安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥五中命題教師：錢勇審題教師：費薇薇一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確答案，請把正確答案涂在答題卡上）1.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A. B.3 C. D.3.我國北宋時期科技史上杰作《夢溪筆談》收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓O的半徑為2，利用上述公式，計算該扇形弧長的近似值為（）A. B. C. D.4.已知，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（）A.增函數(shù)且有最大值 B.增函數(shù)且有最小值C.減函數(shù)且有最大值 D.減函數(shù)且有最小值7.如圖所示，在直三棱柱中，棱柱側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A B.2 C. D.8.在中，分別根據(jù)甲、乙、丙、丁四個條件判斷三角形的形狀，甲:；乙:；丙:；丁:．判斷結(jié)果與其它三個不一樣的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.不透明口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2張卡片不全為紅色 B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片都為綠色10.已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3，5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說法正確的是（）A.這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等B.這兩組數(shù)據(jù)的極差相等C.這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個最大值和一個最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變D.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散11.在中，點分別是AB上的等分點，其中，則（）A B.C. D.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有居民20000戶，從中隨機抽取200戶調(diào)查是否安裝寬帶網(wǎng)線，調(diào)查結(jié)果如表所示，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)已安裝寬帶網(wǎng)線的居民大約有________戶．網(wǎng)線動遷戶原住戶已安裝6530未安裝406513.若，，且，則的最小值為________．14.如圖，在矩形中，已知，是的中點，將△沿直線翻折成△，連接.若當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，三棱錐外接球的體積為，則________．四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知，求:（1）的值;（2）與的夾角．16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）請選擇①和②中的一個條件，補全下面的問題并求解，其中①有解；②恒成立．問題：若當(dāng)時，關(guān)于的不等式________，求實數(shù)的取值范圍．17.已知n是一個三位正整數(shù)，若n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）現(xiàn)要從甲乙兩名同學(xué)中，選出一個參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽.（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來.（2）這種選取規(guī)則對甲乙兩名學(xué)生公平嗎？并說明理由.18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，平面平面．（1）若的中點為，求證：平面；（2）求二面角的正弦值．19.個有次序的實數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，稱為維信號向量．設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且．（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．（2）證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．合肥市普通高中六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥五中命題教師：錢勇審題教師：費薇薇一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個正確答案，請把正確答案涂在答題卡上）1.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】由得，，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.2.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【詳解】,,故選D.3.我國北宋時期科技史上的杰作《夢溪筆談》收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓O的半徑為2，利用上述公式，計算該扇形弧長的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式可得圓心角大小，進而根據(jù)弧長的近似計算公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為α，由扇形面積公式可知，所以，如圖，取的中點C，連接OC，交AB于點D，則．易知，則，所以，，，所以扇形弧長的近似值為．故選:C4.已知，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式求出的關(guān)系，進而可得出答案.【詳解】設(shè)，則，又因為，所以，化簡得，所以.故選：A.5.已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，進而利用投影向量的定義求解即可.【詳解】因為是的外接圓圓心，，所以由平行四邊形法則可得為的中點，為圓的直徑，因為，所以為等邊三角形，，所以向量在向量上的投影向量為，故選：A6.若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（）A.增函數(shù)且有最大值 B.增函數(shù)且有最小值C減函數(shù)且有最大值 D.減函數(shù)且有最小值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)直接得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值5，所以，又為奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最大值.故選：A7.如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點的新位置為，連接，再根據(jù)兩點之間線段最短，結(jié)合勾股定理余弦定理等求解即可.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點的新位置為，連接，則有，如圖，當(dāng)三點共線時，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：，因為，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故選：D.8.在中，分別根據(jù)甲、乙、丙、丁四個條件判斷三角形的形狀，甲:；乙:；丙:；丁:．判斷結(jié)果與其它三個不一樣的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，結(jié)合二倍角公式判斷甲、乙，利用正弦定理將邊化角，再由兩角差的正弦公式判斷丙，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式判斷丁.【詳解】對于甲:，由正弦定理可得，即，又，所以或，即或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形且；對于乙:，由正弦定理可得，所以，又，所以，，所以，即，又，所以或，即或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形且；對于丙:，由正弦定理可得，所以，又且，所以，所以，即，所以為等腰三角形；對于丁:，由正弦定理可得，所以，即，所以，即，所以或，又且，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形且.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式一一計算.二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2張卡片不全為紅色 B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片都為綠色【答案】BD【解析】【分析】本題先寫出所有情況：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，再根據(jù)選項選擇互斥而不對立的事件即可.【詳解】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張都為紅色”互斥而非對立“2張恰有一張紅色”“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥，“2張不全為紅色”是對立事件．故選：BD.【點睛】本題考查互斥事件、對立事件，是基礎(chǔ)題.10.已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3，5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說法正確的是（）A.這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等B.這兩組數(shù)據(jù)的極差相等C.這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個最大值和一個最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變D.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第80百分位數(shù)、極差、平均數(shù)、方差的意義依次判斷ABCD即得.【詳解】對于A，由，得甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為7，由，乙組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為8，A錯誤；對于B，甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的極差均為為8，B正確；對于C，甲組數(shù)據(jù)去掉前后均值分別為；乙組數(shù)據(jù)去掉前后的均值分別為5，5，C正確；對于D，甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，顯然，因此乙組數(shù)據(jù)較分散，D錯誤.故選：BC11.在中，點分別是AB上的等分點，其中，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】本題重點是研究線段的等分點，A選項是兩向量與同一條向量的數(shù)量積，易聯(lián)想到這兩向量在同一條向量上的投影向量的大小，結(jié)合圖形，易判斷A是錯誤的，再利用中線向量的性質(zhì)可判斷是正確的，C選項中通過向量的加法運算和共線運算，發(fā)現(xiàn)共線向量的比例明顯有錯誤，而D選項，依次利用同一條向量在兩個三角形中的加法法則可得，，，相加得，再利用累加法可計算得到結(jié)果是正確.【詳解】選項A：，，由圖易知，兩向量在上的投影向量的大小是，所以A是錯誤的.選項B：由于是的中點，所以有，即B是正確的．選項C：，所以C是錯誤.選項D：因為，，所以，，，所以，，，，所以，即由上面?zhèn)€等式相加得：，所以，所以D是正確的.故選：BD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有居民20000戶，從中隨機抽取200戶調(diào)查是否安裝寬帶網(wǎng)線，調(diào)查結(jié)果如表所示，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)已安裝寬帶網(wǎng)線的居民大約有________戶．網(wǎng)線動遷戶原住戶已安裝6530未安裝4065【答案】9500【解析】【分析】根據(jù)圖標(biāo)提供的數(shù)據(jù)算出200戶居民中安裝寬帶網(wǎng)線的頻率，用總住戶乘以頻率即可.【詳解】（戶）．故答案為：9500.13.若，，且，則的最小值為________．【答案】6【解析】【分析】由題意可得，利用基本不等式計算可得，即，即可求解.【詳解】由，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.則，故，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為6.故答案為：614.如圖，在矩形中，已知，是的中點，將△沿直線翻折成△，連接.若當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，三棱錐外接球的體積為，則________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)高最大時，體積最大，高最大為，球心在平面的投影為中點，根據(jù)勾股定理解得，代入體積公式計算得到答案.【詳解】三棱錐的底面積為定值，故當(dāng)高最大值，體積最大，易知△為等腰直角三角形，取中點為，連接，故，當(dāng)平面平面時，高最大為，易知△為等腰直角三角形，球心在平面的投影為中點，且△的外接圓半徑為，設(shè)，故與聯(lián)解，解得，，，故，即.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐體積的最值問題，三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知，求:（1）的值;（2）與的夾角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求出即可得解.（2）利用數(shù)量積的運算律及向量夾角公式求解即得.【小問1詳解】由，得，則，而，于是，所以.【小問2詳解】顯然，則，而，于是.所以與的夾角為16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）請選擇①和②中的一個條件，補全下面的問題并求解，其中①有解；②恒成立．問題：若當(dāng)時，關(guān)于的不等式________，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，結(jié)合條件①②分別求出的范圍.【小問1詳解】函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期；由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】選擇①，當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，取得最大值，依題意，，不等式有解，所以.選擇②當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，取得最小值依題意，，不等式恒成立，所以.17.已知n是一個三位正整數(shù)，若n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）現(xiàn)要從甲乙兩名同學(xué)中，選出一個參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽.（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來.（2）這種選取規(guī)則對甲乙兩名學(xué)生公平嗎？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）不公平，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義一一列舉出即可；（2）由（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式分別計算概率即可判斷.【詳解】解：（1）由題意知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)共有20個.分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個，記“甲參加數(shù)學(xué)競賽”為事件A，記“乙參加數(shù)學(xué)競賽”為事件B.則事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13個.由古典概型計算公式，得，又A與B對立，所以，所以.故選取規(guī)則對甲、乙兩名學(xué)生不公平.【點睛】本題考查概率的應(yīng)用，古典概型的概率計算問題，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，平面平面．（1）若的中點為，求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行知識可求解.（2）根據(jù)題意做輔助線找到二面角，再