2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體111棱柱棱錐棱臺的結(jié)構(gòu)特征課件新人教A版必修2

第一章空間幾何體1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

1.空間幾何體的定義如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.2.多面體、旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個平面多邊形圍成的幾何體由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體圖形

多面體旋轉(zhuǎn)體相關(guān)概念面:圍成多面體的各個多邊形;棱:相鄰兩個面的公共邊;頂點:棱與棱的公共點.軸:形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線【思考】多面體最少有幾個面,幾個頂點,幾條棱?提示:多面體最少有4個面、4個頂點和6條棱.3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體圖示及相關(guān)概念

底面:兩個互相平行的面?zhèn)让?底面以外的其余各面?zhèn)壤?相鄰側(cè)面的公共邊頂點:側(cè)面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱柱、四棱柱……【思考】有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎?提示:不一定,因為“其余各面都是平行四邊形”并不等價于“每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”,如圖所示.4.棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體圖示及相關(guān)概念

底面:多邊形面?zhèn)让?有公共頂點的各個三角形面?zhèn)壤?相鄰側(cè)面的公共邊頂點:各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱錐、四棱錐……【思考】有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎?提示:未必是棱錐.如圖所示的幾何體,滿足各面都是三角形,但這個幾何體不是棱錐,因為它不滿足條件“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”.

5.棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分圖示及相關(guān)概念

上底面:截面下底面:原棱錐的底面?zhèn)让?除上下底面以外的面?zhèn)壤?相鄰側(cè)面的公共邊頂點:側(cè)面與上(下)底面的公共頂點分類按由幾棱錐截得分:三棱臺、四棱臺…【思考】棱臺的各側(cè)棱是什么關(guān)系?各側(cè)面是什么樣的多邊形?兩個底面是什么關(guān)系?提示:棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點,各側(cè)面是梯形,兩個底面是相似的多邊形.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)棱柱可以看作由平面圖形平移得到. (

)(2)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形,而底面不是平行四邊形.(

)(3)用一平面去截棱錐,得到兩個幾何體,一個是棱錐,一個是棱臺. (

)(4)有兩個面平行,且其余各面均為梯形的幾何體一定是棱臺. (

)提示:(1)√.棱柱可以看作由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體.(2)×.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形,底面也有可能是平行四邊形.(3)×.只有用一平行于底面的平面去截棱錐,得到兩個幾何體,才能一個是棱錐,一個是棱臺.(4)×.未必是棱臺,因為它們的側(cè)棱延長后不一定交于一點,如圖,用一個平行于楔形幾何體底面的平面去截楔形幾何體,截面與底面之間的幾何體雖有兩個面平行,其余各面是梯形,但它不是棱臺.

2.下列幾何體中,不屬于多面體的是(

)A.三棱柱B.四棱錐C.長方體D.球【解析】選D.利用多面體的定義:由平面多邊形圍成的幾何體,很容易能判定出來.3.一個幾何體的各個面均是三角形,則該幾何體可能是(

)A.棱臺B.棱柱C.棱錐D.圓錐【解析】選C.棱臺的側(cè)面是梯形,棱柱的側(cè)面是平行四邊形,圓錐的側(cè)面是曲面,只有棱錐的側(cè)面是三角形,且底面也可以是三角形.類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.(2019·惠州高一檢測)下列敘述中,錯誤的一項為(

)A.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形C.棱柱的兩底面是全等的多邊形D.棱柱的面中,至少有兩個面相互平行2.判斷下列四個多面體是否為棱柱?若是棱柱,如何用符號表示?【思維·引】1.根據(jù)棱柱及其底面和側(cè)面的定義、棱柱的結(jié)構(gòu)特征逐項判斷.2.利用棱柱定義逐個判斷,若是棱柱根據(jù)底面多邊形的邊數(shù)用恰當(dāng)?shù)姆柋硎?【解析】1.選A.在A中,棱柱中兩個互相平行的平面不一定是棱柱的底面,例如,底面為正六邊形的棱柱的相對側(cè)面互相平行,故A錯誤;在B中由棱柱的定義知棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形,故B正確;在C中,由棱柱的定義知棱柱的兩底面是互相平行且全等的多邊形,故C正確;在D中,棱柱的定義是,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,相鄰的公共邊互相平行,有這些面圍成的幾何體是棱柱,由此得到D正確.2.(1)是棱柱,可記為五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.(2)不是棱柱,不滿足棱柱的定義.(3)是棱柱,可記為三棱柱ABC-A1B1C1.(4)是棱柱,可記為四棱柱ABCD-A1B1C1D1.【內(nèi)化·悟】棱柱定義中的三個要點是什么?提示:(1)有兩個平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平行四邊形.(3)每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行.【類題·通】棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義:判定一個幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.①看“面”,即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面,其余各面都是四邊形;②看“線”,即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.(2)舉反例:通過舉反例,如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合,給予排除.【習(xí)練·破】下列關(guān)于棱柱的說法中,錯誤的是 (

)A.三棱柱的底面為三角形B.一個棱柱至少有五個面C.若棱柱的底面邊長相等,則它的各個側(cè)面全等D.五棱柱有5條側(cè)棱、5個側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形【解析】選C.顯然A正確;底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱,它有五個面,故B正確;底面是正方形的四棱柱,有一對側(cè)面與底面垂直,另一對側(cè)面不垂直于底面,此時側(cè)面并不全等,所以C錯誤;D正確.【加練·固】下列關(guān)于棱柱的說法:(1)所有的面都是平行四邊形.(2)每一個面都不會是三角形.(3)兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行.(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說法的序號是________.

【解析】(1)錯誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形.(2)錯誤,棱柱的底面可以是三角形.(3)正確,由棱柱的定義易知.(4)正確,棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱,所以說法正確的序號是(3)(4).答案:(3)(4)類型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下面圖形所表示的幾何體中,不是棱錐的為(

)2.下列幾何體是棱臺的是____(寫出所有滿足題意的序號).

【思維·引】1.看是否同時滿足以下兩點:(1)有一個面是多邊形.(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形.2.看是否同時滿足以下兩點:(1)是由棱錐截得的,(2)截面平行于底面.【解析】1.選A.選項A中的幾何體不滿足有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,所以不是棱錐;選項B,C,D中的幾何體是棱錐.2.①、③都不是由棱錐截得的,不符合棱臺的定義,故①③不滿足題意;②中的截面不平行于底面,不符合棱臺的定義,故②不滿足題意;④符合棱臺的定義.答案:④【內(nèi)化·悟】判斷棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征主要從哪些方面考慮?提示:認(rèn)識、判斷棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征,主要從它的側(cè)面、側(cè)棱、底面、頂點等方面考慮.【類題·通】判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法:結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.(2)直接法:棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即為底面兩個互相平行的面,即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點【習(xí)練·破】1.棱臺不具有的性質(zhì)是 (

)A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱長都相等 D.側(cè)棱延長后交于一點【解析】選C.棱臺是由平行于棱錐的底面的平面截棱錐得到的,棱錐的側(cè)棱長不一定相等,所以棱臺的側(cè)棱長也不一定相等.A,B,D選項都正確.2.如圖所示,在三棱臺A′B′C′-ABC中,沿A′BC截去三棱錐A′-ABC,則剩余的部分是 (

)A.三棱錐 B.四棱錐C.三棱柱 D.組合體【解析】選B.如圖所示,三棱臺A′B′C′-ABC中,沿A′BC截去三棱錐A′-ABC,剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′.【加練·固】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法:(1)用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺.(2)棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形.(3)棱錐的側(cè)面只能是三角形.(4)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.(5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐,其中正確說法的序號是________.

【解析】(1)錯誤,若平面不與棱錐底面平行,用這個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺.(2)正確,棱臺的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形.(3)正確,由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.(4)正確,由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.(5)錯誤,如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.答案:(2)(3)(4)類型三多面體的展開圖問題角度1由展開圖復(fù)原多面體【典例】如圖,這是一個正方體的表面展開圖,若把它再折回成正方體后,有下列命題: ①點H與點C重合;②點D與點M、點R重合;③點B與點Q重合;④點A與點S重合.其中正確命題的序號是________.

(注:把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)【思維·引】固定一個正方形(如FGPN)的位置,將其他正方形折起.先確定各正方形的位置,然后定頂點用什么字母表示.【解析】將其還原成正方體,如圖.答案:②④【素養(yǎng)·探】在與由展開圖復(fù)原幾何體有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象,通過研究空間幾何體與展開圖之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生空間想象思考問題的習(xí)慣,提高學(xué)生借助空間圖形分析、推理、論證的能力.將本例的條件改為“若將此正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北,并沿該正方體的一條棱將正方體剪開,外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形”,試確定標(biāo)“△”的面的方位.【解析】將三個空白正方形分別標(biāo)為1,2,3,如圖所示,易知1處標(biāo)下,2處標(biāo)西,△和3處應(yīng)標(biāo)南北,進(jìn)一步根據(jù)“上北下南左西右東”可知,△處標(biāo)北.角度2求最大值、最小值問題【典例】如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線的長度.【思維·引】爬行路線可以分三種情況,爬行所經(jīng)過的平面展開放到同一平面內(nèi),根據(jù)兩點之間線段最短求值,比較三種情況得到最短路線的長度.【解析】由長方體ABCD-A1B1C1D1的表面可有三種方法展開,表面展開后A與C1兩點間的距離分別為=3,如圖1所示;=,如圖2所示;=,如圖3所示.三者比較得為由A到C1在長方體表面上的最短距離.【類題·通】多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖:在解題過程中,常常給多面體的頂點標(biāo)上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側(cè)面,便可得到其平面展開圖.(2)由展開圖復(fù)原幾何體:首先想象出復(fù)原后的幾何體,再將展開圖中的面、點標(biāo)注到該幾何體上.(3)多面體表面上兩點間的最短距離問題常常要歸納為求平面上兩點間的最短距離問題.常見的解法是先把多面體的表面展開成平面圖形,再用平面幾何知識求有關(guān)線段的長度.【習(xí)練·破】(1)如圖甲所示為某幾何體的展開圖,沿圖中虛線將展開圖折起來,是哪一種幾何體?試用文字描述并畫出示意圖.(2)需要多少個(1)中的幾何體才能拼成一個棱長為6cm的正方