(shè)甲先干1小時(shí)、

乙又單獨(dú)干4小時(shí)，剩下的工作兩人合作，問：再用幾小時(shí)可全部完成任務(wù)？

例5.3：某工廠計(jì)劃26小時(shí)生產(chǎn)一批零件，后因每小時(shí)多生產(chǎn)5件，用24小時(shí)，不但完成

了任務(wù)，而且還比原計(jì)劃多生產(chǎn)了60件，問原計(jì)劃生產(chǎn)多少零件？

例5.4：某工程，甲單獨(dú)完成續(xù)20天，乙單獨(dú)完成續(xù)12天，甲乙合二6天后，再由乙繼續(xù)

完成，乙再做幾天可以完成全部工程？

例5.5：甲、乙二人合作一項(xiàng)工程，甲25天獨(dú)立完成，乙20天獨(dú)立完成，甲、乙二人合5

天后，甲另有事，乙再單獨(dú)做幾天才能完成？

例5.6：將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí),

甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，那么甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

第六類：商品利潤問題【市場經(jīng)濟(jì)問題（利潤贏虧問題）或儲(chǔ)蓄利率問題】

（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價(jià)（或本錢）、售價(jià)、標(biāo)價(jià)（或定價(jià)）、利潤等。

（2）利潤問題常用等量關(guān)系：

商品利潤=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率一商品進(jìn)價(jià)

商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率

商品利潤商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)

商品利潤率=商品進(jìn)價(jià)商品進(jìn)價(jià)

X109%=X100%

(3)商品銷售額=商品銷售價(jià)X商品銷售量

商品的銷售利潤=［銷售價(jià)一本錢價(jià))X銷售量

(4)商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原

標(biāo)價(jià)的80%出售.即商品售價(jià)二商品標(biāo)價(jià)X折扣率.

1.市場經(jīng)濟(jì)問題

例6.1.1：某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳.經(jīng)過測試：同時(shí)開放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小

餐廳,可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐.

(1)求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；

(2)假設(shè)7個(gè)餐廳同時(shí)開放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請說明理由.

例6.L2:工藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該

工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、

標(biāo)價(jià)分別是多少元？

例6.1.3：某地區(qū)居民生活用電根本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，假設(shè)每月用電量超過a千瓦

那么超過局部按根本電價(jià)的70%收費(fèi).

(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.

(2)假設(shè)該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，那么九月份共用電多少千瓦？□應(yīng)交電費(fèi)

是多少元？

例6.1.4：某商店開為吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，某種旅游鞋每雙進(jìn)價(jià)為60

元，八折出售后，商家所獲利澗率為40%。問這種鞋的標(biāo)價(jià)是多少元？優(yōu)惠價(jià)是多少？

例6.L5:甲乙兩件衣服的本錢共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利

潤定價(jià)，乙服裝按40%的利潤定價(jià)，在實(shí)際銷售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售,

這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝本錢各是多少元？

例6.1.6：某商場按定價(jià)銷售某種電器時(shí)，每臺獲利48元，按定價(jià)的9折銷售該電器6臺

與將定價(jià)降低30元銷售該電器9臺所獲得的利潤相等，該電器每臺進(jìn)價(jià)、定價(jià)各是多少元？

例6.1.7：甲、乙兩種商品的單價(jià)之和為100元，因?yàn)榧竟?jié)變化，甲商品降價(jià)10%,乙商品

提價(jià)5隊(duì)調(diào)價(jià)后，甲、乙兩商品的單價(jià)之和比原計(jì)劃之和提高2%,求甲、乙兩種商品的原

來單價(jià)？

例6.1.8：一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲

利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？

2.儲(chǔ)蓄利率問題

1.顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱

本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.

2.儲(chǔ)蓄問題中的量與其關(guān)系為：

利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息

利息稅=利息X稅率(20%)

例6.2.1：某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和

252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？(不計(jì)利息稅)

第七類：方案設(shè)計(jì)問題

1、某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，假設(shè)在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，口經(jīng)粗加工

后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼?/p>

購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)展精加工，每天可加工16

噸，如果進(jìn)展精加工，每天可加工6噸，口但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)展，受季度等條件限

制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進(jìn)展粗加工.

方案二：盡可能多地對蔬菜進(jìn)展粗加工，沒來得與進(jìn)展加工的蔬菜，在市場上直接銷售.

方案三：將局部蔬菜進(jìn)展精加工，其余蔬菜進(jìn)展粗加工，并恰好15天完成.

你認(rèn)為哪種方案獲利最多？為田么？

2、某家電商場計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺電視機(jī).該廠家生產(chǎn)3口種不同型號的電

視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺15。0元，B種每臺2100元，C種每臺2500元.

(1)假設(shè)家電商場同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一下

商場的進(jìn)貨方案.

(2)假設(shè)商場銷售一臺A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺B種電視機(jī)可獲利200元，

□銷售一臺C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)方案中，為了使

銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？

第八類：(一)和、差、倍、分問題一讀題分析法

這類問題主要應(yīng)搞清各量之間的關(guān)系，注意關(guān)鍵詞語。仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的

關(guān)鍵字，

例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套……〃，利用這

些關(guān)鍵字列出

文字等式，并且據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到

方程.

1、倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長

率…”來表達(dá)。

2、多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來表達(dá)。

增長量一原有量X增長率現(xiàn)在量一原有量+增長量

例1.某單位今年為災(zāi)區(qū)捐款2萬5千元，比去年的2倍還多1000元，去年該單位為

災(zāi)區(qū)捐款多少元？

例2.旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩

余汽油的40%,這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公

斤？

第八類：（二）等積變形問題

等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤帷?/p>

常用等量關(guān)系為：原料體積二成品體積。常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式,

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式v=底面積乂高=$?h=乃/〃

②長方體的體積^=長、寬Xj§=abc

③正方體（正六面體）的體積v=棱長3=a，

例3.現(xiàn)有直徑為0.8米的圓柱形鋼坯30米，可足夠鍬造直徑為0.4米，長為3米的

圓柱形機(jī)軸多少根？

練習(xí)：）圓柱形水桶的底面周長12.56分米，高6分米,盛滿一桶水后，把水倒入一個(gè)

長方體水缸中，水缸還空著21.5%長方體水缸寬4分米，長是寬的1.5倍，求水缸的高.

第八類：（三）雜題：

（1）年齡問題：抓住“年領(lǐng)差”不變作為等量關(guān)系，從而列出萬程。

例4:兄弟二人今年分別為15歲九9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

例5:今年，小明一家三口的年齡之和是72歲，10年前，三人年齡的年齡之和是44歲，父

親比母親大3歲.求小明家今年每人的年齡.

（2）比賽積分問題：

例6:某企業(yè)對應(yīng)聘人員進(jìn)展英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每道題

的答案選對得3分，不選得0分，選錯(cuò)倒扣1分。某人有5道題未作，得了103分，那么這

個(gè)人選錯(cuò)了道題。

（3）古典數(shù)學(xué)：

例7：有100個(gè)和尚100個(gè)饃，1個(gè)大和尚分3個(gè)饃，3個(gè)小和尚分1個(gè)饃.問：大、小和

尚各有多少人？

例8:有假設(shè)千只雞和兔子，它僅共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

一元一次方程應(yīng)用題反應(yīng)訓(xùn)練

一.選擇題

1.（2015?）假設(shè)單項(xiàng)式2步尸&與一是同類項(xiàng)，那么叢。的值分別為（）

A.a=3,b=\B.a=-3,b=l

C.a=3,Z>=—1D.a=-3,b=—1

2.（20163分）超市店慶促銷，某種書包原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打“八折〃，第二次

降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為90元，那么得到方程（）

A.0.8A--10=90B.0.08%-10=90C.90-0.8^=10D.x-0.8A--10=90

3.（20163分）假設(shè)代數(shù)式戶2的值為1,那么x等于（）

A.1；B.-1；C.3；D.-3

4.（2016?荊州?3分）互聯(lián)網(wǎng)“微商〃經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺上一件商

品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷售，仍可獲利20元，那么這件商品的進(jìn)價(jià)為（）

A.120元；B.100元；C.80元；D.60元

5.（2016??3分）假設(shè)2（肝3）的值與4互為相反數(shù)，那么a的值為（）

A.-1；B.-；C.-b;D.

二.填空題

6.（2016?省市?5分）書店舉疔購書優(yōu)惠活動(dòng)：

①一次性購書不超過100元，不享受打折優(yōu)惠；

②一次性購書超過100元但不超過200元一律打九折；

③一次性購書200元一律打七折.

小麗在這次活動(dòng)中，兩次購書總共付款229.4元，第二次購書原價(jià)是第一次購書原價(jià)的3

倍，那么小麗這兩次購書原價(jià)的總和是元.

7.（2016?龍東?3分）一件服裝的標(biāo)價(jià)為300元，打八折銷售后可獲利60元，那么該件

服裝的本錢價(jià)是元.

8.（2016??3分）為了改善辦學(xué)條件，學(xué)校購置了筆記本電腦和臺式電腦共100臺，筆

記本電腦的臺數(shù)比臺式電腦的臺數(shù)的還少5臺，那么購置的筆記本電腦有臺.

三、解答題

9.（2016??8分）解方程：5x+2=3（x+2）.

10.（2016??8分）如圖是一根可伸縮的魚竿，魚竿是用10節(jié)大小不同的空心套管連接

而成.閑置時(shí)魚竿可收縮，完全收縮后，魚竿長度即為第1節(jié)套管的長度（如圖1所示）:

使用時(shí)，可將魚竿的每一節(jié)套管都完全拉伸（如圖2所示）.圖3是這跟魚竿所有套管都處

于完全拉伸狀態(tài)下的平面示意圖.笫1節(jié)套管長50腐，笫2節(jié)套管長46加，以此類推，每

一節(jié)套管均比前一節(jié)套管少4讖.完全拉伸時(shí)，為了使相鄰兩節(jié)套管連接并固定，每相鄰兩

節(jié)套管間均有一樣長度的重疊，設(shè)其長度為

（1）請直接寫出第5節(jié)套管的長度;

（2）當(dāng)這根魚竿完全拉伸時(shí)，其長度為311°勿，求x的值.

第1節(jié)

A4

第2節(jié),

圖3

11.12016--8分）五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強(qiáng)降雨的惡劣天氣，造成局部地區(qū)出現(xiàn)

嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，某愛心組織緊急籌集了局部資金，計(jì)劃購置甲、乙兩種救災(zāi)物品共2000件

送往災(zāi)區(qū)，每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元，用350元購置甲種物品的

件數(shù)恰好與用300元購置乙種物品的件數(shù)一樣

(1)求甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價(jià)格各是多少元？

(2)經(jīng)調(diào)查，災(zāi)區(qū)對乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，假設(shè)該愛心組織按照

此需求的比例購置這2000件物品，需籌集資金多少元？

12..(2016)世界讀書日，某書店舉辦“書香”圖書展，《漢語成語大詞典》和《中華上下

五千年》兩本書的標(biāo)價(jià)總和為15c元，《漢語成語大詞典》按標(biāo)價(jià)的50%出售，《中華上下五

千年》按標(biāo)價(jià)的60%出售，小明花80元買了這兩本書，求這兩本書的標(biāo)價(jià)各多少元.

參考答案：

笫一類：與數(shù)字、比例有關(guān)的問題：

例1.解：設(shè)乙每天生產(chǎn)6x件，那么甲每天生產(chǎn)8x件，內(nèi)每天生產(chǎn)5x件，依題意有

8x+5x=2X6x+12,解得x=12,8x=96,6x=72,5x=60.

答：甲每天生產(chǎn)96件，乙每天生產(chǎn)72件，丙每天生產(chǎn)60件.

例2(1)解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)為x,那么其十位數(shù)字為x+1,個(gè)位數(shù)字為2x.

那么調(diào)后的百位數(shù)為2x,十位數(shù)字為x+1,個(gè)位數(shù)字為x,由此可得：

[lOOx+10(x+1)+2x]X2-49=100X2x+10(x+1)+x

[100x+10x+10+2x]X2-49=200x+10x+10+x,[112x+10]X2-49=211x+10,

224x+20-49=21lx+10,13x=39,x=3；

那么十位數(shù)為3+1=4,個(gè)位數(shù)為3X2=6.所以這個(gè)三位數(shù)為：346.答：原數(shù)為346.

(2)解：設(shè)十位上的數(shù)字為x,那么個(gè)位上的數(shù)字為(x+5),由題意，得：

x+x+5=[10x+(x+5)]+6,解得：x=4.那么個(gè)位上的數(shù)字為：x+5=9.

所以這個(gè)兩位數(shù)為49.答：這個(gè)兩位數(shù)為49.

第二類：與日歷、調(diào)配有關(guān)的問題:

例3.11,18,25.

變式：(l)5a；(2)a=404,不能.....404是偶數(shù)：

(3)a=73,能.....五個(gè)數(shù)為：61,71,73,75,85。

例4.(1)24人；(2)甲380人，乙180人；(3)27人。

第三類：配套問題：

(1)12人生產(chǎn)螺栓，16人生產(chǎn)螺母；(2)25人生產(chǎn)大齒輪，60人生產(chǎn)小齒輪；(3)30間

房屋，252名學(xué)生。

第四類：行程問題：

例4.1.1：解：等量關(guān)系：步行時(shí)間一乘公交車的時(shí)間=3.6小時(shí)

列出方程是：--—=3.6

840

例4.1.2：解：等量關(guān)系(1)速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程

⑵速度15千米行的時(shí)間+15分鐘=速度9千米行的時(shí)間一15分鐘

提醒：速度時(shí)，設(shè)時(shí)間列路程等式的方程，設(shè)路程列時(shí)間等式的方程。

方法一：設(shè)預(yù)定時(shí)間為x小/時(shí)，那么列出方程是：15(x-Q.25)=9(x+0.25)

xISx15

方法二：設(shè)從家里到學(xué)校有尸千米，那么列出方程是：-+—=—

1560960

例4.1.3:提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長和為總路程的相遇問題。

等量關(guān)系：快車行的路程+慢車行的路程=兩列火車的車長之和

設(shè)客車的速度為3x米/秒，貨車的速度為2x米/秒，那么16X3x-F16X2^=200+280

例4.1.4：提醒：將火車車尾視為一個(gè)快者，那么此題為以車長為提前量的追擊問題。

等量關(guān)系：①兩種情形下火車的速度相等②兩種情形下火車的車長相等：在時(shí)間

的情況下，設(shè)速度列路程等式的方程，設(shè)路程列速度等式的方程。

解：⑴行人的速度是：3.6km/時(shí)=3600米+3600秒=1米/秒

騎自行車的人的速度是：10.8km/時(shí)=10800米+3600秒=3米/秒

(2)方法一：設(shè)火車的速度是x米/秒，那么26X(x-3)=22X(x-l)解得x=

4

,..即/x+22x1x+26x3

方法二：設(shè)火車的車長u是Bx米，那么---------=---------

2226

例4.1.5：提醒：此類題相當(dāng)于環(huán)形跑道問題，兩者行的總路程為一圈

即步行者行的總路程+汽車行的總路程=60X2

解：設(shè)步行者在出發(fā)后經(jīng)過x小時(shí)與回頭接他們的汽車相遇，那么5x+60(x-l)=60X2

例4.1.6：解：方法一：設(shè)由A地到B地規(guī)定的時(shí)間是x小時(shí)，那么

12x=15x|x-------—\x=212x=12X2=24(千米)

I6060；

方法二：設(shè)由A、B兩地的距離是x千米，那么(設(shè)路程，列時(shí)間等式)

xX204

-------=---1x=24答：A^B兩地的距離是24千米。

12156060

溫馨提醒：當(dāng)速度，設(shè)時(shí)間，列路程等式；設(shè)路程，列時(shí)間等式是我們的解題策略。

例4.1.7：解析：只要將車尾看作一個(gè)行人去分析即可，

前者為此人通過300米的隧道再加上一個(gè)車長，后者僅為此人通過一個(gè)車長。

此題中告訴時(shí)間，只需設(shè)車長列速度關(guān)系，或者是設(shè)車速列車長關(guān)系等式。

解：方法一：設(shè)這列火車的長度是x米，根據(jù)題意，得

300+x=>x=300答：這列火車長300米。

2010

方法二：設(shè)這列火車的速度是X米/秒，

根據(jù)題意，得20萬—3。0=10.=3010x=300答：這列火車長300米。

xX

例4.1.8：答案：--—=60

1015

例4.1.9:解析：①快車駛過慢車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的

相遇問題，此時(shí)行駛的路程和為快車車長!

②慢車駛過快車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的

相遇問題，此時(shí)行駛的路程和為慢車車長!

③快車從后面追趕慢車時(shí)：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的

追擊問題，此時(shí)行駛的路程和為兩車車長之和!

解：⑴兩車的速度之和=100+5=20（米/秒）

慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時(shí)間=150?20=7.5（秒）

（2）設(shè)至少是x秒，（快車車速為20-8］那么（20—8）x-8x=100+150x=62.5

答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。

例4.1.10:解：設(shè)乙的速度是x千米/時(shí)，那么

3x+3（2x+2）=25,5X2Ax=52x+2=12

答：甲、乙的速度分別是12千米/時(shí)、5千米/時(shí)。

2.環(huán)行跑道與時(shí)鐘問題：

例4.2.1：教師解析：6：00時(shí)分針指向12,時(shí)針指向6,此時(shí)二針相差180。，

在6：00?7：00之間，經(jīng)過x分鐘當(dāng)二針重合時(shí)，時(shí)針走了0.5/分針走了6/

以下按追擊問題可列出方程，不難求解。

解：設(shè)經(jīng)過x分鐘二針重合，那么6x=180+0.5x解得工=刎=32色

1111

例4.2.2：解：①設(shè)同時(shí)同地同向出發(fā)*分鐘后二人相遇，那么240萬—200x=400*=

10

②設(shè)背向跑，*分鐘后相遇，那么240*+200x=400x=—

II

例4.2.3：解：⑴設(shè)分針指向3時(shí)x分時(shí)兩針重合。x=5x3+—xx=—=16—

121111

4

答：在3時(shí)16"|1■分時(shí)兩針重合。

（2）設(shè)分針指向3時(shí)x分時(shí)兩針成平角。x=5x3+—x+60-2x=49—

1211

答：在3時(shí)49、分時(shí)兩針成平角。

1Q

⑶設(shè)分針指向3時(shí)x分時(shí)兩針成直角。x=5x3+—x+60-4x=32—

1211

Q

答：在3時(shí)322分時(shí)兩針成直角。

11

例4.2.4:解：方法一：設(shè)準(zhǔn)確時(shí)間經(jīng)過x分鐘，那么x：380=60：（60-3）

解得x=400分=6時(shí)40分6：30+6：40=13：10

3（1、5

方法二：設(shè)準(zhǔn)確時(shí)間經(jīng)過x時(shí)，那么—x—6—=x—12—

6012）6

例4.3.1:解：設(shè)船在靜水中的速度是x千米/時(shí)，那么3X(*-3)=2X(x+3)

解得x=152X(x+3)=2X(15+3)=36(千米)答：兩碼頭之間的距離是36千米。

例4.3.2：解：設(shè)無風(fēng)時(shí)的速度是x千米/時(shí)，那么3X(X—24)=23X(X+24)

6

例4.3.3:解：設(shè)水流速度為x千米/時(shí)，那么9(10—x)=6(10+x)解得x=2答：水流

速度為2千米/時(shí).

例4.3.4：解：設(shè)A與B的距離是x千米，(請你按分類畫出示意圖，來理解所列方程)

X40

①當(dāng)C在A、B之間時(shí)，--一+—=20解得x=120

7.5+2.57.5-2.5

Yr-UY—40

②當(dāng)C在BA的延長線上時(shí)，一-一+=20解得x=56

7.5+2.57.5-2.5

答：A與B的距離是120千米或56千米。

笫五類：工程問題

例5.1：解：設(shè)還需要x天完成，依題意，得(4-+[-)x4+」-x=l解得x=5

101515

例5.2：解：設(shè)甲乙還要合作x小時(shí)才能完成任務(wù)，

根據(jù)題意得：x(x+1)+X(X+4)=1,去分母得：4(x+1)+5(x+4)=00,

去括號得：4x+4+5x+20=60,移項(xiàng)合并得：9x=36,解得：x=4,

那么甲乙還要合作4小時(shí)才能完成任務(wù).

V

例5.3：解：(一+5)?24—60=X,X=780

±11

-?xX

I+一

/一-

X12

6

2±0L±

z

(+5X1

一x=1

252020x=l

例5.6:解：1--x—=(一十—)X,X=—,2小時(shí)12分

62645

第六類：商品利潤問題(市場經(jīng)濟(jì)問題或利潤贏虧問題)

1.市場經(jīng)濟(jì)問題

例6.1.1：解：(1)設(shè)1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐，那么1個(gè)大餐廳可供(1680-2y)名

學(xué)生就餐，根據(jù)題意，得2(1680-2y)+y=2280解得：y=360(名)/以1680-2y=960(名)

(2)因?yàn)?60x5+360x2=5520>5300,

所以如果同時(shí)開放7個(gè)餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐.

例6.1.2：解：設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是工元,標(biāo)價(jià)是(45+x)元.依題意，得：

8(45+x)X0.85-8x=(45+x-35)X12-12x

解得：x=155(元)所以45+x=200(元)

例6.1.3：解：(1)由題意，得0.4a+(84-a)X0.40X70%=30,72解得a=60

(2)設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，0.40X60+(x-60)XO.40X70%=0.36x

解得x=90所以0.36X90=32.40(元)答：90千瓦時(shí)，交32.40元.

…80%X-60

例6.1.4：利潤率=二=40%=-----------------X=105105*80%=84元

成本60

例6.1.5：解：設(shè)甲服裝本錢價(jià)為x元，那么乙服裝的本錢價(jià)為(50-x)元，根據(jù)題意，

可列：x(1+50%)90%-x+(500-x)(1+40%)90%-(500-x)=157x=300

例6.1.6：解：(48+X)90%*6-6X=(48+X-30)*9-9XX=162162+48=210

例6.1.7：解：[x(l-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%)x=20

例6.1.8：解：設(shè)這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是x元，那么：X(l+40%)X0.8-x=15解得x=125

2.儲(chǔ)蓄利率問題

例6.2.1：解：設(shè)銀行半年期的年利率是x,由題意得：250+250x=252.7,

解得：x=0.0108.答：銀行半年期的年利率是1.08%.

第七類：方案設(shè)計(jì)問題

1.解：方案一：因?yàn)槊刻齑旨庸?6噸，140噸可以在15天加工完，

總利潤Wi=4500X140=630000(元)

方案二：15天可以加工6X15=90噸，說明還有50噸需要在市場直接銷售，

總利潤W2=7500X90+1000X50=725000(元)；

方案三：現(xiàn)將X噸進(jìn)展精加工，將(140-x)噸進(jìn)展粗加工，^x+上140」—x=15,解得

616

x=60.總利潤W3=7500X60+4500X80=810000(元)

2.解：按購A,B兩種，B,C兩種，A,C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，

設(shè)購A種電視機(jī)x臺，那么B種電視機(jī)y臺.

(1)①當(dāng)選購A,B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(50-x)臺，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000x=2550-x=25

②當(dāng)選購A,C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(50-x)臺，可得方程

1500x+2500(50-x)=90000x=3550-x=15

③當(dāng)購B,C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為(50-y)臺.可得方程

2100y+2500(50-y)=900004尸350,不合題意。故可選兩種方案：一是購A,B兩種電

視機(jī)25臺；二是購A種電視機(jī)35臺，C種電視機(jī)15臺.

(2)假設(shè)選擇(1)①，可獲利150X25+250X15=8750(元)，假設(shè)選擇(1)②，

可獲利150X35+250X15=9000(元)故為了獲利最多，選擇第二種方案.

第八類：(一)和、差、倍、分問題一讀題分析法

例1.解：設(shè)去年該單位為災(zāi)區(qū)提款x元，那么：2x+1000=25000,

解得x=12000.答：去年該單位為災(zāi)區(qū)捐款12000元.

例2.設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得,x(l-25酚(l-4(m)+l=25%x+(l-25%)xX40%

去分母整理得，9x+20=5x+6x，,2x=20,:.x=10。答：油箱里原有汽油10公斤.

例3.解：根據(jù)題意列出算式得：

[30X(0.84-2)2n]4-[3X]0.4+2)2n]

=(30X0.16")+(3X0.04JT)

=4.8ii4-0.12n

=4.8+0.12

MO.

那么的圓柱形鋼坯可鍛煉造直徑為0.4米，長為3米的圓柱形機(jī)軸40根.

練習(xí)：解：圓柱底面半徑：12.56+3.14+2=2(分米)

水的體積：22X3.14X6=75.36(立方分米)

長方體的體積：75.36+(1-21.5%)=96(立方分米)

長方體的高：964-44-(4X1.5)=4(分米)

答：長方體水缸的高是4分米.

例4.解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，