高考數學《數學歸納法》寒假綜合復習練習題（含答案）

高考數學《數學仃納法》寒假綜合復習練習題《含答案)

一、單選趣

1.用數學歸納法證明1.2+3?…+獻=把學■時，由“=上到”=A7.左邊需要停加的

項數為(>

A.1B.XC,P0,U+I

2.用教學H陋法證明不笄式，1+：+:+…為正鎏數.”>1)時.第比N

232-I

軟讓不等式()

3.用數學納法證明：J2+3++”：?勺匚weN',當時,左戰(zhàn)應在加”的

麻礎上加t()

A.(Jt+l)，B,(42+1)-?(*?+2)????+(fc：+fc+l)

C.伊+l)“/+2)4…XA/iyD.，叫

4.用數學白納法證明：2+4,6+8+?+2?=21+23(“7?)的過門中，由“0通推到

〃?2+1時等式左邊埴加的項斂為()

A.1B.24-*C.2，0.2'+1

5.利用數學歸納次證明等式：1/?+2(/1-1>+3.(/?-2)+-47.I=l?<n+l>(W4-2)(fleN).

當q=A時.左功的和14+2&-1)+3&-2H??+&」記作S,.則當“=kl時左邊的和記

作號…則$“「$=<)

A.1+213+*“+'(±-2)B.I+2+3+?”*(&—1)

C.1+2+34?…+AD.1+2+3+…+陵+1)

6.用數學歸納法證明”2,31陽211問”1)(2e1)時.從“心稅到)”，「左邊力增添的代

敷式足()

A.<2k")“M，2>8.(2Jt-lppk*l)

C.[2k+2MMT)D,(俄+2)“”X)

7.用數學門納法證明不等式-1+—1+—1+,?+丁二>當〃￡叫時，從F=%到

n+lra+2〃+33“+114'

左邊益增加的代數人為（）

IDIII

3h43八2女4334

c111I12

3八23L+43A+3然+2#十4然十3

8.已知“是關于正整敏”的ear現(xiàn)在小杰為r沽明謨命題.已經證明了翁題〃1hr（2）.

/X3）均成芷.井后住窗的LGNHATWI.在假設，（*）成。的解提卜,證明「/僅+M成立.

具中川為某個向定的整數.匕要用上述證明說明“叫對一切”V、旦”21均成。,則州的雄

大值為（）

A.1B.2C.3D.不存在

9.用數學打納法證明，，"1）5+4…（”4"）=2'4-3…（力】-1卜“EM”.設

/(")=(n+l)(n+2)-,(〃?”).從“=4到〃=*[時，：；？=（

，S）

A.2i*lB.2（2*4-!）

”?12k^2

C.-------D.--------

*+lk+1

10.對f?不等式"BTi<〃+l（〃e、7梁同學用數學白抽法近明的過門如下：

①當”=1時.VPT77T<i+i.不等式成立；

②假設當〃=M&GN）時，不等式成、九即而*

則當…+1時,

J（上川&上41）41-7V+3A434-J（4+2）s=（《“）+].

故當〃=《+1時.不等式成立.

期卜列說法1E確的是（）

A.過程全部正確B.當”?1時的臉證不正的

C.當〃=4時的歸納?設不正南D.從"=止到”=八1的推理不正確

U.我門學習r數學白納法的用關知識.知道數學口納法可以用來證明。止笫數”相關的命

理.下列：.個證明方法中.可以證明某個命題?切正整數“和成比的是（）

①0（1）成立，且對任延正小數h時，"，）均成立"可以推出""A+I）成立“

②「⑴.『（2）均成立,且對任意正整數為“『"）成立F以推出““R+2）成立“

③p(2)成立,且前任意正擅敷上22.1，(&)成立“可以推出，p(U)成立II，伏7)成立“

A.②③B.①③C.①②D.①②③

12.數列｛4｝洞足則以下說法正硼的個數()

①0<L

②a；+v4：

③時任意正數人，都存在正整改他使得一一+J-Si-LjT)一>/，成立

1-a,I-a,1-a,1一4

A.1B.2C.3D.4

二、填空建

13.已知丁=/(〃)(weN.721)的表達式/(〃)=-^+—+…+3<neN.”NI).

〃+1N+22n

那么/(大十1卜/仕)=.

14.ILx*O.用豉學歸雄法證明命Hh?節(jié)”wZN〃>l時.(14"第

一步應驗證的不等式為

15.記/SM1+2+3++(即一1)+和,住用數學歸納法證明對于任老正整數”，/(〃))&?]

的過程中，從”及到〃=?+1%不等式左邊的/(h1)比/㈣增加了吭

16.用數學歸納法讓明券式『+2'…"”?1『+/+(”-始4-2；+『=工竽1時.第3)

心隊”“到〃=A+1時等式加也成漆仙的頂是

三、解答題

17.已知數列㈤｝的前列項和，吟-7,且4Ao.ncN..

⑴求見.對Mi；

⑶鑄想w.｝的通項公式.并HI數學歸納法證明.

18.設數列｛aj滿足碼=3.

仕川算猜想｛&｝的通項公式；

（2）川數學心納法讓潮上述猜想,并求｛q｝的“項和S..

19,已知數列｛4｝中，羯=：,%=（“+；］.?

①求樂.tfj.at.。，的（ft：

⑶根據（1）的計算結果，篇也｛4｝的刻項公式?并用數學心綃法證明.

I3。

20.在數列｛%｝中.?.5,"775

（1）求出生,%并猜想勺的通項公式;

Q）用藏學歸炳方1￡明你的裁想.

21.己卻數列｛/｝的前〃頂和為工,其中%=I）114■X"三區(qū)）

①試求；，k5的值，并騎出數列MJ的通項公式4；

⑶用數學歸納法加以證明.

22.已知數列｛??）中,q■1.K前“項和為$?,當，Q2時.4=1-5-2.

⑴il算$”S,.1，S|：

（2｝依犯《1）的計算結果，情患$■的發(fā)達式，并用數學歸腦法加以證明.

23.已知數列｛“二滿足自-I..

⑴寫出數列｛4｝的前四項；

⑵判斷數列｛(外)；］的單調性：

⑶求演，2”$l

24.已知無窮數列｛q｝滿足"?—?”￡N)其中“、1均為非負實數fl不同時為D.

(1)｝';tf=1?v-3.11?；?y.求q的值$

JJ

⑵若/■】,Mv-C.;RtkJiJ｛a.)的前”項和S.：

網若％=3,y=|,求證：當UV時，數列伊力是單調遞誠數列.

叁考答案

1.D2.C3.C4.BS.D6.C7.08.C9.BIO.Dll.D12.0

13-(201)(2氏+2)gN41)

14.(I-*A)1>l+lr

IS.3

16.2?。24+1

17.(l)賦值法進行求解:(2)猜想q?點H-右二7.用政學歸納法進彳ji「川

⑴

今“7得：a\--^■+--1.

2<A

因為a”>0.M€N..

令"=2用：<+/+工?1.即

2a.

\/3-l+a,=^=-+--1

*2a2

脾仰：魚=眄-8?

CIQ1

令〃=—+1.

2%

即73-I+7S-V3+C?5=^+---1,

2c,

到得：叫="—石

(2)

iHB{4}的地項公式為4-歷7T-標工,證明如下：

當”=|時.?j=7s-i.成立.

儀設〃=#時，q=叵11-J汨Z成寸.，

!>JSA=al+?,++%=67+6-++J2K+I-J"-l=J"+l-1

則5?4+1時，S“「誓?工7,

2?r.i

即L

y-^+~—?.Sm4alM?^_+―!—?(

24“2aJU

q行：叫.產也+3-J"X=J2(1+I)+I-J2a+I)-I.

綜匕：an—>j2n+1-\)2rr-1{,}4.笆的nGN,都成G.

18.(1)

:4}滿足JTa“-3.

Willa,=3?!-4xl=3x5-4=5.

a,=3?.-4x2=3x5-8=7.

出此可附Tq一?〃+l

(2)

證明:①當“=l時，H然成工

②,設時.成J,即q=24?I.則

-3(2*4ll-4k

=X+3

-2(Jt4l)+l,

所以/I/I時也成立r

粽合①②可抖生=2"I.

因為-2(ra*IHI-<2n-+l)?2.

所以數歹J；?；」3為首項,2為公龍的等差名列.

WJIU5,-no,-3/i-frn(/i-l)=n?+2n

19.(U

因為4=1所以一上咚

因為的=，所以/=2

334

因為％=：.所以《=1=工.

445

人為《=g，所以％=或=工，

⑶

根據(1)的計算/果,猜理數列SJ的通項公式為4=島.

證明如下:①小“=】時，等式成立.

②般設當“=A時，4一六或立.

_A_A_**_l__hl

當”=*/1時，4,1(A+2)a(上?2)kk+2A-tl+1-

'TH

則。=H1時,方式成立.

由①②可知，對任意的“￡、一

IM

20.I?：ID*.

3x3

3ali33o,*13

'4+32+374”33+J8

27

因此可靦?！缚?i

⑶當”=1時?q=g?等式成工

3

優(yōu)及；i=A時.等式成即4=三

fc43

則。〃二川時,《.1三言=7j^三京=iT^Tj

八5'

即當1+1時,笠式也成立.

綜k所述.對仃遇向然E(”eM.a.?-^-.

zr-5

21.⑴國為一舟1)小「劍￡“.

所以吁2(22-1/戔41m"：$?

」+a-a,.*,

因為4-3(2*3-1)-15?

斯以140?=0,+/=：+￡、源片%=2.

倩祗V(2，，it")

(2)①當”-1時.q?；H式成立：

②嵌設當”=?時猜想成%即%

?(2A_］；24；1)

那么.當"?由尊設”「舟'「凝知?%廣而汾刑.

研W2J)/L“2I)還麻而=白.工嚴(7)("川".

!1.《，尸S,“-Si++.

+I

因此?4(X+3)4.,=志，

I_________1_________

所以《“=(2**1)(2*+3)=[2(jt+l)-l][2(*+l)+l]

minJf-m=k4-1inAa'

由①②可知：命題對任何”wZ4成,工

22.(1)由題意得：5,-<r,-1,

n>2H1+■■2.得嗎■-2.-r-2-J-.SJ-J.

S?S335,4

同理%=s?+=3=2_5,S3=：,

同理%=S,=：=2—=7；

，Ja4o

教s.s,.$.的值依次為1m

23456

<2)由《D的結果，可精思&?空.

，出2

證明：@l/?=lEt,、=，.故此時邑=號成立：

X-4-1

②,設“=JUeNW,成立，

則當”=4+l時./.廣九戶^--2.￡.i-見.i=2一

4*1,IckC(Jt4-1)41

8ln|11^=2-^；-5*"=173=^72-

故"in=4+J時，5.=2?也成立，

”+2

綜合①②,當“eV比$??二.

n^2

23.(1)閃為故列｛q｝市足￡=1.%,?%+/

??.?<,?5J29

所以%=4+￡=l+j=2,巧f+I?2石?箱％一?a^~2?~To.

1*2

(2)因為所以(“>4",所以

所以數叼｛(〃“)：｝為嚴格地效列.

(3)用數學歸納法證明：

當”=|附.行幣=然成;/：

假設〃=々時.命題成二,即J2&+1<d.,〈歷+1.

JJ丁加?攵+1時,只需證明辰0VA.?《辰比+11

九丁明左邊辰75<加卜

?。,.，+」-幽女的增大而如火，所以?%+=->也+1+1=?.

只需證J5T7T+短片>師5,兩邊y/得：24+I+*+2>a+3,化他得:

—■>0.!u*然成匕

2RM

西證九邊q“?」一V?I.

%si

I〃川+」一隨*的增大而除大,所以4,尸」一<"+l+d~;

只禽?瓜+1-—<J2A+2+I.

河邊平方用化簡用：(辰+1)'+1〈(癡。+1卜(原+1卜

展開,*理得：2*+1+VH<42k4-2-757+V2*+2,

再平方.左邊=4代+|+必+歌+2(2*+1)辰=4/+佻+2("+1)叵一】,

6邊=4-+4*+2A-*2*2(2**2)J2*=44，f2(2￡+2)疝+2.

所以左邊〈右邊.

給上所述：原命題成，.即2/l<(a,J<(扃+『

24.⑴斛，當"4v=3W.則6“吟十'("*).

因為也??，則??』?丹，可抖《-1叫+9?0,解。。嚴1或9,

(2)

髀：分以下幾種情況H1論：

①當“皿/時，明?：，則Q'=E?V”，

Li?為奇數

=—=?',所以，/

'.'0,-1.上“為偶故.

明后為偶數時