第八章-第3節(jié)-橢圓、雙曲線的角版焦半徑、焦點(diǎn)弦公式-解析版

第3節(jié)橢圓、雙曲線的角版焦半徑、焦點(diǎn)弦公式知識與方法1．橢圓的一個焦點(diǎn)為F，P為橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則橢圓的焦半徑，若延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，則橢圓的焦點(diǎn)弦.2．雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，則雙曲線的焦半徑，若直線交雙曲線于另一點(diǎn)Q，則雙曲線的焦點(diǎn)弦.（焦半徑公式中取“+”還是取“－”由P和F是否位于y軸同側(cè)決定，同正異負(fù)）典型例題【例1】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則______；若，則=______.【解析】如圖，設(shè)，則由焦點(diǎn)弦公式，，由焦半徑公式，，，所以.【答案】，變式1已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則______【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，則，所以，由焦點(diǎn)弦公式，.【答案】變式2已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則______.【解析】設(shè)，則由焦半徑公式，，解得：，由焦點(diǎn)弦公式，.【答案】變式3已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則________.【解析】設(shè)，則，由焦半徑公式，，，所以，從而，即.【答案】2【反思】一般地，設(shè)橢圓的一個焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則.變式4已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為60°的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為________.【解析】由焦點(diǎn)弦公式，，解得：，所以.【答案】變式5已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若、、成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為______.【解析】直線l的斜率為的傾斜角，由焦點(diǎn)弦公式，，、、成等差數(shù)列，如圖，由橢圓定義可得，所以，故，化簡得：，所以，從而，故橢圓C的離心率.【答案】【例2】過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為的直線截該雙曲線所得的弦長為______.【解析】直線的傾斜角，由焦點(diǎn)弦公式，.【答案】變式1過雙曲線的右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為_______.【解析】由題意，，，，，設(shè)直線，則由焦點(diǎn)弦公式，，解得：或，若，則，所以，從而直線的斜率，故直線的方程為；若，則，所以，從而直線的斜率，故直線的方程為；綜上所述，直線l的方程為或【答案】或變式2過雙曲線的右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則______.【解析】設(shè)，因?yàn)椋渣c(diǎn)A必在雙曲線右支上，由焦半徑公式，，解得：，所以，從而，雙曲線C的漸近線的斜率為，因?yàn)?，所以點(diǎn)B也在雙曲線的右支上，如圖，由圖可知，所以.【答案】2強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為60°的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則_______.【解析】由焦點(diǎn)弦公式，.【答案】2.（★★）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為________.【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，由焦點(diǎn)弦公式，，從而，所以或135°，從而直線l的斜率為，顯然，故直線l的方程為或.【答案】或3.（★★★）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則的面積為________.【解析】如圖，由焦點(diǎn)弦公式，，所以.【答案】4.（★★★）已知橢圓一個焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為________.【解析】由題意，直線的傾斜角為45°，由焦點(diǎn)弦公式，，因?yàn)?，所以，結(jié)合化簡得：，故離心率.【答案】5.（★★★）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，過F且不與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，弦的中垂線交x軸于點(diǎn)M，則=________.【解析】解法1：如圖，由對稱性，不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角，A在x軸下方，則，，所以，從而，故.解法2（特值法）：考慮的情形，此時，M與原點(diǎn)重合，所以，故【答案】6.（★★★）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于A、B和D、E四點(diǎn)，則四邊形的面積的取值范圍是________.【解析】設(shè)，不妨假設(shè)，則，由焦點(diǎn)弦公式，，，所以四邊形的面積，顯然，所以，即四邊形的面積的取值范圍是.【答案】7.（★★★）雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為________.【解析】由題意，，，，設(shè)直線，則由焦點(diǎn)弦公式，，解得：或，若，則，所以，從而直線的斜率，故直線的方程為；若，則，所以，從而直線的斜率，故直線l的方程為，綜上所述，直線l的方程為或【答案】或8.（★★★）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則________.【解析】由題意，，所以，設(shè)，則，所以，解得：，從而，，顯然雙曲線C的漸近線斜率為，因?yàn)?，所以點(diǎn)B也在左支上，且，故.【答案】9.（★★★）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且，則的面積為________.【解析】解法1：由題意，，，，設(shè)，由焦半徑公式，，又，所以，解得：，所以，如圖，顯然.解法2：由題意，