人教版九年級數(shù)學(xué)下冊課時教學(xué)課件合集共28套

人教版九年級數(shù)學(xué)下冊課時教學(xué)課件合集共28套第二十七章

相似第58課時

圖形的相似

完全重合大小形狀12______相同的圖形叫做相似圖形.判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與圖形的______、______無關(guān).知識點一：圖形相似的概念形狀大小位置3.觀察下列每組圖形，相似圖形是()

C

知識點二：成比例線段相等4.下列各組線段，成比例的是()A.4cm，6cm，6cm，6cmB.2cm，4cm，4cm，8cmC.4cm，8cm，12cm，16cmD.3cm，6cm，9cm，12cmB比例尺＝____________，在“比例尺”“圖上距離”“實際距離”三個量中，知道其中任意兩個量，就可以求出第三個量，但應(yīng)注意單位的統(tǒng)一.知識點三：比例尺的計算

5.在比例尺是110000的地圖上，量得兩地之間的距離是15cm，這兩地的實際距離是______km.1.5設(shè)⊙O的半徑為r，點O到直線l的距離為d，則有：知識點一：直線和圓的位置關(guān)系【例1】在下面的圖形中，相似的一組是()思路點撥：根據(jù)相似圖形的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解即可．C6.在如圖27－58－1所示的各組圖形中，屬于相似圖形的是()A.①②B.①③C.②③D.②④C【例2】下列各組的四條線段中，不是成比例線段的是()A.a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B.a＝1.1，b＝2.2，c＝3.3，d＝4.4C.a＝2，b＝215,c＝5，d＝53D.a＝0.8，b＝3，c＝0.64，d＝2.4思路點撥：根據(jù)比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數(shù)與最大的數(shù)的積是否等于另外兩個數(shù)的積即可判斷四條線段是否成比例.B7.下列各組線段，成比例的是()A.1cm，2cm，3cm，4cmB.5cm，10cm，15cm，20cmC.2cm，5cm，8cm，12cmD.4cm，8cm，8cm，16cmD

第二十七章

相似第59課時

相似多邊形的性質(zhì)及判定1.觀察下列每組圖形，相似圖形是()

D2.下列三角形與圖27－59－1全等的三角形是(

)

C相似多邊形的對應(yīng)角______，對應(yīng)邊________.相似多邊形_________的比叫做相似比.知識點一：相似多邊形的性質(zhì)相等成比例對應(yīng)邊3.如圖27－59－2，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似.若∠B＝55°，∠C＝80°，∠A′＝110°，則∠D＝______.

115°判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：對應(yīng)角______，對應(yīng)邊_________.知識點二：相似多邊形的判定相等成比例4.如圖27－59－3，有甲、乙和丙三個矩形，其中相似的是()A.甲和丙B.甲和乙C.乙和丙D.三個矩形都不相似A將一個圖形放大或縮小后所得到的圖形，與原圖形是______的.我們可以綜合運用相似多邊形的概念及其性質(zhì)等知識畫圖，并判定畫出的圖形是否與原圖形相似.知識點三：在網(wǎng)格(格點)中畫相似圖形相似5.小聰在圖27－59－4的格點圖中，畫了兩個矩形，這兩個矩形之間的關(guān)系是______.相似【例1】(RJ九下P26例題)如圖27－59－5，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的長度x.思路點撥：觀察圖形，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)角相等可得出α，∠A，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可計算求出β的大小，然后根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例即可求出EH的長度x.解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，EH∶AD＝EF∶AB,即x∶21＝24∶18.解得x＝28.在四邊形ABCD中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°.∴α＝83°，β＝81°，x＝28.6.如圖27－59－6，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，∠A＝70°，∠B＝80°，∠H＝150°，AD＝8，EF＝5，EH＝6，求∠G和AB的長.

【例2】兩個矩形的邊長如圖27－59－7所示.求證：矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似.思路點撥：根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例證明即可.

7.試判斷如圖27－59－8所示的兩個矩形是否相似.

【例3】(RJ九下P27習(xí)題4改編)在如圖27－59－9所示的網(wǎng)格中畫出與原圖形相似的圖形.(要求：與原圖形大小不相同)思路點撥：結(jié)合所給的網(wǎng)格得到圖形的各邊長與相似的性質(zhì)，將圖形各邊按照比例放大或者縮小一定的倍數(shù)即可得到對應(yīng)邊的邊長，進而作圖即可.解：如答圖27－59－1(答案不唯一).8.如圖27－59－10的左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形，使新圖形的各頂點仍在格點上.解：如答圖27－59－2.第二十七章

相似第60課時

相似三角形的簡單性質(zhì)1.a，b，c，d是成比例線段，其中a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm，則線段d＝______cm．82.如圖27－60－1，△ABC≌△CDA，若∠BAC＝94°，∠B＝55°，則∠CAD的度數(shù)為______．31°相似三角形的三個對應(yīng)角分別______，三組對應(yīng)邊__________，相似比一般用k表示.相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.找相似三角形對應(yīng)元素的方法技巧：相似三角形中，公共角、______角是對應(yīng)角，最大(小)的角對應(yīng)___________的角，最長(短)的邊對應(yīng)_________的邊；對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊.知識點一：相似三角形的簡單性質(zhì)相等成比例對頂最大(小)最長(短)3.如圖27－60－2，已知△ADE∽△ABC，若∠B＝∠ADE，則對應(yīng)角∠C＝∠______，對應(yīng)邊的比例式為______________________.AED

先利用相似三角形的性質(zhì)得到_________的比相等或_________相等，再借助方程思想、勾股定理或三角形內(nèi)角和等知識，求出其他的邊、角或證出線段垂直、平行等結(jié)論.知識點二：相似三角形簡單性質(zhì)的綜合運用對應(yīng)邊對應(yīng)角4.如圖27－60－3，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，CD＝4，則AB的長是______.8【例1】如圖27－60－4，已知△OAB∽△OCD，且DC∥AB，請寫出這對相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的比例式.思路點撥：根據(jù)找相似三角形對應(yīng)元素的方法技巧解題即可.

5.如圖27－60－5，已知△ADE∽△ABC，請寫出這對相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的比例式.

【例2】（RJ九下P27習(xí)題3）如圖27－60－6，已知△ABC∽△DEF，求未知邊x，y的長度．思路點撥：直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答即可．

6.（原創(chuàng)題）如圖27－60－7，已知△DEF∽△ABC，求∠D和∠E的度數(shù)以及DF的長．

思路點撥：首先利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，求得AB的長，然后利用勾股定理求出BC的長即可.

7.如圖27－60－9，△ABC∽△DAC，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°.求：(1)CD的長；(2)∠BAD的度數(shù).

(2)∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝153°.第二十七章

相似第61課時

相似三角形的判定(一)1.若兩個三角形的角分別______，邊________，則這兩個三角形叫做相似三角形.2.全等三角形的判定方法有______________________________________.相等成比例SSS，SAS，ASA，AAS，HL兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段__________；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的__________)，所得的對應(yīng)線段__________.知識點一：平行線分線段成比例定理成比例延長線成比例3.如圖27－61－1，l1∥l2∥l3，已知AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，則線段B1C1的長為_____cm.

2平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形______.幾何語言：如圖27－61－2，∵_________，∴△ADF∽△ABC.知識點二：相似三角形的判定定理——平行線法相似DF∥BC4.如圖27－61－3，E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交邊CD于點F.在不添加輔助線的情況下，請寫出圖中一對相似三角形：______________________________________________________.△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD）方法：先由已知條件判定兩個三角形______，再運用相似三角形的簡單性質(zhì)得到對應(yīng)角______或?qū)?yīng)邊__________，后進行相關(guān)計算或證明.知識點三：利用相似三角形進行簡單的計算相似相等成比例5.如圖27－61－4，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，DE∥AC，且BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，則BC＝______cm.6

15【例2】(RJ九下P31練習(xí)2)如圖27－61－7，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.思路點撥：利用平行線判定三角形相似的方法，易得圖中的相似三角形，然后根據(jù)相似比的定義求這兩個三角形的相似比.

7.(創(chuàng)新題)如圖27－61－8，在□ABCD中，M是邊BC上的一點，AM與BD相交于點N，且AM∶MN＝4∶1.寫出圖中的相似三角形及它們的相似比.

【例3】如圖27－61－9，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的長.思路點撥：根據(jù)平行得出三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AC的長.

8.如圖27－61－10，已知AB∥CD，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的長和∠D的度數(shù).

第二十七章

相似第62課時

相似三角形的判定(二)1.如圖27－62－1，已知AB＝AC，BD＝CD，則直接能使△ABD≌△ACD的根據(jù)是()A．SASB.ASAC．AASD.SSSD2.如圖27－62－2，設(shè)AD與BC相交于點O，已知OA＝OD.下面條件中，并不能判斷△AOB≌△DOC的條件是()A．∠A＝∠DB.∠B＝∠CC．OB＝OCD.AB＝CDD三邊__________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－62－3，∵___________________________，∴△ABC∽△A′B′C′.知識點一：相似三角形的判定定理——三邊法

成比例3.△ABC的三邊長AB＝5，BC＝4，AC＝3，△A′B′C′的三邊長A′B′＝10，B′C′＝8，A′C′＝6，則△ABC與△A′B′C′______.(填“相似”或“不相似”)相似兩邊_________且__________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－62－4，∵____________，___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知識點二：相似三角形的判定定理——兩邊及

其夾角法成比例夾角相等

∠A＝∠A′4.已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為d，若⊙O與直線l有公共點，則d的取值范圍為__________________.判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：(1)定性描述：根據(jù)直線和圓的________的個數(shù)判斷；知識點三：直線和圓的位置關(guān)系的綜合運用

思路點撥：根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似進行判斷.

5.一個三角形三邊的長分別為6cm，9cm，7.5cm，另一個三角形三邊的長分別為8cm，10cm，12cm，這兩個三角形相似嗎？為什么？解：這兩個三角形相似.理由如下：∵∴∴這兩個三角形相似.【例2】(RJ九下P34練習(xí)2改編)如圖27－62－6，△AEB和△FEC是否相似？為什么？思路點撥：根據(jù)對頂角的兩邊對應(yīng)成比例即可判斷.

6.在△ABC與△A′B′C′中，∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，判定△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.解：△ABC與△A′B′C′相似.理由如下：∵AB＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，∴∴又∵∠A＝∠A′＝45°，∴△ABC∽△A′B′C′.第二十七章

相似第63課時

相似三角形的判定(三)

C2.如圖27－63－1，已知AC，BD相交于點O，若補充一個條件后，便可得到△AOB∽△DOC，則要補充的條件可以是________________________.（填寫一個條件即可）

兩角____________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－63－2，∵__________,___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知識點一：相似三角形的判定定理——兩角法分別相等∠A＝∠A′∠B＝∠B′3.∠1＝∠2是下列四個圖形的共同條件，則四個圖中不一定有相似三角形的是()D方法步驟：(1)先判定兩個三角形______.根據(jù)已知條件，在“平行線法”“兩角法”“兩邊及其夾角法”“三邊法”中靈活選用適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄟM行判定；(2)再運用相似三角形的簡單性質(zhì)得到對應(yīng)角______或?qū)?yīng)邊__________，后進行相關(guān)計算或證明.知識點二：相似三角形性質(zhì)和判定的簡單運用相似相等成比例4.如圖27－63－3，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC.若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC的長為______.

6【例1】(RJ九下P35例2改編)如圖27－63－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB于點D.(1)△ACB與△ADE相似嗎？請說明理由；(2)求AD的長度.思路點撥：(1)易發(fā)現(xiàn)直角相等、公共角相等，用“兩角法”判定三角形相似；(2)根據(jù)相似得出比例式，代入數(shù)據(jù)得方程，計算即可.解：(1)△ACB∽△ADE.理由如下：∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADE.

5.如圖27－63－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高.求證：(1)Rt△ADC∽Rt△CDB；(2)Rt△ADC∽Rt△ACB.證明：(1)∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴Rt△ADC∽Rt△CDB.(2)∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.【例2】如圖27－63－6，在△ABC中，點D在邊AC上，∠ABD＝∠C.(1)求證：△ADB∽△ABC；(2)若AB＝6，AD＝4，求AC的長.思路點撥：(1)從圖中易發(fā)現(xiàn)兩個三角形的公共角相等,用“兩角法”判定三角形相似；(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)得方程，計算即可.(1)證明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.

6.如圖27－63－7，在正方形ABCD中，M為BC上一點，MN⊥AM，MN交CD于點N.(1)求證：△ABM∽△MCN；(2)若AB＝6，BM＝2，求DN的長.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠CMN＋∠MNC＝90°.∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°.∴∠AMB＋∠CMN＝90°.∴∠AMB＝∠MNC.∴△ABM∽△MCN.

第二十七章

相似第64課時

相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合1.如圖27－64－1，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝3∶2，AE＝6cm，則EC的長為______cm．42.如圖27－64－2，四邊形ABCD是正方形，點E是CD的中點，點P是BC上一動點，要使以點A，B，P為頂點的三角形與△ECP相似，還需具備一個條件是______________________．（填寫一個條件即可）BP＝2CP(答案不唯一)綜合運用相似三角形的性質(zhì)和判定，計算線段的長時，需要先找到圖中的______三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等得出________，再進一步求出線段的長度.知識點一：相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合計算相似比例式3.如圖27－64－3，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝3，CE＝1，那么BD的長為______.4方法：若要證明等積式ad＝bc,則轉(zhuǎn)化為比例式__________________________，再觀察a，b(或a，c)與c，d(或b，d)是否分別在兩個三角形中，如果在兩個三角形中，可證明這兩個三角形______，否則可轉(zhuǎn)化其中的某條線段，再證明三角形相似.知識點二：利用相似三角形證明等比式或等積式

相似4.如圖27－64－4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF∶DE的值是______．

在圓中證明三角形相似時，要善于利用“圓心角定理”“圓周角定理”及其推論和“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”等性質(zhì)，尋找到相等的______角或______角，為三角形相似創(chuàng)造條件.知識點三：圓中的相似三角形圓心圓周5.如圖27－64－5，在⊙O中，弦AB與弦CD交于點M，且CM∶BM＝3∶2，則DM∶AM＝______.2∶3【例1】如圖27－64－6，在△ABC中，點D在線段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD的長為______.思路點撥：先證明△ABC∽△DAC，得出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求出CD的長.46.如圖27－64－7，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分別交BC于點E，交DC的延長線于點F，且CF＝1，則CE的長為______.

思路點撥：(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；(2)用“兩角法”判斷△BCA∽△BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到等積式.

思路點撥：(1)連接AC，BC，易證Rt△APC∽Rt△CPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以證得；(2)設(shè)PA＝x，則PB＝AB－PA＝16－x，代入(1)的結(jié)論即可求得.(1)證明：如答圖27－64－1，連接AC，BC.∵AB是直徑，CD⊥AB于點P，∴BC＝BD.∵∠CAB，∠BCP所對的圓弧相等，∴∠CAB＝∠BCP.∴Rt△APC∽Rt△CPB.∴

∴PC2＝PA·PB.

8.(創(chuàng)新題)如圖27－64－11，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB于點P.(1)若P為OB的中點，求∠A的度數(shù)；(2)若AB＝10，CD＝8，求BP的長.

【例4】如圖27－64－12，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，與OD的延長線交于點P，連接CP，與AB的延長線交于點E.求證：(1)PC是⊙O的切線；(2)EC2＝EA·EB.思路點撥：(1)連接OC，由“垂徑定理”和線段垂直平分線的性質(zhì)可證明△OAP≌△OCP，結(jié)合切線的性質(zhì)可知∠OCP＝90°，進而得出結(jié)論；(2)連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再證△ECB∽△EAC，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

(2)如答圖27－64－2，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ECO.∴∠ECB＋∠BCO＝∠BCO＋∠ACO.∴∠ECB＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB.∵∠E＝∠E，∴△ECB∽△EAC.∴∴EC2＝EA·EB.

第二十七章

相似第65課時

相似三角形的周長和面積

2.如圖27－65－2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E各點均為格點，則圖中△______（用字母表示）∽△ABC．

DEB相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于_________.一般地，相似三角形對應(yīng)線段的比等于________.知識點一：相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)相似比相似比3.如果兩個三角形相似且相似比為9∶16，那么這兩個三角形對應(yīng)邊上的高的比是()A．81∶256

B.9∶16C．3∶4

D.16∶9B相似三角形周長的比等于____________.知識點二：相似三角形周長的性質(zhì)相似比4.如果兩個相似三角形的相似比為1∶3，那么它們的周長比為______.1∶3相似三角形面積的比等于__________________.知識點三：相似三角形面積的性質(zhì)相似比的平方5.若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應(yīng)面積的比為(

)A.3∶2

B.3∶5C.9∶4

D.4∶9C綜合運用相似三角形的性質(zhì)時，一要找準(zhǔn)______關(guān)系，找準(zhǔn)__________；二要熟記相似三角形對應(yīng)線段的比和周長的比都等于_________，面積的比等于____________________.知識點四：相似三角形性質(zhì)的綜合運用對應(yīng)相似比相似比相似比的平方6.已知兩個相似三角形的面積比是4∶25，其中較小的三角形的周長為18cm，則較大的三角形的周長為______cm.45【例1】如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比為1∶9，那么它們的對應(yīng)中線之比是(

)A．1∶2

B.1∶3

C．1∶9

D.1∶81思路點撥：根據(jù)相似三角形的對應(yīng)中線的比等于相似比解答即可．C7.如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1∶2，那么它們的對應(yīng)高之比是()A.1∶2

B.1∶4C.1∶6

D.1∶8A

D8.若△ABC與△DEF相似，且相似比為3∶1，△ABC的周長為18，則△DEF的周長為()A.54

B.6C.3

D.2B【例3】如果兩個相似三角形對應(yīng)高的比是1∶2，其中較小三角形面積是12，那么另一個三角形面積是______.思路點撥：設(shè)另一個三角形面積為x，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方列出比例式，計算得到答案.489.若兩個相似三角形的面積的比是9∶25，則對應(yīng)邊上的中線的比為______.3∶5

思路點撥：證明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

10.(創(chuàng)新題)如圖27－65－4，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D.若△ABC的邊BC上的高是6，周長為36，求△DEF的邊EF上的高和周長.

第二十七章

相似第66課時

相似三角形的應(yīng)用(一)1.如圖27－66－1，A,B在河的兩側(cè)，若BC＝CD，AB⊥MN于點B，ED⊥MN于點D，DE＝100m，河寬AB＝______m．1002.如圖27－66－2，A，B兩處被池塘隔開，為了測量A，B兩處的距離，在AB外選一適當(dāng)?shù)狞cC，連接AC，BC，并分別取線段AC，BC的中點E，F(xiàn)，測得EF＝22m，則AB＝______m．44先從實際問題中構(gòu)造出______三角形模型，然后利用相似三角形對應(yīng)邊的比______求解.常見模型如圖27－66－3.知識點一：利用三角形的相似測量物體高度相似相等3.如圖27－66－4，身高為1.8m的某學(xué)生想測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)他站在B處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AB＝3m，AC＝10m，則旗桿CD的高度是______m.6一般步驟：(1)______：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并畫出平面圖形；(2)______：根據(jù)已知條件，證明兩個三角形相似；知識點二：利用三角形的相似測量河寬(距離)建模證明(3)______：利用相似三角形的性質(zhì)，求出邊長，得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)作答：得到實際問題的答案.常見模型如圖27－66－5.計算4.如圖27－66－6，A,B兩點被一條河隔開，為了測量A，B兩點間的距離，小明過點B作BF⊥AB，在BF上取兩點C，D，使BC＝2CD，過點D作DE⊥BF且使點A，C，E在同一條直線上.隨后測得DE＝20m，則A，B兩點間的距離是()A.60m

B.50mC.40m

D.30mC【例1】（RJ九下P43習(xí)題10改編）小明想用鏡子測量校園內(nèi)一棵松樹的高度，如圖27－66－7所示，他把鏡子放在水平地面上的點C，沿著直線BC后退到點F，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A的像，量得BC＝10m，CF＝2m．已知EF，AB均與地面BF垂直，小明的眼睛距離地面1.5m（即EF＝1.5m），請你求出松樹AB的高．思路點撥：根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)得出△CFE∽△CBA，再根據(jù)其相似比解答．

5.如圖27－66－8，小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時EA＝21m，CE＝2.5m.已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6m，請計算出教學(xué)樓的高度.

【例2】（RJ九下P40例5改編）某校九年級數(shù)學(xué)研學(xué)小組為了估計澧水河某段水域的寬度.如圖27－66－9，在河的對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸分別取點B，D，E，C，使點A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點A，C，E也在一條直線上，且DE∥BC．經(jīng)測量BC＝25m，BD＝12m，DE＝35m，求河的寬度AB.思路點撥：先證明△ABC∽△ADE，然后根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求AB的長度．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE.∴即

解得AB＝30．答：河的寬度AB為30m．6.如圖27－66－10，為了計算河兩岸間的寬度，小明在河對岸的岸邊選定一個目標(biāo)作為點A，再在河岸的另一邊選點B和點C，使AB⊥BC，然后再選點E，使EC⊥BC，BC與AE的交點為點D.測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，請求出兩岸之間AB的距離.

第二十七章

相似第67課時

相似三角形的應(yīng)用(二)1.如圖27－67－1，小芳和爸爸一起散步，爸爸的身高是1.8m，他在地上的影子長2.1m.若小芳的身高只有1.2m，則她的影長為()A.1.2m

B.1.4mC.1.6m

D.1.8mB2.如圖27－67－2，為了測量河寬AB，小明將一根標(biāo)尺CD橫放，使CD∥AB，并使點O,D,B和點O,C,A分別在同一條直線上.量得CD＝10m，OC＝15m，OA＝45m，則河寬AB為______m.30利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題的核心是構(gòu)造______三角形(必要時可以作輔助線)，在構(gòu)造的三角形中，被測物體一般是其中的一邊，而其余的邊容易測量.常見模型如圖27－67－3.知識點一：作輔助線構(gòu)造相似三角形解決實際問題相似3.如圖27－67－4，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝______m.5.5像物理學(xué)中有關(guān)“小孔成像”的問題，我們可以構(gòu)造相似三角形，再運用“相似三角形對應(yīng)高的比等于_________”進行求值.常見模型如圖27－67－5.知識點二：利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相

似比”解決實際問題相似比4.我軍邊防部隊發(fā)現(xiàn)河對岸我方領(lǐng)土上有Y國軍隊在活動，為了估算其與我軍距離，偵察員手臂向前伸，將食指豎直，通過前后移動，使食指恰好將對岸我方樹立的旗桿遮住，如圖27－67－6所示.若此時眼睛到食指距離l約為70cm，食指AB長約為7cm，旗桿CD高度為28m，則對方與我軍距離d約為______m.280【例1】（RJ九下P40例6改編）如圖27－67－7，為了測量古塔的高度，小紅將標(biāo)桿CD豎直插在地面上，然后自己往后退，使眼睛通過桿的頂端C剛好看到塔頂A.已知小紅眼睛到地面高度EF＝1.5m，標(biāo)桿CD＝2.4m，測得DF＝2m，DB＝32m，E，G，H在同一直線上且EH⊥AB.求古塔的高AB.思路點撥：根據(jù)給出的條件,得到△EGC∽△EHA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AH的長，進而得出AB的長．

【例2】如圖27－67－9，小強自制了一個小孔成像裝置，其中紙筒的長度為15cm，他準(zhǔn)備了一支長為20cm的蠟燭，想要得到高度為5cm的像，則蠟燭應(yīng)放在距離紙筒多遠的地方？思路點撥：先根據(jù)題意得出△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性質(zhì)得到相似比，計算即可得出答案.

5.如圖27－67－8，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.9m，小愛站在F處，其中眼睛E，標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上(人、標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點F，B，D在同一條直線上).已知BD＝6m，F(xiàn)B＝2m，EF＝1.6m，求樹高CD.

6.如圖27－67－10，一架投影機插入膠片后圖像可投到屏幕上.已知膠片與屏幕平行，A點為光源，與膠片BC的距離為0.1m，膠片的高BC為0.038m.若需要投影后的圖像DE高為1.9m，則投影機光源離屏幕大約為多少米？

第二十七章

相似第68課時

位似(一)1.下列每個選項的兩個圖形，不是相似圖形的是()

D2.如果兩個相似三角形的周長的比為1∶4，那么這兩個三角形的對應(yīng)角的平分線的比為()A．1∶2

B.1∶4C．1∶8

D.1∶16B如果兩個圖形不僅是______圖形，而且對應(yīng)頂點的連線______________，對應(yīng)邊_________或在同一條直線上，那么像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做___________.這時這兩個圖形關(guān)于這點______.知識點一：位似圖形相似相交于一點互相平行位似中心位似3.下列圖形中，不是位似圖形的是()

C(1)位似圖形的對應(yīng)角______，對應(yīng)邊_________；(2)位似圖形的對應(yīng)點的連線相交于一點，即經(jīng)過______________；(3)位似圖形的對應(yīng)邊__________或在同一條直線上；(4)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于________.知識點二：位似圖形的性質(zhì)相等成比例位似中心互相平行相似比4.如圖27－68－1，△DEF與△ABC位似，點O為位似中心，已知OF∶OC＝1∶2，則△DEF與△ABC的周長之比是_________,面積之比是_________.1∶21∶4一般步驟：(1)確定____________；(2)分別連接位似中心和能代表原圖的________并延長；(3)根據(jù)________，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；(4)順次連接上述各點，即可得到放大或縮小后的圖形.知識點三：位似圖形的畫法位似中心關(guān)鍵點相似比5.如圖27－68－2是△ABC位似圖形的幾種畫法，其中正確的個數(shù)是(

)A.1個B.2個C.3個D.4個D【例1】如圖27－68－3，圖形中是位似圖形的有()A.0個

B.1個C.2個

D.3個思路點撥：根據(jù)位似圖形的概念直接判斷.C6.已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC與△A′B′C′不存在位似關(guān)系的是()

D【例2】如圖27－68－4，以點O為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，則以下說法錯誤的是()A.AB∥A′B′B.△ABC∽△A′B′C′C.AO∶AA′＝1∶2D.直線CC′經(jīng)過點O思路點撥：根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.C7.如圖27－68－5，以點O為位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，且相似比為2∶5，以下說法中錯誤的是()A.△ABC∽△A′B′C′B.AO∶AA′＝2∶5C.AB∶A′B′＝2∶5D.AC∥A′C′B【例3】（RJ九下P48練習(xí)2改編）畫圖：在圖27－68－6中，以點O為位似中心，把△ABC放大到原來的2倍.思路點撥：連接OA并延長，使OA′＝2OA，則A′就是A的對應(yīng)點，同理可以作出B，C的對應(yīng)點，順次連接A′，B′，C′，△A′B′C′就是所求三角形；但要注意位似圖形一般有兩個,在OA延長線上和OA反向延長線上均有A的對應(yīng)點．解：如答圖27－68－1，△A′B′C′與△A″B″C″即為所求.8.在如圖27－68－7所示的方格紙中(每個小方格的邊長都是1個單位長度)有一點O和△ABC.(1)畫圖：以點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的一半(不改變方向)，得到△A′B′C′；(2)△ABC與△A′B′C′的相似比為______.解：(1)如答圖27－68－2,△A′B′C′即為所求.2∶1第二十七章

相似第69課時

位似(二)1.在平面直角坐標(biāo)系中，將點A（－2，1）向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到點A′，則點A′的坐標(biāo)為__________．（2，－2）2.如圖27－69－1，四邊形EFGH與四邊形ABCD關(guān)于點O位似，且OE＝2AE，則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為_________．4∶9一般地，在平面直角坐標(biāo)系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的新圖形，使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為__________或_______________.知識點一：位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律—

—位似中心是原點(kx，ky)(－kx，－ky)3.如圖27－69－2，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（－3，2），（－2，3），以原點O為位似中心，在原點的異側(cè)按1∶3的相似比將△OAB放大，則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為()A．（6，－9）B.（9，－6）C．（6，－4）D.（4，－6）A(1)弄清楚____________及位似變換是放大還是縮??；(2)可以先作位似圖形，后寫對應(yīng)關(guān)鍵點的坐標(biāo)；也可以利用位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律，先計算對應(yīng)點的坐標(biāo)，后描點連線畫圖；(3)以原點為位似中心的位似圖形的坐標(biāo)變化，一定要注意______的變化，簡要地說，若兩圖形在原點同側(cè)，則符號不變；若在原點異側(cè)，則符號相反.知識點二：位似變換與坐標(biāo)變換的綜合運用位似中心符號

(1，2)或(－1，－2)【例1】（RJ九下P50練習(xí)2改編）在△ABO中，點A（－6，0），點B（－4，－2），O為坐標(biāo)原點，以點O為位似中心，按相似比1∶2把△ABO放大，則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為______________________．思路點撥：根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可得出答案,要注意答案有兩種情況．（－8，－4）或（8，4）5.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為2∶3，點B，E在第一象限.若點A的坐標(biāo)為(1，0)，則點E的坐標(biāo)是______________.

【例2】如圖27－69－4，已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度后得到的△A1B1C1，點C1的坐標(biāo)是___________；(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且相似比為2∶1；(3)四邊形AA2C2C的面積是______平方單位.思路點撥：(1)先畫圖，再根據(jù)圖象找出所求點的坐標(biāo)即可；(2)根據(jù)相似比找到A2,B2,C2,再順次連接即可得到△A2B2C2；(3)根據(jù)四邊形AA2C2C的面積＝△AA2C的面積＋△A2C2C的面積解答即可.(2，－2)7.5解：(1)如答圖27－69－1，△A1B1C1即為所求.(2)如答圖27－69－1，△A2B2C2即為所求.6.在如圖27－69－5所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B，C三個點的坐標(biāo)分別為A(－3，－4)，B(－1，－4)，C(－1，－2).(1)畫出△ABC；(2)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)為_________；(－3，4)(3)以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)把△ABC擴大到原來的2倍，得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2，并寫出點A2的坐標(biāo)為________.解：(1)△ABC如答圖27－69－2.(2)△A1B1C1如答圖27－69－2.(3)△A2B2C2如答圖27－69－2.(6，8)第二十九章投影與視圖第77課時

投影1.皮影戲起源于中華民族，它是一種用獸皮或紙板做成的人物剪影(如圖29－77－1)在光源照射下進行的藝術(shù)表演，2011年成功入選人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn).（1）皮影戲中用獸皮或紙板做成的“人物”，在表演時是______(填字母)；A.光源

B.遮擋物或阻擋物C.屏B（2）在表演過程中，光源位置不變，想讓人物剪影更大，應(yīng)將“人物”______（填“靠近”或“遠離”）白色屏幕.

遠離2.陽光下的物體也會產(chǎn)生影子，為了便于觀察和記錄，小科做了一個如圖29－77－2②所示的簡易日晷，面朝南觀察了小短桿一天中的影子變化.請根據(jù)他的記錄判斷：

（1）如圖29－77－2①，一天中太陽在______（填字母）位置時，影子最短；（2）根據(jù)圖29－77－2②分析，一天中影子長短的變化規(guī)律是______（填字母）.A.由長變短，再變長B.由短變長，再變短C.一直變長BA

知識點一：平行投影影子平行成正比例正投影3.下列四幅圖中，能表示兩棵樹在同一時刻太陽光下的影子的圖是()

A由________(點光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上.知識點二：中心投影同一點4.下列各種現(xiàn)象屬于中心投影的是()A.晚上人走在路燈下的影子B.中午用來乘涼的樹影C.上午人走在路上的影子D.陽光下旗桿的影子A可以利用相似三角形或銳角三角函數(shù)等知識解決相關(guān)投影的實際問題.知識點三：運用投影知識解決相關(guān)問題5.如圖29－77－3，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC.若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m,則路燈的高度OP為______m.

【例1】（RJ九下P92練習(xí)改編）一個圓柱按圖29－77－4中所示的方式放置，畫出按圖中箭頭方向所示的投影方向的正投影.思路點撥：根據(jù)正投影的概念畫出對應(yīng)圖形即可.解：如答圖29－77－1①為投影方向向右的正投影，如答圖29－77－1②為投影方向向下的正投影.6.將一個直六棱柱形工件按圖29－77－5中所示的方式擺放，直六棱柱底面是正六邊形，畫出按圖中箭頭方向所示的投射方向的正投影.解：如答圖29－77－3①為投影方向向右的正投影，如答圖29－77－3②為投影方向向下的正投影.【例2】下列不是中心投影的是()A.皮影戲中的影子B.晚上在房間內(nèi)墻上的手影C.舞廳中霓虹燈形成的影子D.太陽光下林蔭道上的樹影思路點撥：根據(jù)中心投影的概念判斷即可.D7.下列物品：①手電筒；②車燈；③太陽；④月亮；⑤臺燈.其中所形成的投影是中心投影的是()A.①②

B.①③C.①②③

D.①②⑤D【例3】如圖29－77－6，在平面直角坐標(biāo)系中，點P（3，3）是一個光源．木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為A（0，1），B（4，1）．畫出木桿AB在x軸上的投影，并求出其投影長．思路點撥：構(gòu)造出相似三角形，將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

8.（創(chuàng)新題）一幢4層樓房只有一個窗口亮著一盞燈，一棵小樹和一根電線桿在窗口燈光下的影子如圖29－77－7所示，亮著燈的窗口是幾號窗口？解：如答圖29－77－4，亮著燈的窗口是3號窗口．第二十九章投影與視圖第78課時

三視圖（一）1.正方形的正投影不可能是（）A．矩形

B．梯形C．正方形

D．線段2.如圖29－78－1，箭頭表示投影的方向，則圖中圓錐體的正投影是______________.B等腰三角形對一個物體在三個投影面內(nèi)進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做________；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做________；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做________.知識點一：簡單幾何體的三視圖主視圖俯視圖左視圖3.下列立體圖形中，主視圖、左視圖和俯視圖都相同的是（）A由幾種基本幾何體組合而成的組合體，其各種視圖可以合理地分割成基本幾何體的視圖再組合，要注意各幾何體的上、下、前、后、左、右的______關(guān)系.知識點二：簡單組合體的三視圖位置4.從正面觀察如圖29－78－2所示的幾何體，你所看到的幾何體形狀圖是（）C畫三視圖時，要注意以下幾點：(1)位置規(guī)定：主視圖在______邊，主視圖的正下方是______圖，主視圖的右邊是______圖；(2)九字原則：長______、高______、寬______；(3)虛實規(guī)定：把看得見部分的輪廓線畫成______，因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線畫成______.知識點三：畫幾何體的三視圖左上俯視左視對正平齊相等實線虛線5.如圖29－78－3，畫出該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.解：如答圖29－78－1.

【例1】下列幾何體中，其主視圖和俯視圖都為矩形的是()思路點撥：分別確定四個幾何體從正面看和從上面看所得到的圖形即可.B6.下列幾何體中，同一個幾何體從正面看和從上面看所得到的圖形不相同的是()

B【例2】如圖29－78－4，幾何體的主視圖是()思路點撥：從正面觀察每層小正方體的個數(shù)及位置關(guān)系即得出答案，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.A7.如圖29－78－5的幾何體是由4個相同的正方體組成的立體圖形，從正面看這個幾何體，所看到的平面圖形是()

C【例3】（RJ九下P97例2改編）用若干個棱長為1cm的小正方體搭成如圖29－78－6所示的幾何體．請在方格紙中畫出該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.思路點撥：根據(jù)簡單組合體的三視圖的畫法畫出主視圖、左視圖和俯視圖即可.解：如答圖29－78－2.

8.如圖29－78－7是由6個棱長為1cm的小正方體組成的簡單幾何體．請在方格紙中畫出該幾何體從正面、左面和上面所看到的形狀圖．

解：如答圖29－78－3.

第二十九章投影與視圖第79課時

三視圖（二）1.畫如圖29－79－1所示的物體的俯視圖，正確的是()

B2.如圖29－79－2，幾何體的左視圖是()

B由三視圖確定幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)________、________和________想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體圖形.知識點一：根據(jù)三視圖確定物體的形狀——

簡單幾何體主視圖俯視圖左視圖3.如圖29－79－3是某幾何體的三視圖，這個幾何體是()A.三棱柱B.三棱錐C.長方體D.正方體A分析途徑：(1)觀察三視圖，看其可分解為哪些簡單幾何體的_________；(2)想象出各簡單_________；(3)根據(jù)三視圖反映的____________組合簡單幾何體就可以得到物體原來的形狀；(4)可對想象出的物體作三視圖檢驗正誤，注意虛線與實線的區(qū)別.知識點二：根據(jù)三視圖確定物體的形狀——簡

單組合體三視圖幾何體位置關(guān)系4.如圖29－79－4是由4個相同的小立方體組成的立體圖形的主視圖和左視圖，則原立體圖形不可能是()C一般步驟：（1）由俯視圖確定第______層小正方體的個數(shù)；（2）由主視圖（或左視圖）確定物體的______；(3)由主視圖和左視圖確定其他各層小正方體的個數(shù).知識點三：根據(jù)三視圖確定小正方體的個數(shù)一層數(shù)5.如圖29－79－5是一個由若干個相同的小正方體堆成的物體的三視圖，則堆成這個物體的小正方體的個數(shù)是______個．5先了解主視圖、左視圖、俯視圖的大致輪廓，借助空間想象力還原_________，再根據(jù)三視圖“長對正，_________，_________”的關(guān)系，確定三視圖中各線段在幾何體中對應(yīng)的部分，最后畫出幾何體的展開圖并進行相關(guān)計算.知識點四：根據(jù)三視圖計算幾何體的表面積和體積幾何體高平齊寬相等6.一個幾何體的三視圖如圖29－79－6所示，則這個幾何體的側(cè)面積是（）A．27πcm2B．48πcm2C．96πcm2D．36πcm2A【例1】（RJ九下P98例3改編）如圖29－79－7，是從三個方向看兩個立體圖形所得到的平面圖形，請根據(jù)視圖說出立體圖形的名稱，并畫出它們的大致形狀.思路點撥：根據(jù)從主視圖、左視圖及俯視圖看到的圖形，即可確定物體的形狀.解：（1）該幾何體為長方體，其大致形狀如答圖29－79－1.（2）該幾何體是圓錐，其大致形狀如答圖29－79－2.7.如圖29－79－8，是兩個立體圖形的三視圖，請說出這兩個立體圖形的名稱，并畫出它們的大致形狀.解：（1）該幾何體是長方體，其大致形狀如答圖29－79－4.（2）該幾何體是四棱錐，其大致形狀如答圖29－79－5.【例2】如圖29－79－9是由幾個大小相同的小正方體組成的立體圖形的俯視圖，則這個立體圖形可能是()思路點撥：由俯視圖可確定物體底層的小正方體的個數(shù)與位置.D8.某幾何體的從左面看到的形狀圖如圖29－79－10所示，則該幾何體不可能是（）D【例3】如圖29－79－11是由棱長為1cm的立方體小木塊搭建成的幾何體從3個不同的方向看到的形狀圖．

（1）在從上面看到的形狀圖中標(biāo)出相應(yīng)位置上立方體小木塊的個數(shù)；（2）求該幾何體的表面積（包含底面）．思路點撥：（1）由俯視圖可得該組合幾何體最底層的小木塊的個數(shù)，由主視圖和左視圖可得第二層和第三層小木塊的個數(shù)；（2）將幾何體的暴露面（包括底面）的面積相加即可得到其表面積．（2）該幾何體的表面積為6×2＋6×2＋6×2＋2×2＝40（cm2）．解：（1）如答圖29－79－3.9.（創(chuàng)新題）如圖29－79－12是由若干個相同的小立方體搭成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，俯視圖的方格中的字母和數(shù)字表示該位置上小立方體的個數(shù)．（1）俯視圖中x＝______，y＝______；23（2）在(1)的條件下先化簡再求值：2（3x2y－xy2）－（xy2＋4x2y）＋2xy2．解：（2）原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2

＝2x2y－xy2.當(dāng)x＝2,y＝3時,原式＝2×22×3－2×32＝6.【例4】（RJ九下P99例5改編）如圖29－79－13所示的是某個幾何體從三種不同方向所看到的圖形.（1）寫出這個立體圖形的名稱：_________；（2）根據(jù)圖中的有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個幾何體的表面積和體積（圖中尺寸單位：cm）.思路點撥：（1）根據(jù)三視圖即可得出答案；（2）結(jié)合該幾何體的表面積和體積公式即可得出答案.三棱柱

①寫出這個幾何體的名稱:______；②若該幾何體的主視圖的高、長分別為（1）中求得的m的值與方程②的解，求該幾何體的體積．（結(jié)果保留π）圓柱

（2）②由題意，得這個圓柱的高為5,底面直徑為2，∴該幾何體的體積為π×12×5＝5π．第二十八章銳角三角函數(shù)第70課時

銳角三角函數(shù)(一)1.如圖28－70－1，在2×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，頂點稱為格點，點A，B，P均在格點上，則AB＝______，AP＝______，BP＝______.

5

2.如圖28－70－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，則邊AC的長為______．

知識點一：正弦的定義正弦

3.如圖28－70－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則sinA＝______，sinB＝______.

結(jié)合網(wǎng)格的特征，觀察角所在方格中的位置，構(gòu)造__________________，運用勾股定理計算出相關(guān)邊的長度，再運用正弦的定義便可求解.知識點二：在網(wǎng)格中求正弦值直角三角形4.三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖28－70－5所示，則sinα＝______.

在一個直角三角形中，若知道銳角的正弦值，還知道其中一條邊的長，我們可以根據(jù)正弦的定義得到一個比例式，計算出另一條邊的長，再運用______________可求出第三邊的長度.知識點三：利用正弦值求邊長勾股定理

4【例1】（RJ九下P63例1改編）如圖28－70－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．思路點撥：利用勾股定理得出AB的長，根據(jù)正弦的定義得出答案．

6.（原創(chuàng)題）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求sinA＋sinB．

7．【例2】如圖28－70－8，在4×4的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1.若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則sinA＝______.思路點撥：根據(jù)勾股定理求出△ABC的各邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據(jù)正弦的定義計算即可.

7.如圖28－70－9，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinB＝______.

第二十八章銳角三角函數(shù)第71課時

銳角三角函數(shù)(二)1.如圖28－71－1，CD為Rt△ABC斜邊上的高，若AD＝6，BD＝2，則CD的值為______．

2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝12，則sinA＝______，sinC＝______．

知識點一：余弦和正切的定義余弦

正切

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，則cosA＝______，tanA＝______.

∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)，我們可以把∠A看作自變量，其取值范圍是______°＜∠A＜______°，sinA(或cosA或tanA)隨著∠A的變化而變化，但當(dāng)∠A確定時，sinA(或cosA或tanA)也就有唯一確定的值與∠A對應(yīng)，所以我們說sinA，cosA，tanA都是∠A的三角函數(shù).知識點二：銳角三角函數(shù)0904.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，則sinA＝______，tanA＝______，cosA＝______.

在直角三角形中，已知某銳角的函數(shù)值和一條邊長，我們可以利用三角函數(shù)的定義和____________求出另外兩邊，但要注意邊角的______關(guān)系，靈活地進行等式的變形.知識點三：根據(jù)銳角三角函數(shù)求邊長勾股定理對應(yīng)

6【例1】如圖28－71－3，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，則cosB的值是()思路點撥：根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解.A6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，則tanA的值是()

B【例2】（RJ九下P65例2改編）如圖28－71－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA的值．思路點撥：根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可．

7.（原創(chuàng)題）如圖28－71－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA·cosA·tanB的值．

思路點撥：先根據(jù)正切函數(shù)的定義得到AC的長，再根據(jù)勾股定理求出AB的長.

第二十八章銳角三角函數(shù)第72課時

特殊角的三角函數(shù)值1.如圖28－72－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，則AD的長為______．

32.如圖28－72－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，則cosA＝______.

知識點一：特殊角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA13.計算：sin30°＋tan45°－2cos60°＝______．

銳角三角函數(shù)值是_________時，可以根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值來求角的度數(shù)，所以，一要牢記或正確推導(dǎo)特殊角的銳角三角函數(shù)值，二要細心，勿混淆特殊角的銳角三角函數(shù)值.知識點二：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度特殊值

45°(1)分清銳角所在的______三角形，掌握好銳角三角函數(shù)的概念及特殊角的_______________，可以快速求出線段的長或角的度數(shù)；(2)對于含特殊角的非直角三角形，要根據(jù)題意添加輔助線(如作三角形的高、作坐標(biāo)軸的垂線等)，構(gòu)造______三角形；也可以利用等角進行角的轉(zhuǎn)化，將所求角轉(zhuǎn)化到易求的直角三角形中去解決問題.知識點三：特殊角三角函數(shù)值的綜合運用直角三角函數(shù)值直角

2

【例1】（RJ九下P66例3改編）計算：6tan230°－sin60°－2sin45°．思路點撥：把特殊角的三角函數(shù)值代入原式計算即可．

6.計算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.

C

A【例3】數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角尺中，含45°的三角尺的斜邊與含30°的三角尺的長直角邊相等.于是，甲同學(xué)提出一個問題：如圖28－72－3，將一副三角尺的直角頂點重合拼放在一起，點B，C，E在同一直線上，若BC＝2，求AF的長.思路點撥：根據(jù)正切函數(shù)的定義求出AC的長,再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出FC的長,進而得出AF的長.

8.(原創(chuàng)題)如圖28－72－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延長CA至點D，使AD＝AB．（1）求∠D的度數(shù)；（2）求tanD的值.

第二十八章銳角三角函數(shù)第73課時

解直角三角形1.計算：sin230°＋tan45°－2cos60°＝______.2.如果tanα＝1，那么銳角α的度數(shù)是______.

45°一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由已知元素求出其余未知元素的過程，叫做_______________.若已知一邊一角，則可以先根據(jù)兩銳角______求出另一個銳角，再利用銳角三角函數(shù)的定義求其余邊長(一般用未知邊比已知邊或用已知邊比未知邊).知識點一：已知一邊一角，解直角三角形解直角三角形互余3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，則∠B＝______，AB＝______，AC＝______.60°4

若已知兩邊，則可以先根據(jù)_________求出第三邊，再利用銳角三角函數(shù)的定義求兩個銳角(一般用已知邊比已知邊).知識點二：已知兩邊，解直角三角形勾股定理4.如圖28－73－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，則AC＝______，∠A＝______，∠B＝______.

30°60°(1)當(dāng)題目中給出角的三角函數(shù)值時，要注意在直角三角形中應(yīng)用，若沒有直角三角形，則要構(gòu)造______三角形；(2)求某些未知量的途徑往往不唯一，選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選擇可以直接應(yīng)用__________的關(guān)系式，二是盡量選擇便于計算的關(guān)系式，若能用乘法計算就避免用______計算，即“有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，化斜為直”；知識點三：解直角三角形的綜合運用直角原始數(shù)據(jù)除法(3)通過設(shè)參數(shù)，利用______求解也是解直角三角形的重要方法.方程

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,c＝10，∠B＝45°，解這個直角三角形.

【例2】(RJ九下P73例1改編)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝36，BC＝33，解這個直角三角形.思路點撥：先根據(jù)勾股定理求出AC，從而發(fā)現(xiàn)AC＝BC，即可推出∠A＝∠B.

【例3】如圖28－73－3，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的長.思路點撥：作輔助線CD⊥AB,交BA的延長線于點D,求出AD和CD的長,進而利用勾股定理求得BC的長.

第二十八章銳角三角函數(shù)第74課時

解直角三角形的應(yīng)用(一)

60°4

利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般步驟：(1)建立______：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)解__________________；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；知識點一：“一個仰角或俯角”的類型模型直角三角形(4)得到實際問題的答案.解決只有一個仰角(視線在水平線______方的角)或俯角(視線在水平線______方的角)的問題，可以利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理求解，若無直角三角形，則可以作輔助線構(gòu)造直角三角形.

上下

B解決含有兩個仰角或俯角的問題，一般可建立“雙直角三角形(兩個直角三角形在公共直角邊的同側(cè)或異側(cè)，而另外兩條直角邊在同一條直線上)”模型，可設(shè)公共直角邊為x，將另外兩條直角邊分別用x表示出來，并利用它們的________建立方程求解.知識點二：“兩個仰角或俯角”的類型和、差

C【例1】為了測量某建筑物BE的高度(如圖28－74－3)，小明在離建筑物15m(即DE＝15m)的A處，用測角儀測得建筑物頂部B的仰角為45°，已知測角儀高1.8m（即AD＝1.8m），求建筑物BE的高度.思路點撥：過點A作AC⊥BE于點C，則AC＝DE，在Rt△ABC中，可以用正切求BC的長，再計算BE＝BC＋CE即可.解：如答圖28－74－1，過點A作AC⊥BE于點C，則AC＝DE＝15m，CE＝AD＝1.8m.在Rt△ABC中，BC＝AC·tan45°＝15(m)，則BE＝BC＋CE＝16.8(m).答：建筑物BE的高度是16.8m.5.如圖28－74－4，創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹的高度AB，其中一名小組成員站在距離樹10m的點E處，測得樹頂A的仰角為54°.已知測角儀的架高CE＝1.5m，求這棵樹的高度.(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)

思路點撥：過點A作AD⊥BC于點D，用正切函數(shù)分別求得BD和CD的長即可．

第二十八章銳角三角函數(shù)第75課時

解直角三角形的應(yīng)用(二)1.如圖28－75－1，OA是北偏東30°的一條射線，若∠AOB＝90°，則OB的方向角是______________.北偏西60°

60°解決只有一個方向角的問題，可利用正南、______、正西、______方向構(gòu)造______三角形，畫出這個幾何圖形，將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，進而根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?知識點一：“一個方向角”的類型正東正北直角3.如圖28－75－2，海面上B，C兩島分別位于A島的正東和正北方向，A島與C島之間的距離約為36nmile，B島在C島的南偏東43°方向，則A，B兩島之間的距離約為______nmile.(結(jié)果精確到0.1nmile，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)33.5解決含有兩個方向角的問題，一般可以通過作航線的垂線或作三角形的______，建立“雙直角三角形”模型，利用銳角三角函數(shù)的定義或結(jié)合方程思想求解.知識點二：“兩個方向角”的類型高4.如圖28－75－3，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向、距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是____________nmile.

【例1】小亮為測量如圖28－75－4所示的淡水湖湖面的寬度BC，他在與淡水湖的同一水平面上取一點A，測得湖的一端C在A處的正北方向，另一端B在A處的北偏東60°的方向，并測得A,C間的距離AC＝10m，求湖面寬度BC.

5.如圖28－75－5，東、西兩炮臺A,B相距2000m，它們同時發(fā)現(xiàn)入侵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東40°的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦C與兩炮臺A，B的距離.(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

思路點撥：過點A作AE⊥BC交BC于點E，設(shè)DE＝x，利用等腰直角△ABE用x表示出AE，BE，根據(jù)60°角的三角函數(shù)值列方程求解即可.

6.如圖28－75－7，海中有一個小島A，它的周圍15nmile內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西60°的B處，往東航行20nmile后到達該島南偏西30°的C處后，貨船繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨船在航行途中有沒有觸礁的危險？

第二十八章銳角三角函數(shù)第76課時

解直角三角形的應(yīng)用(三)

60°

知識點一：根據(jù)坡度求坡長或高度鉛直高度水平寬度tanα

B在坡度問題中，常見的幾何模型是梯形，我們一般過上底的兩個端點分別作下底的兩條___