甘肅省蘭州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期建檔模擬考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

甘肅省蘭州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期建檔模擬考試數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù).【詳解】因為，則.故選：A.2.已知所在平面內(nèi)一點，滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由已知條件結(jié)合平面向量的加法可得出關(guān)于、的表達式.【詳解】因為，即，即，解得，故選：B.3.（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和倍角公式，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.【詳解】由.故選：A．4.已知符號函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先得到為偶函數(shù)，排除AB，再計算出，得到正確答案.【詳解】定義域R，且為奇函數(shù)，故，故的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，AB錯誤；當(dāng)時，，C錯誤，D正確.故選：D5.已知直線與曲線相切，則的方程不可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】求出根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，分別解以及，得出切點坐標(biāo)，代入點斜式方程求解，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在點處的切線的斜率.對于A、B項，由可得，，解得.當(dāng)時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故B項正確.當(dāng)時，切點為，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故A項正確；對于C、D項，由可得，，解得，切點，此時切線方程為，整理可得，切線方程為，故C項正確，D項錯誤.故選：D6.為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（）A.48種 B.36種 C.24種 D.12種．【正確答案】A【分析】滿足條件的涂色方案可分為區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，分類加法計數(shù)原理求解即可【詳解】滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，第二類，區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域有種方法，第二步，擺放區(qū)域有3種方法，第三步，擺放區(qū)域有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有種方案，根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有種，故選：A.7.直線與直線相交于點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出直線、所過定點的坐標(biāo)，分析可知，即，求出點的軌跡方程，分析可知，設(shè)，可知直線與曲線有公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】直線方程可化為，由可得，對于直線，由可得，所以，直線過定點，直線過定點，又因為，則，即，則，，所以，，所以，，當(dāng)，，點不在直線上，所以，點的軌跡是曲線，設(shè)可得，由題意可知，直線與曲線有公共點，且圓的圓心為原點，半徑為，所以，，解得，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.因此，的取值范圍是.故選：B.8.設(shè)方程的兩根為，，則（）A.， B.C. D.【正確答案】C【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點的判定方法可確定出，即可判斷AD，計算出，可判斷BC.【詳解】由可得，在同一直角坐標(biāo)系中同時畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：因為，，由圖象可知，，所以故A，D錯誤；，因為，所以，所以，所以，即，故B錯誤，C正確.故選：C二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)a、b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】BCD【分析】利用空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，分別判斷即可.【詳解】對于選項A，因為，所以或與相交或與異面，故選項A錯誤；對于選項B，因為，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，所以，故選項B正確；對于選項C，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，又，所以，又，，所以，故選項C正確；對于選項D，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，因為，所以直線與內(nèi)的某條直線平行，所以，因為，，所以，故選項D正確.故選：BCD.10.已知第一組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；第二組樣本數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．若滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】利用極差的定義可判斷A選項；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項；利用平均數(shù)公式可判斷C選項；利用方差公式可判斷D選項.【詳解】解：因為，對于A，設(shè)在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，則在數(shù)據(jù)中最大，最小，則，故A錯誤；對于B，因為樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時，，又因為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確；對于C，因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，即，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對于D，因為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，，所以，故D錯誤.故選：BC.11.拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則（）A.若，則直線的斜率為或B.若，則C.若和不平行，則D.若，則的最大值為【正確答案】ABD【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可判斷A選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷B選項；利用三角形三邊關(guān)系可判斷C選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷D選項.【詳解】易知拋物線的焦點為，對于A選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，因為，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達定理可得，，因為，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時，直線的斜率為，A對；對于B選項，當(dāng)時，則在直線上，Mx1+x則，B對；對于C選項，當(dāng)和不平行時，則、、三點不共線，所以，，C錯；對于D選項，設(shè)，，當(dāng)時，，由C選項可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，D對.故選：ABD.方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐的高為，其頂點和底面圓周都在直徑為的球面上，則圓錐的體積為______.【正確答案】【分析】求出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的體積公式可求得該圓錐的體積.【詳解】取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)圓錐的外接球為球，易知，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此，該圓錐的體積為.故答案為.13.已知向量不共線，，若，則___________.【正確答案】【分析】借助平面向量共線定理與平面向量基本定理計算即可得.【詳解】由，不共線，故存在實數(shù)，使，即有，即有，解得.故答案為.14.某廠家為了保證防寒服的質(zhì)量，從生產(chǎn)的保暖絮片中隨機抽取多組，得到每組纖維長度（單位：）的均值，并制成如下所示的頻率分布直方圖，由此估計其纖維長度均值的分位數(shù)是___________.【正確答案】36【分析】計算前6個以及前面7個矩形面積之和，確定纖維長度均值的分位數(shù)位于第7組內(nèi)，根據(jù)分位數(shù)的含義，列式計算，即得答案.【詳解】由頻率分布直方圖可得從左到右前6個矩形面積之和為：，前7個矩形面積之和為，故纖維長度均值的分位數(shù)位于第7組內(nèi)，設(shè)纖維長度均值的分位數(shù)為x，則，解得，即估計其纖維長度均值的分位數(shù)是36，故36四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出的表達式，根據(jù)為銳角三角形確定B的范圍，求出三角形周長的表達式并化簡，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知中，，即，即，故，而；【小問2詳解】由（1）知，而，故由正弦定理得，則，由為銳角三角形，則，則，故的周長，而，故，故的周長的取值范圍為.16.土壤食物網(wǎng)對有機質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，有機質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機質(zhì)存貯和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號12345678細(xì)菌百萬個708090100110120130140真菌百萬個8.010.012.515.017.521.027.039.0其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．（1）求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（2）在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細(xì)菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，【正確答案】（1）（2）分布列見解析，2【分析】（1）令，將指數(shù)型回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法的估計系數(shù)公式，即可求得答案；（2）確定真菌與細(xì)菌的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由于，故，令，則，，則，，故，則關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為；【小問2詳解】由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬個）與細(xì)菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比依次為：，，故樣本中比值位于內(nèi)的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，則,，故X的分布列為：X01234P則.17.如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點到達點的位置，點在平面的射影落在邊上.（1）求的長度；（2）若是邊上的一個動點，是否存在點，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）1（2）【分析】（1）利用投影性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得，再利用三角形相似可求得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，并根據(jù)坐標(biāo)分別求得平面與平面的法向量，由兩平面夾角的余弦值列方程解得，可得.【小問1詳解】作，垂足為，連接，如下圖所示：由點在平面的射影落在邊上可得平面，又平面，所以，因為，且平面，所以平面，又平面，所以，又因為為矩形，，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的長度為1.【小問2詳解】根據(jù)題意，以點為坐標(biāo)原點，以過點且平行于的直線為軸，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，并設(shè)，可得，所以；易知，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，解得，取，則，即，設(shè)平面的一個法向量為，所以，解得，取，則，即，因此可得，整理可得，解得（舍）或；因此，即可得.所以的長度為.18.已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2，由平面向量的坐標(biāo)運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可得出【小問1詳解】解：在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Ax1,y1聯(lián)立可得，因直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是.【小問2詳解】解：因為，，由可得，則，當(dāng)直線與軸重合時，則點、，，，此時，，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達定理可得，則，，即，解得，則，所以，.方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法（1）函數(shù)法：用其他變量作為參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)