2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的概念及其表示試卷

3.1函數(shù)的概念及其表示（精講）一．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．函數(shù)的三要素1.定義域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；2.值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．3.解析式三．函數(shù)的表示法常用方法有解析法、圖象法和列表法四．相等函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等．五．分段函數(shù)1.若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．2.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．函數(shù)概念的理解(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B(niǎo)中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素．(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．二．常見(jiàn)函數(shù)定義域的類(lèi)型1.分式型：eq\f(1,f（x）)要滿(mǎn)足f(x)≠0（分式中分母不為零）2.根式型：開(kāi)偶次方根時(shí)，被開(kāi)方數(shù)大于等于0即eq\r(2n,f（x）)(n∈N*)要滿(mǎn)足f(x)≥0；3.冪函數(shù)型：[f(x)]0要滿(mǎn)足f(x)≠0；4.對(duì)數(shù)型：logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿(mǎn)足f(x)>0；5.正切型：tan[f(x)]要滿(mǎn)足f(x)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．注意事項(xiàng)：①不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化；②定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．二．抽象函數(shù)的定義域的求法（對(duì)應(yīng)法則不變，括號(hào)內(nèi)等范圍）1.若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出；2.若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．三．函數(shù)解析式的求法1.配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．2.待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．3.換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．4.解方程組：已知關(guān)于f(x)與f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)．四．值域1.分離常數(shù)法：分子分母同類(lèi)型函數(shù)（形如y=）或分子分母最高次是二次關(guān)系（形如）(至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法.①→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型②→分離常數(shù)→模型③→同時(shí)除以分子：→②的模型④→分離常數(shù)→③的模型共同點(diǎn)：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)2.配方法：形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍3.不等式法4.單調(diào)性法：若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值.5.換元法①：此類(lèi)問(wèn)題通常以指對(duì)，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍.②：此類(lèi)函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可.=3\*GB3③形如型,可用此法求其值域.6.數(shù)形結(jié)合法：即作出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.7.導(dǎo)數(shù)法．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域五．分段函數(shù)1.求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f[f(a)]的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2.求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．3.求參數(shù)或自變量的值：先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(lái)(取并集)即可．考法一函數(shù)的概念【例1-1】（2023廣東湛江）下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．某十字路口通過(guò)汽車(chē)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系B．家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系C．高速公路上行駛的汽車(chē)所行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系D．某同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系【答案】C【解析】對(duì)于A，某十字路口通過(guò)汽車(chē)的數(shù)量與時(shí)間沒(méi)有確定的關(guān)系，與其它自然因素也有關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間沒(méi)有確定的關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，高速公路上行駛的汽車(chē)所行駛的路程與時(shí)間這兩個(gè)變量存在依賴(lài)關(guān)系，且對(duì)于每一個(gè)時(shí)間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時(shí)間是自變量，路程是因變量，故C正確；對(duì)于D，同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)沒(méi)有必然的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：C【例1-2】（2023安徽）下列各圖中，不可能是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，任意對(duì)應(yīng)兩個(gè)，顯然C錯(cuò)誤.故選：C.【一隅三反】1．（2022·上海）下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤；C：顯然任意都有唯一y值與之對(duì)應(yīng)，滿(mǎn)足函數(shù)的定義，故正確；D：當(dāng)時(shí)，不符合函數(shù)的定義，故錯(cuò)誤．故選：C2．（2022北京）（多選）下列圖象中，能表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)ABC，當(dāng)取一個(gè)值時(shí)，有唯一值與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)定義，故ABC正確；D選項(xiàng)，當(dāng)取一個(gè)值時(shí)，有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故D錯(cuò)誤.故選：ABC3．（2023·廣東深圳）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)只有一個(gè)和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.考法二函數(shù)的定義域【例2-1】（1）（2023·河北）函數(shù)的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·上海）函數(shù)的定義域是__．【答案】（1）D（2）【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，∴函數(shù)的定義域是故選：D.（2）由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【例2-2】（1）（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·江西）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1）函數(shù)的定義域是，由，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：B（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，所，則，所以的定義域?yàn)椋畡t函數(shù)的定義域，需滿(mǎn)足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：A.【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的取值范圍是_______．（2）（2022秋·海南）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的范圍是__________.（3）（2023·河南）當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，可知，解得，故答案為：.（2）由已知可得，不等式在上恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式可化為在上恒成立，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，要使不等式在上恒成立，應(yīng)有，解得.綜上所述，的范圍是.故答案為：.（3）由題意知，當(dāng)時(shí)，不等式組成立.對(duì)于，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則，解得；對(duì)于，整理得，由于在上的最小值為2，所以，解得.綜上可得.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·河北）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，在中，，解得：或，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B.2．（2022秋·四川）已知定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以，的定義域?yàn)樾铦M(mǎn)足，解得.所以，的定義域?yàn)?故選：A3．（2023·陜西）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，解得，所以的定義域?yàn)?令，則，所以的定義域?yàn)?故選：D4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則有，解得或.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.5．（2023·河北）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】的定義域滿(mǎn)足：，解集為，故且，解得.故答案為：6.（2023·吉林）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，即恒成立，?dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上可得的取值范圍是.故答案為：.7．（2023·黑龍江）“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以對(duì)任意恒成立.i.時(shí)，對(duì)任意恒成立；ii.時(shí)，只需，解得：；所以.記集合,.因?yàn)锳B,所以“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的充分不必要條件.故選：B.考法三函數(shù)的解析式【例3】（2023·廣東潮州）（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求_____．（2）已知，則（3）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，且時(shí)均有，則=（4）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（5）已知，則__________.【答案】（1）（2）（3）（4）（5），【解析】（1）因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，設(shè)，因?yàn)?，所以，整理可得，所以，可得，所以，故答案為?（2）令，則，；所以.故選：D.（3）根據(jù)題意，函數(shù)在定義域上單調(diào)，且時(shí)均有，則為常數(shù)，設(shè)，則，則有，解可得，則（4）令為，則，與聯(lián)立可解得，．（5）又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，則，所以所以故答案為：，【一隅三反】1．（2023云南）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)，有，則____.【答案】【解析】根據(jù)題意，對(duì)，有又是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)R上存在常數(shù)a使得，，解得故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知f(x－)＝x2＋，則f（x+）＝________.【答案】【解析】因?yàn)閒(x－)＝x2＋，所以，所以f（x+），故答案為：3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)若，則_________.【答案】【解析】令，，，4．（2023新疆）已知，則=_____.【答案】或【解析】，或．故答案為：或．5．（2023·北京）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿(mǎn)足，求的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)(4)【解析】(1)設(shè)，，則∵∴，即，(2)∵由勾型函數(shù)的性質(zhì)可得，其值域?yàn)樗?3)由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①∴將x用替換，得，②由①②解得f(x)=3x.考法四函數(shù)的值域【例4】（1）（2023·上海）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________（2）（2023·云南）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___________（3）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________（4）（2023北京）函數(shù)的值域?yàn)椋?）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____（6）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y＝3－4的最小值為【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）－8【解析】（1）為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?故答案為：.（2）設(shè),則,所以原函數(shù)可化為:,由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值,由性質(zhì)可知函數(shù)無(wú)最小值.所以值域?yàn)?.故答案為:.（3），，，，即的值域?yàn)?故答案為：.（4）設(shè)題中函數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，視其為關(guān)于x的二次方程，判別式，綜上，故值域?yàn)椋?）表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：過(guò)作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，即的值域?yàn)?故答案為：.（6）由解得－2≤x≤2，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇－2，2].因?yàn)?，故可設(shè)，則，（其中有）.因?yàn)?，所?所以當(dāng)θ＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8.【一隅三反】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.【解析】（1）分式函數(shù)，定義域?yàn)?，故，所有，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，分母，則，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，令得，易見(jiàn)函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時(shí)是遞減的，故時(shí)，故值域?yàn)?；?），故值域?yàn)榍?；?），而，，，，即，故值域?yàn)?；?）函數(shù)，定義域?yàn)?，令，所以，所以，?duì)稱(chēng)軸方程為，所以時(shí)，函數(shù)，故值域?yàn)?；?）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，故，即值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)?，故，所有，故值域?yàn)椋唬?0）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時(shí)，，故值域?yàn)?考法五判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等【例5】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以定義域相同.又對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以為同一個(gè)函數(shù).故C正確；對(duì)于D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故D錯(cuò)誤；故選：C【一隅三反】1．（2023·上海）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)于A，與定義域均為，，與為相等函數(shù)，A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.2．（2023·江西）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A，由函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)?，則不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由函數(shù)的定義域?yàn)?，且的定義域?yàn)?，則是同一函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，由函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)?，則不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．（2023·內(nèi)蒙古）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)和的對(duì)應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)與的定義域都是，且對(duì)應(yīng)法則相同，所以是同一函數(shù).故選：D.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋赃@兩個(gè)函數(shù)的定