新教材人教B版必修第一冊-3.1.2.2-函數(shù)的最大值、最小值-課件(57張)

第2課時函數(shù)的最大值、最小值必備知識·自主學習1.函數(shù)的最值(1)定義前提函數(shù)f(x)的定義域為D,且x0∈D,對任意x∈D條件都有___________都有___________結論最大值為f(x0),x0為最大值點最小值為f(x0),x0為最小值點最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)(2)求函數(shù)最值的方法:①配方法:主要適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù),要特別注意自變量的取值范圍;②換元法:用換元法時一定要注意新變元的取值范圍;③數(shù)形結合法:對于圖像較容易畫出的函數(shù)的最值問題,可借助圖像直觀求出;④利用函數(shù)的單調性:要注意函數(shù)的單調性對函數(shù)最值的影響,特別是閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【思考】最值點是點嗎?提示:不是,是實數(shù)值,是函數(shù)值取得最值時的自變量x的值.2.直線的斜率(1)直線斜率的定義平面直角坐標系中的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),①當x1≠x2時,稱為直線的斜率,記作;②當_____時,稱直線的斜率不存在.(2)直線的斜率與函數(shù)單調性的關系①函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都______.②函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都______.x1=x2大于0小于03.函數(shù)的平均變化率(1)平均變化率的定義:若I是函數(shù)y=f(x)的定義域的子集,對任意x1,x2∈I,且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),稱

為函數(shù)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率.(2)函數(shù)的平均變化率與函數(shù)的單調性y=f(x)在I上是增函數(shù)?________在I上恒成立y=f(x)在I上是減函數(shù)?

______在I上恒成立

【思考】函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率大于0時,函數(shù)圖像從左向右的變化趨勢是什么?提示:函數(shù)圖像從左向右逐漸上升.【基礎小測】

1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值、最小值. (

)(2)一個函數(shù)的最大值是唯一的,最值點也是唯一的. (

)(3)直線不一定有斜率,過函數(shù)圖像上任意兩點的直線也不一定有斜率. (

)提示:(1)×.如函數(shù)y=既沒有最大值,也沒有最小值.(2)×.函數(shù)的最大值是唯一的,但最值點不唯一,可以有多個最值點.(3)×.過函數(shù)圖像上任意兩點的直線一定有斜率,因為根據(jù)函數(shù)的定義,一定有x1≠x2.2.過函數(shù)圖像上兩點A(-1,3),B(2,3)的斜率=________.

【解析】=0.答案:03.(教材二次開發(fā):例題改編)函數(shù)f(x)=的最大值為________.

【解析】當x≥1時,函數(shù)f(x)=為減函數(shù),所以f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當x<1時,易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案:2關鍵能力·合作學習類型一利用函數(shù)的圖像求最值(數(shù)學運算、直觀想象)【題組訓練】1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的圖像如圖所示,則此函數(shù)的最小值點,最大值分別為 (

)A.-3,5 B.-3,f(5)C.-2,5 D.-2,f(5)2.已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最小值、最大值點分別為___,____.

3.已知函數(shù)f(x)=(1)如圖所示,在給定的直角坐標系內畫出f(x)的圖像.(2)由圖像指出函數(shù)f(x)的最值點,求出最值.

【解析】1.選D.由函數(shù)f(x)的圖像可知最小值點為-2,最大值為f(5).2.作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖).由圖像可知,當x=±1時,f(x)取最大值,最小值為0,故f(x)的最小值為0,最大值點為±1.答案:0

±13.(1)由題意,當x∈[-1,2]時,f(x)=-x2+3,為二次函數(shù)的一部分;當x∈(2,5]時,f(x)=x-3,為一次函數(shù)的一部分;所以,函數(shù)f(x)的圖像如圖所示:(2)由圖像可知,最大值點為0,最大值為3;最小值點為2,最小值為-1.

【解題策略】圖像法求最值、最值點的步驟【補償訓練】已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)的最大值、最小值.【解析】作出f(x)的圖像如圖:由圖像可知,當x=2時,f(x)取最大值為2;當x=時,f(x)取最小值為

所以f(x)的最大值為2,最小值為

【拓展延伸】求二次函數(shù)最值的常見類型及解法求二次函數(shù)的最大(小)值有兩種類型:一是函數(shù)定義域為實數(shù)集R,這時只要根據(jù)拋物線的開口方向,應用配方法即可求出最大(小)值;二是函數(shù)定義域為某一區(qū)間,這時二次函數(shù)的最大(小)值由它的單調性確定,而它的單調性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置(在區(qū)間上,在區(qū)間左側,還是在區(qū)間右側)來決定,當開口方向或對稱軸位置不確定時,還需要進行分類討論.求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值一般分為以下幾種情況:(1)若對稱軸x=-在區(qū)間[m,n]內,則最小值為

,最大值為f(m),f(n)中較大者(或區(qū)間端點m,n中與直線x=-距離較遠的一個對應的函數(shù)值為最大值).(2)若對稱軸x=-<m,則f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù),最大值為f(n),最小值為f(m).(3)若對稱軸x=->n,則f(x)在區(qū)間[m,n]上是減函數(shù),最大值為f(m),最小值為f(n).【拓展訓練】1.定軸定區(qū)間上的最值問題【例1】已知函數(shù)f(x)=3x2-12x+5,當自變量x在下列范圍內取值時,求函數(shù)的最大值和最小值.(1)R.(2)[0,3].(3)[-1,1].【思路導引】求函數(shù)的最大值、最小值問題,應先考慮其定義域,由于是二次函數(shù),所以可以采用配方法和圖像法求解.【解析】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.(1)當x∈R時,f(x)=3(x-2)2-7≥-7,當x=2時,等號成立.故函數(shù)f(x)的最小值為-7,無最大值.(2)函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7的圖像如圖所示,由圖可知,在[0,3]上,函數(shù)f(x)在x=0時取得最大值,最大值為5;在x=2時取得最小值,最小值為-7.(3)由圖可知,函數(shù)f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),在x=-1時取得最大值,最大值為20;在x=1時取得最小值,最小值為-4.【解題策略】

(1)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),當x=-時,函數(shù)取得最小值.(2)函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),當x=-時,函數(shù)取得最大值.2.動軸定區(qū)間上的最值問題【例2】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x)的最小值.【思路導引】二次函數(shù)開口方向確定,對稱軸不確定,需根據(jù)對稱軸的不同情況分類討論.可畫出二次函數(shù)相關部分的簡圖,數(shù)形結合解決問題.【解析】f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖像開口向上,且對稱軸為直線x=a.當a≥1時,函數(shù)圖像如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù),最小值為f(1)=3-2a;當-1<a<1時,函數(shù)圖像如圖(2)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是先減后增,最小值為f(a)=2-a2;當a≤-1時,函數(shù)圖像如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),最小值為f(-1)=3+2a.3.定軸動區(qū)間上的最值問題【例3】已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R的最小值為g(t),試寫出g(t)的函數(shù)表達式.【思路導引】二次函數(shù)的解析式是確定的,但定義域是變化的,需依據(jù)t的大小情況畫出對應的簡圖(二次函數(shù)的一段),從而求解.【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,對稱軸為x=1.當t+1<1,即t<0時,函數(shù)圖像如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù),所以最小值為g(t)=f(t+1)=t2+1;當t≤1≤t+1,即0≤t≤1時,函數(shù)圖像如圖(2)所示,最小值為g(t)=f(1)=1;當t>1時,函數(shù)圖像如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),所以最小值為g(t)=f(t)=t2-2t+2.綜上可得g(t)=【解題策略】本題中給出的區(qū)間是變化的,從運動的觀點來看,讓區(qū)間從左向右沿x軸正方向移動,分析移動到不同位置時對最值有什么影響.借助圖形,可使問題的解決顯得直觀、清晰.類型二函數(shù)的平均變化率與單調性、最值(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例】已知函數(shù)f(x)=.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調性,并用平均變化率證明其結論.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值與最小值.四步內容理解題意條件:①函數(shù)f(x)=,②[0,+∞),③[2,9]結論:判斷函數(shù)的單調性并求函數(shù)的最值思路探求(1)任取x1,x2∈[0,+∞)?>0?函數(shù)單調遞增(2)由第(1)問可知f(x)在[2,9]上是增函數(shù)?f(2)是最小值,f(9)是最大值四步內容書寫表達【解析】(1)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,f(x2)-f(x1)=所以

因為x1,x2∈[0,+∞),所以(x1+1)(x2+1)>0,所以>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上是增函數(shù),故函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值為f(9)=,最小值為f(2)=.注意書寫的規(guī)范性:(1)計算Δf(x)=f(x2)-f(x1)時,注意通分與因式分解的應用(2)求最值時應首先確定函數(shù)的單調性題后反思求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時,易錯誤地認為f(a)與f(b)就是相應的最值,只有函數(shù)在[a,b]上單調時,函數(shù)在區(qū)間的端點值才是最值.【解題策略】利用函數(shù)的平均變化率證明單調性的步驟

(1)任取x1,x2∈D,且x1≠x2.(2)計算f(x2)-f(x1),.(3)根據(jù)x1,x2的范圍判斷的符號,確定函數(shù)的單調性.

【跟蹤訓練】已知函數(shù)f(x)=,x∈[3,7].(1)判斷函數(shù)f(x)的單調性,并用平均變化率加以證明.(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]內單調遞減,證明如下:在[3,7]上任意取兩個數(shù)x1和x2,且x1≠x2,因為f(x1)=,f(x2)=,所以f(x2)-f(x1)=所以

因為x1,x2∈[3,7],所以x1-2>0,x2-2>0,所以<0,函數(shù)f(x)為[3,7]上的減函數(shù).(2)由單調函數(shù)的定義可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)=.類型三常見函數(shù)的最值問題(直觀想象、數(shù)學運算)角度1不含參數(shù)的最值問題

【典例】函數(shù)f(x)=-2x2+x+1在區(qū)間[-1,1]上最小值點為________,最大值為________.

【思路導引】求出一元二次函數(shù)的對稱軸,利用對稱軸和區(qū)間的關系解題.【解析】函數(shù)f(x)=-2x2+x+1的對稱軸為x=,函數(shù)的圖像開口向下,所以函數(shù)的最小值點為-1,最大值為

答案:-1

角度2含參數(shù)的最值問題

【典例】設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.(1)當a=0時,求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.(2)當0<a<時,求函數(shù)f(x)的最小值.【思路導引】(1)代入a的值,化簡后求最值.(2)討論對稱軸與區(qū)間的位置關系求最值.【解析】(1)當a=0,x∈[0,2]時函數(shù)f(x)=x2-x+1,因為f(x)的圖像開口向上,對稱軸為x=,所以,當x=時f(x)值最小,最小值為,當x=2時,f(x)值最大,最大值為3.(2)f(x)=①當x≥a時,f(x)=x2-x+a+1=+a+.因為0<a<,所以>a,則f(x)在[a,+∞)上的最小值為

+a;②當x<a時,函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=-a+.因為0<a<,所以-<a,則f(x)在(-∞,a)上的最小值為

-a.綜上,f(x)的最小值為-a.

【變式探究】將本例的函數(shù)改為f(x)=x2-2ax+1,試求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最值.【解析】函數(shù)的對稱軸為x=a,(1)當a<0時,f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(x)min=f(0)=1;當0≤a≤2時,f(x)min=f(a)=-a2+1;當a>2時,f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)min=f(2)=5-4a,所以f(x)min=

(2)當a≤1時,f(x)max=f(2)=5-4a;當a>1時,f(x)max=f(0)=1,所以f(x)max=

【解題策略】一元二次函數(shù)的最值(1)不含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值配方或利用公式求出對稱軸,根據(jù)對稱軸和定義域的關系確定最值點,代入函數(shù)解析式求最值.(2)含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值以一元二次函數(shù)圖像開口向上、對稱軸為x=m,區(qū)間[a,b]為例,①最小值:f(x)min=②最大值:f(x)max=當開口向下、區(qū)間不是閉區(qū)間等時,類似方法進行討論,其實質是討論對稱軸與區(qū)間的位置關系.【題組訓練】

1.(2020·西安高一檢測)函數(shù)f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值為 (

)

A.9 B.9(1-a) C.9-a D.9-a2【解析】選A.因為a>0,所以f(x)=9-ax2開口向下,以y軸為對稱軸,所以f(x)=9-ax2在[0,3]上單調遞減,所以x=0時,f(x)最大值為9.2.函數(shù)f(x)=x+ (

)A.有最小值,無最大值B.有最大值,無最小值C.有最小值,有最大值2D.無最大值,也無最小值【解析】選A.f(x)=x+的定義域為,在定義域內單調遞增,所以f(x)有最小值

,無最大值.3.函數(shù)f(x)=x2-3x-4在區(qū)間[0,2]上的最小值點為______,最大值為________.

【解析】函數(shù)的對稱軸為x=,開口向上,所以最小值點為,最大值為f(0)=-4.答案:

-4【補償訓練】二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,則實數(shù)m的取值范圍是_____.

【解析】因為f(x)=x2-2x+3在[0,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增.則當0<m<2時,此時無解;當2≤m≤4時,x=2時有最小值1,x=0時有最大值3,此時條件成立;當m>4時,最大值必大于f(4)=3,此時條件不成立.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是[2,4].答案:[2,4]

備選類型函數(shù)最值的應用(數(shù)學建模)【典例】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:厘米)滿足關系式:C(x)=(0≤x≤10).若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式.(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)最小?并求其最小值.【思路導引】【解析】(1)由題意知C(0)=8,代入C(x)的關系式,得k=40,因此C(x)=(0≤x≤10),而每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元,所以隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+6x=+6x(0≤x≤10).(2)令t=3x+5,由0≤x≤10,得5≤t≤35,從而有函數(shù)h(t)=+2t-10(5≤t≤35).令5≤t1<t2≤35,則h(t1)-h(t2)=(t1-t2),當5≤t1<t2≤20時,h(t1)-h(t2)=(t1-t2)>0;當20≤t1<t2