高等教育《最優(yōu)控制理論》課件第二章

最優(yōu)控制理論選用教材：王朝珠、秦化淑最優(yōu)控制理論科學(xué)出版社教學(xué)參考書(shū)：系統(tǒng)最優(yōu)化及控制符曦機(jī)械工業(yè)出版社最優(yōu)控制—理論與應(yīng)用解學(xué)書(shū)清華大學(xué)出版社第二章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

2-1函數(shù)極值問(wèn)題一：多變量函數(shù)極值問(wèn)題設(shè)二元函數(shù)f（x1,x2），在點(diǎn)（x1*,x2*）處有極值f（x1*,x2*）的必要條件為：f（x1*,x2*）取極小值的充分條件為：或正定其中上述結(jié)論可以推廣到自變量多于兩個(gè)的情形設(shè)n個(gè)變量的多元函數(shù)f（x1，x2，·····xn），若f（x）在x*處有極小值，其必要條件為：

充分條件為：為正定矩陣。二：有約束條件的函數(shù)極值問(wèn)題設(shè)二元函數(shù)f（x1,x2），x1和x2必須滿(mǎn)足下列方程：g（x1,x2）＝0

為求函數(shù)f（x1,x2）的極值，并找出其極值點(diǎn)（x1*,x2*），作一輔助函數(shù)－拉格朗日函數(shù)：式中λ為輔助變量，稱(chēng)為拉格朗日乘子。函數(shù)f（x1,x2）求極值問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)約束條件函數(shù)求極值問(wèn)題（拉格朗日乘子法），其存在極值的必要條件為或同樣，用拉格朗日乘子法可以求有約束條件的n元函數(shù)的極值。設(shè)n元函數(shù)為f（x1，x2，·····xn），有m個(gè)約束方程i＝1，2，···m（n<m）作拉格朗日函數(shù)：函數(shù)L有極值的必要條件為：2-2泛函極值問(wèn)題一.無(wú)條件約束的泛函極值問(wèn)題設(shè)函數(shù)x（t）在[t0,tf]區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)定義下列形式的積分J的值取決于函數(shù)x（t），稱(chēng)為泛函

設(shè)函數(shù)x*(t)使J為極小令：式中ε是一個(gè)很小的參數(shù)，η（t）是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的任意函數(shù)其取極小值的必要條件為：上式為J(x)取極小值的必要條件J(x)為極大、極小，通?？筛鶕?jù)系統(tǒng)的物理性質(zhì)來(lái)判斷。J(x)取極小值的充分條件1：始端時(shí)刻t0和終端時(shí)刻tf都給定時(shí)的泛函極值J(x)取極值的必要條件為：歐拉方程橫截條件由必要條件不同函數(shù)F的歐拉方程為：當(dāng)t0和tf給定時(shí)，根據(jù)x(t0),x(tf)是固定的或自由的各種組合，可導(dǎo)出邊界條件（1）固定始端和固定終端x(t0)=x0,x(tf)=xf

故邊界條件為：x(t0)=x0,x(tf)=xf

X(t)X1(t)X2(t)X3(t)t0tft由橫截條件(2)自由始端和自由終端X(t)t0tft（3）自由始端和固定終端x(tf)=xf

X(t)t0tft（4）固定始端和自由終端x(t0)=x0

X(t)t0tft極小值的充分條件：故J(x)取極小值的充分條件：為正定例1設(shè)性能指標(biāo)為：邊界條件為：x(1)=1,x(2)=2,求J為極值時(shí)的x*(t)解由歐拉方程根據(jù)邊界條件，x(1)=1,x(2)=2正半定，J(x)為極小值2：未給定終端時(shí)刻的泛函極值問(wèn)題

若始端時(shí)刻t0給定，始端狀態(tài)x(t0)固定或沿規(guī)定的邊界曲線(xiàn)移動(dòng)；而終端時(shí)刻tf自由，終端狀態(tài)x(tf)自由或沿規(guī)定的曲線(xiàn)移動(dòng)，這類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題稱(chēng)之為未給定終端時(shí)刻的泛函極值問(wèn)題。設(shè)系統(tǒng)性能指標(biāo):式中t0是已知的，tf未給定，x(t0)給定或未給定J取極值的必要條件為：上式第二項(xiàng)分部積分于是有：得J(x)取極值得必要條件為

歐拉方程

橫截條件

由橫截條件可推出各種情況下的邊界條件：1）給定始端和自由終端X(t0)t0tftX*(t)X(tf)tf*此時(shí)，x(t0)=x0,η(t0)=0,ξ(tf)和η(tf)自由可得邊界條件與橫截條件為：x(t0)=x0

由于最優(yōu)軌線(xiàn)x*(t)的tf即是最優(yōu)時(shí)刻tf*,上式可寫(xiě)為：2）給定始端x(t0)=x0和終端有約束x(tf)=C(tf)X(t0)t0tftX*(t)X(t)tf*C(t)代入上式對(duì)ε求偏導(dǎo)，并令ε＝0可得邊界條件與橫截條件為：（3）終端x(tf)固定，始端有約束x(t0)=Ψ(t0)X(tf)t0tftX*(t)X(t)tf*Ψ(t)邊界條件與橫截條件為：從以上討論可以看出，不論邊界情況如何，泛函極值都必須滿(mǎn)足歐拉方程，只是在求解歐拉方程時(shí)，對(duì)于不同邊界情況，應(yīng)采用不同的邊界條件與橫截條件。

tf固定x(t0)固定x(tf)固定x(t0)自由x(tf)固定t0固定x(t0)固定x(tf)自由x(t0)自由x(tf)自由tf自由x(t0)固定x(tf)自由x(t0)固定x(tf)約束x(t0)約束x(tf)固定無(wú)條件約束的泛函極值問(wèn)題中的邊界條件和橫截條件列表例2

求使性能指標(biāo)為極小時(shí)的最優(yōu)軌線(xiàn)x*(t)。設(shè)x(0)=1，x(tf)=C(tf)，C(tf)=2-t,tf未給定。解

顯然，所給出的性能指標(biāo)就是x(t)的弧長(zhǎng)，也就是說(shuō)，要求從x(0)到直線(xiàn)C(t)的弧長(zhǎng)未最短。tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)0歐拉方程為：這是一個(gè)x(t0)固定，x(tf)約束情況下的極值問(wèn)題。由邊界條件x(t0)=x（0）b=1,x(t)=at+1橫截條件解得tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)0由邊界條件tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)03：向量函數(shù)泛函極值問(wèn)題在上面所討論的公式中，都假定x是1維變量，但是，所有公式都可推廣到n維變量的情況

設(shè)性能指標(biāo)式中則歐拉方程為對(duì)于始端時(shí)刻t0和終端時(shí)刻tf都給定時(shí)，橫截條件式中對(duì)于未給定終端時(shí)刻tf時(shí)的橫截條件為：（1）給定始端和終端有約束：（2）給定終端和始端有約束二．有約束條件的泛函極值問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)泛函極值的最優(yōu)軌線(xiàn)x*(t)通常不能任意選取，而受著各種約束。求泛函在等式約束下的極值，稱(chēng)為條件泛函極值問(wèn)題。代數(shù)方程約束設(shè)約束方程

構(gòu)造增廣泛函令純量函數(shù)分部積分由于δx,δλ相互獨(dú)立，為使上式成立，應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足下述歐拉方程，約束方程和橫截條件：歐拉方程：約束方程：橫截條件：利用橫截條件，根據(jù)始端狀態(tài)x(t0)和終端狀態(tài)x(tf)的不同情況，可以導(dǎo)出具體的邊界條件和橫截條件，其討論過(guò)程和結(jié)論與無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題相同。2：微分方程約束設(shè)約束條件：