2025年岳麓版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年岳麓版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷498考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn，已知S10=100，則a4+a7=（）

A.12

B.20

C.40

D.100

2、已知向量=（2，-3，5）與向量=（3，k，）平行；則實(shí)數(shù)k為（）

A.

B.-

C.

D.-

3、【題文】某射手一次射擊中，擊中環(huán)、環(huán)、環(huán)的概率分別是則這位射手在一次射擊中不夠環(huán)的概率是()A.B.C.D.4、【題文】一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為48，前2n項(xiàng)和為60，則前3n項(xiàng)和為（）A.63B.108C.75D.835、【題文】已知平面上直線l的方向向量=點(diǎn)O（0，0）和A（1，－2）在l上。

的射影分別是O1和A1，若則λ=（）A.B.－C.2D.－26、已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為5，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為()A.5B.6C.7D.87、已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為則過點(diǎn)P且垂直極軸的直線方程是()A.B.C.D.8、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣3i）=6+4i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.4B.2C.D.19、閱讀如圖所示的程序框，若輸入的n

是100

則輸出的變量S

的值是(

)

A.5051

B.5050

C.5049

D.5048

評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)10、采用系統(tǒng)抽樣從含有8000個(gè)個(gè)體的總體（編號(hào)為0000，0001，，7999）中抽取一個(gè)容量為50的樣本，已知最后一個(gè)入樣編號(hào)是7900，則最前面2個(gè)入樣編號(hào)是____．11、在△ABC中，AB=BC=1，cosC=

（1）則sinA=____；

（2）?=____．12、的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和與項(xiàng)的系數(shù)之差為____.13、【題文】已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任一點(diǎn)，若++=m則實(shí)數(shù)m=____.14、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=﹣1+2i對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是____．評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）17、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）20、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、分別畫一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱臺(tái)．評卷人得分四、解答題(共4題，共12分)22、【題文】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)；以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).

（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)；求出這個(gè)常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.23、【題文】已知其中

（1）求證：與互相垂直；

（2）若與（）的長度相等，求24、已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a

為實(shí)常數(shù))

．

(1)

當(dāng)a=鈭?4

時(shí)；求函數(shù)f(x)

在[1,e]

上的最大值及相應(yīng)的x

值；

(2)

當(dāng)x隆脢[1,e]

時(shí)；討論方程f(x)=0

根的個(gè)數(shù)．

(3)

若a>0

且對任意的x1x2隆脢[1,e]

都有|f(x1)鈭?f(x2)|鈮?|1x1鈭?1x2|

求實(shí)數(shù)a

的取值范圍．25、在直角坐標(biāo)系xOy

中，曲線C1

的參數(shù)方程為{y=2sin偽x=2cos偽(婁脕

為參數(shù))

以原點(diǎn)O

為極點(diǎn)，以x

軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2

的極坐標(biāo)方程為婁脩sin(婁脠+婁脨4)=32

(1)

求曲線C1

的普通方程與曲線C2

的直角坐標(biāo)方程；

(2)

設(shè)P1P2

分別為曲線C1C2

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段P1P2

的最小值．評卷人得分五、計(jì)算題(共3題，共30分)26、如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點(diǎn)，P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PB+PM的最小值．27、1.本小題滿分12分）對于任意的實(shí)數(shù)不等式恒成立,記實(shí)數(shù)的最大值是（1）求的值；（2）解不等式28、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式得：s10=10a1+d=100，即2a1+9d=20；

而a4+a7=a1+3d+a1+6d=2a1+9d=20

故選B

【解析】【答案】要求a4+a7就要得到此等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，而已知S10=100；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式可得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系．代入求出即可．

2、B【分析】

設(shè)則（3，k，）=λ（2；-3，5）

∴λ=k=-

故選：B．

【解析】【答案】根據(jù)兩個(gè)向量平行，寫出向量平行的向量形式的充要條件（）；建立等式關(guān)系，解之即可求出所求．

3、A【分析】【解析】

試題分析：由已知某射手一次射擊中，擊中環(huán)、環(huán)、環(huán)的事件是互斥的，而事件：“這位射手在一次射擊中不夠環(huán)”的對立事件為：“這位射手在一次射擊中環(huán)或10環(huán)”；故所求概率P=1-(0.28+0.24)=0.48.故選A.

考點(diǎn)：互斥事件的概率和公式與對立事件.【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)椋缺葦?shù)列中，依次k項(xiàng)和成等比數(shù)列。即成等比數(shù)列，所以，解得，=63；故選A。

考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)。

點(diǎn)評：簡單題，等比數(shù)列中，依次k項(xiàng)和成等比數(shù)列?！窘馕觥俊敬鸢浮緼5、D【分析】【解析】不妨設(shè)方程為點(diǎn)到直線距離為又則又由位置關(guān)系知

故選D【解析】【答案】D6、C【分析】【解答】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），因?yàn)镻（5，y）到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離，又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為所以P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5+2="7."即點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為7.故選C.7、C【分析】【解答】由點(diǎn)P的坐標(biāo)可知，過點(diǎn)P且垂直極軸的直線方程在直角坐標(biāo)中為即故答案選C

【分析】本題主要考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)極坐標(biāo)的意義互化即可8、B【分析】【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣3i）=6+4i；

可得|z||2﹣3i|=|6+4i|；

即|z|?==2

可得|z|=2．

故選：B．

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求解即可．9、C【分析】解：根據(jù)流程圖所示的順序；

該程序的作用是累加并輸出S=100+99+98++2

隆脽100+99+98++2=5049

故選C．

根據(jù)流程圖所示的順序；逐框分析程序中各變量；各語句的作用可知：該程序的作用是累加并輸出S=100+99+98++2

的值。

根據(jù)流程圖(

或偽代碼)

寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：壟脵

分析流程圖(

或偽代碼)

從流程圖(

或偽代碼)

中既要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)(

如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理)?壟脷

建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型壟脹

解模．【解析】C

二、填空題(共5題，共10分)10、略

【分析】

利用系統(tǒng)抽樣從8000個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體；

因此分段后每一段的人數(shù)是160人；

∴最后一段的第一個(gè)編號(hào)是7999-160+1=7840；

∴最后一段的編號(hào)是7840～7999；

∵最后一個(gè)入樣的編號(hào)為7900；7900-7840+1=61；

故入樣的應(yīng)是每組第61個(gè)數(shù)。

則最前面2個(gè)入樣編號(hào)是0060；0220

故答案為：0060；0220．

【解析】【答案】根據(jù)總?cè)藬?shù)和分的段數(shù)得到分段后每一段的人數(shù)是160人；得到最后一段的第一個(gè)編號(hào)是7999-160+1，寫出最后一組的號(hào)，根據(jù)最后一個(gè)入樣的編號(hào)為7900，則前2個(gè)入樣的第一個(gè)編號(hào)為7900-7840，依次寫出結(jié)果．

11、略

【分析】

（1）在△ABC中，由得

又由正弦定理：得：．

（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cosC得：

即解得b=2或（舍去）；所以AC=2．

所以，=BC?CA?cos（π-C）=

即．

故答案為：（1）（2）-．

【解析】【答案】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系；根據(jù)cosC，求得sinC，進(jìn)而利用正弦定理求得sinA．

（2）先根據(jù)余弦定理求得b，進(jìn)而根據(jù)=BC?CA?cos（π-C）求得答案．

12、略

【分析】【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于的二項(xiàng)展開式中令x=1，得到所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，而含有項(xiàng)的系數(shù)為即為所求，故答案為-190.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式【解析】【答案】-19013、略

【分析】【解析】解：由于G是三角形ABC的重心，則有用向量表示并結(jié)合++=m可知++=3故可得λ=3

故答案為：3【解析】【答案】314、第二象限【分析】【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=﹣1+2i的實(shí)部﹣1＜0；虛部為2＞0，所以復(fù)數(shù)z=﹣1+2i對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是第二象限．故答案為第二象限．

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)進(jìn)行判斷．三、作圖題(共7題，共14分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個(gè)三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個(gè)四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺(tái)都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺(tái)時(shí)，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共12分)22、略

【分析】【解析】

試題分析：(1)尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；正確靈活運(yùn)用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值；（2）掌握一些常規(guī)技巧：“1”的代換，和積互化等，異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊角與特殊角的三角函數(shù)互化；（3）利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡，得到的形式；靈活轉(zhuǎn)化.

試題解析：解：（1）3分。

（2）=5分。

左邊

8分。

考點(diǎn)：(1)三角函數(shù)的求值，（2）證明恒等式.【解析】【答案】(1)

(2)證明見解析23、略

【分析】【解析】

試題分析：解：（1）因?yàn)?分。

4分。

所以與互相垂直。6分。

（2）8分。

9分。

所以10分。

11分。

因?yàn)?/p>

所以

有12分。

因?yàn)楣?3分。

又因?yàn)?/p>

所以14分。

考點(diǎn)：向量的垂直；三角方程。

點(diǎn)評：主要是考查了向量的垂直以及三角方程的求解，屬于基礎(chǔ)題。【解析】【答案】（1）要證明與互相垂直；則只要證明其數(shù)量積為零即可。

（2）24、略

【分析】

(1)

把a(bǔ)=鈭?4

代入函數(shù)解析式；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1,e]

分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1,e]

上的最大值及相應(yīng)的x

值；

(2)

把原函數(shù)f(x)=alnx+x2

求導(dǎo)，分a鈮?0

和a<0

討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a<0

時(shí)；求出函數(shù)f(x)

在[1,e]

上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F(e)

的值的符號(hào)討論在x隆脢[1,e]

時(shí)，方程f(x)=0

根的個(gè)數(shù)；

(3)a>0

判出函數(shù)f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上為增函數(shù)，在規(guī)定x1<x2

后把|f(x1)鈭?f(x2)|鈮?|1x1鈭?1x2|

轉(zhuǎn)化為f(x2)+1x2<f(x1)+1x1

構(gòu)造輔助函數(shù)G(x)=f(x)+1x

由該輔助函數(shù)是減函數(shù)得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0

恒成立，分離a

后利用函數(shù)單調(diào)性求a

的范圍．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．【解析】解：(1)

當(dāng)a=鈭?4

時(shí)；f(x)=鈭?4lnx+x2

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+隆脼)

．

f隆盲(x)=鈭?4x+2x=2(x+2)(x鈭?2)x

．

當(dāng)x隆脢[1,2)

時(shí)；f隆盲(x)0

所以函數(shù)f(x)

在[1,2)

上為減函數(shù)，在(2,e]

上為增函數(shù)；

由f(1)=鈭?4ln1+12=1f(e)=鈭?4lne+e2=e2鈭?4

所以函數(shù)f(x)

在[1,e]

上的最大值為e2鈭?4

相應(yīng)的x

值為e

(2)

由f(x)=alnx+x2

得f隆盲(x)=ax+2x=2x2+ax

．

若a鈮?0

則在[1,e]

上f隆盲(x)>0

函數(shù)f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上為增函數(shù)；

由f(1)=1>0

知；方程f(x)=0

的根的個(gè)數(shù)是0

若a<0

由f隆盲(x)=0

得x=鈭?鈭?a2(

舍)

或x=鈭?a2

．

若鈭?a2鈮?1

即鈭?2鈮?a<0f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上為增函數(shù)；

由f(1)=1>0

知；方程f(x)=0

的根的個(gè)數(shù)是0

若鈭?a2鈮?e

即a鈮?鈭?2e2f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上為減函數(shù)；

由f(1)=1f(e)=alne+e2=e2+a鈮?鈭?e2<0

所以方程f(x)=0

在[1,e]

上有1

個(gè)實(shí)數(shù)根；

若1<鈭?a2<e

即鈭?2e2<a<鈭?2

f(x)

在[1,鈭?a2]

上為減函數(shù)，在[鈭?a2,e]

上為增函數(shù)；

由f(1)=1>0f(e)=e2+a

．

f(x)min=f(鈭?a2)=a2ln(鈭?a2)鈭?a2=a2[ln(鈭?a2)鈭?1]

．

當(dāng)鈭?a2<e

即鈭?2e<a<鈭?2

時(shí)，f(鈭?a2)>0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的個(gè)數(shù)是0

．

當(dāng)a=鈭?2e

時(shí)；方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的個(gè)數(shù)是1

．

當(dāng)鈭?e2鈮?a<鈭?2e

時(shí)，f(鈭?a2)<0f(e)=a+e2鈮?0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的個(gè)數(shù)是2

．

當(dāng)鈭?2e2<a<鈭?e2

時(shí)，f(鈭?a2)<0f(e)=a+e2<0

方程f(x)=0

在[1,e]

上的根的個(gè)數(shù)是1

(3)

若a>0

由(2)

知函數(shù)f(x)=alnx+x2

在[1,e]

上為增函數(shù)；

不妨設(shè)x1<x2

則|f(x1)鈭?f(x2)|鈮?|1x1鈭?1x2|

變?yōu)閒(x2)+1x2<f(x1)+1x1

由此說明函數(shù)G(x)=f(x)+1x

在[1,e]

單調(diào)遞減，所以G隆盲(x)=ax+2x鈭?1x2鈮?0

對x隆脢[1,e]

恒成立，即a鈮?鈭?2x2+1x

對x隆脢[1,e]

恒成立；

而鈭?2x2+1x

在[1,e]

單調(diào)遞減，所以a鈮?鈭?2e2+1e

．

所以，滿足a>0

且對任意的x1x2隆脢[1,e]

都有|f(x1)鈭?f(x2)|鈮?|1x1鈭?1x2|

成立的實(shí)數(shù)a

的取值范圍不存在．25、略

【分析】

(1)

用xy

表示出cos婁脕sin婁脕

根據(jù)cos2婁脕+sin2婁脕=1

得出曲線C1

的普通方程，利用和角公式將婁脩sin(婁脠+婁脨4)=32

展開；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出曲線C2

的直角坐標(biāo)方程；

(2)

求出P1

到直線C2

的距離d

利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出d

的最小值即線段P