高等數(shù)學(xué)課件-D114對(duì)面積曲面積分教學(xué)案例

第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分第十一章1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,量M.其中,

表示n小塊曲面的直徑的(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).最大值1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定義:設(shè)

為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在

上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)

做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面

上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面.1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在

上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:由定義知1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件而(

光滑)1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.(見本節(jié)后面的例4,例5)1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例1.

計(jì)算曲面積分其中

是球面被平面截出的頂部.解:1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件思考:若

是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例2.

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:設(shè)上的部分,則與原式=分別表示

在平面1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例3.設(shè)計(jì)算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xOy面上的投影域?yàn)閯t1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件思考:若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:設(shè)

的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)思考題:例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算?1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例6.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:顯然球心為半徑為利用重心公式1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例7.計(jì)算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:若將曲面分為前后(或左右)則解:取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例8.

求橢圓柱面位于xOy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000

km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標(biāo)系如圖,記覆蓋曲面

的半頂角為

,利用球面坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:此題也可用二重積分求A

.1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)P217題1；3；4(1);7解答提示:P217題1.P217題3.

設(shè)則P244題21/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件P217題4(1).

在xOy面上的投影域?yàn)檫@是

的面積!1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件P218題7.

如圖所示,有1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件P244題2.

限中的部分,則有().(2000考研)1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件作業(yè)

P2174(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié)1/21/2025同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z=1以上部分

的的面密度質(zhì)量M.解:

在xOy面上的投影為